④数字特征精品Word下载.docx

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对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；

否则认为数学期望不存在．

（2）随机变量的函数的数学期望设而X是任一随机变量，则随机变量gY）（xgy（X为连续函数或分段连续函数，的数学期望可以通过随机变量X的）概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；

对于二元函数）,（YXgZ，有类似的公式：

－k．；

（连续型）离散型（xd）x（）（）（）fxgxXxgXgYkkPEE（4.2a）Pfi．；

连续型离散型dd,,,,,yxyxyxgyYxXyxgYXgZjjijiEE（4.2b）2、数学期望的性质

（1）对于任意常数c，有

（2）对于任意常数，有（3）对于任意ccEX2相互独立，则XXX21E．XX，有E．mXXX,,,21mmXXXXXEEEE,2211．（4）如果mXXX,,1mmXXXEEEE21．㈡方差和标准差表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征．1、方差的定义称（XXXEED为随机变量X的方差，称XD为随机变量X的标准差．随机变量X的方差有如下计算公式：

222）（）XXEE（k．；

连续型离散型）（xd）x（）22fXxxXXxXkkEPED（4.3）2、方差的性质

（1）XD

（2）对于任意实数，有（3）若XX,210，并且0XD当且仅当X（以概率１）为常数；

XXD；

两两独立或两两不相关，则XXXDD2mX,,mmXXXDDD2121．㈢协方差和相关系数考虑二维随机向量及X和Y的联合数字特征协方差和相关系数．）,（YX，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以1、协方差和相关系数的定义

（1）协方差随机变量X和Y的协方差定义为YX）,cov（其中YXXYYYXXEEEEEE））（（，（4.4）i．；

连续型离散型dd,,yxyxxyfyYxXyxXYjjijiPE

（2）相关系数随机变量X和Y的相关系数定义为XyxYXXYYYXEEEDD,cov．（4.5）2、协方差的性质设随机变量X和Y的方差存在，则它们的协方差也存在．

（1）若X和Y独立，则0）,cov（YX；

对于任意常数c，有

（2））,cov（）,cov（XYYX．（3）对于任意实数a和b，有,cov（bYaX（4）对于任意随机变量ZYX,,，有cov（）,cov（ZYX0）,cov（cX．）,cov（）YXab．．，）,cov（）,cov（）,cov（）,cov（）,ZXYXZYXZYZXY,（5）对于任意X和Y，有（6）对于任意X和Y，有3、相关系数的性质相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用．设X和Y的相关系数，1E

（1）11．

（2）若X和Y相互独立，则=0；

但是，当=0时X和Y却未必独立．（3）1的充分必要条件是X和Y（以概率１）互为线性函数．三条性质说明，随着变量X和Y之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值从0增加到1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量．4、随机变量的相关性假设随机变量X和Y的相关系数存在．若=0，则称X和Y不相关，否则称X和Y相关．

（1）若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；

（2）若X和Y的联合分布是二维正态分布，则它们不相关与独立等价．YXXDDDcov．cov（）,2）（YXYXYXDD．,,,,22212YXYXDDE㈣矩在力学和物理学中用矩描绘质量的分布．概率统计中用矩描绘概率分布．常用的矩有两大类：

原点矩和中心矩．数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩．1、原点矩对任意实数0k，称k称k阶矩．XE．原点矩的计算公式为：

XkEkXE为随机变量Ｘ的k阶原点矩，简1．；

连续型离散型（xd）x（）（）fxxXxiikikkP（4.6）2、中心矩称kkXXEE为随机变量Ｘ的k阶中心矩．XD2．㈤切比雪夫（切贝绍夫）不等式设随机变量X的数学期望X都存在，则对于任意0，有E和方差XD2DEXPXX．（4.7）Ⅲ典型例题分析〖填空题〗例4.1（函数的方差p.91）已知随机变量X的分布函数为：

x．　1xx若　,，若，若，＜若110,0.7501,25.01x,0xF则21XXD=．分析由分布函数，可得随机变量X的概率分布．，，125.025.04125.04111025.02125.021125.050.025.0101~2222XXXXXXXEDE例4.2（函数的期望p.92）设随机变量X分布函数为F（x），则随机变量01,,0若,0,0,1XXXY若若的数学期望分析随机变量Y只有1{YPYE．和1两个可能值（因为0（}0{}1FXP00）0（F0；

}0XX1YPP）．．，）]0（）00（[1）0（F1）00（E{}1{）0FFFYYPP例4.4（函数的期望p.92）设随机变量X服从参数为0.5的泊松分布，则随机变量）1（1XY的数学期望YE=．分析事实上，有5.0110m．）e1（2e2ee2e2!

m5.0e2!

）1（5.0e5.01e!

k115.05.05.05.05.005.0015.05.0mkkkkkkXYEE例4.6（标准差p.93）假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布．已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，则随机测量误差的标准差=．分析由条件无系统误差知，测量误差X服从正态分布）,0（N2，因此．，，20.1096.12096.12095.020X20XPP，例4.8（方差p.93）设随机变量X和Y独立同正态分布=．分析易见，）（YXE=0，21,0N，则XYD）（YXD=1，故2xY2XU～N（0,1）．因此，2dx．；

，22211e2xdex1UE222022UUUUUUUxYXxEEDEDEEE22例4.9（标准差p.84）100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于．分析100次独立重复试验成功的次数X服从参数为于当p=0.5时，）1（pp取最大值．这时准差的最大值等于5．）（p,100的二项分布．由2525，可见标.0100100pqXD例4.11（二项分布p.94）有若干瓶超过保质期的饮料，假设其中变质的期望瓶数为18瓶，标准差为4瓶．则变质饮料的瓶数X的概率分布是．分析假设总共有n瓶超过保质期的饮料，p是其中变质饮料的瓶数所占的比重．显然变质饮料的瓶数X服从参数为（n,p）的二项分布．现在求n和p．由条件知．，，，91162164）1（182pnpnpXnpXDE例4.12（协方差p.94）假设随机变量X和Y的方差都等于1，X和Y的相关系数为0.25，则随机变量YXU和V分析已知,1YXYXcov，DDcov（2XYXDDY．因此，有X.0225X的协方差为．．25.125.021）,）,cov（2,,2,）2,cov（）2,cov（2,,covXYYYXYYXYXYYXXYXYXVUcovcovcovcov〖选择题〗例4.19（p.96）对于任意随机变量X和Y，如果（A）X和Y独立．（B）X和Y不独立．（C）YXXYDDD．（D）分析由XYXDDYXDD）,cov（YXYXDD，则YXXYEEE．[D]，XY可见Y）,，，，YYXYYYXYYXYXYXEEEEEEDD0）,cov（2cov（2例4.23（p.98）设X在区间[－1,1]上均匀分布，则的相关系数等于（A）1．（B）0．（C）0.5．（D）1．[A]分析由于XUarcsin和VarccosXUarcsin和XVarccosX有明显的线性关系：

X，2arccosarcsinX可见arccosXUarcsin增减变化趋势恰好相反，所以立即可以断定例4.26（p.98）假设试验E以概率p成功，以概率Y表示在n次独立地重复试验中成功和失败的次数，则X和Y的相关系数等于（A）1．（B）0．（C）1/2．（D）1．[A]分析因为X+Y=n，即X和Y互为线性函数，故X和Y的相关系数1．由于Y=n－X，可见X和Y为负相关，故和XVarccos相关系数的绝对值等于1．因为Xarcsin和X1q．p失败，分别以X和11．〖计算题〗例4.29（期望的应用p.99）自动生产线加工的零件的内径Xmm服从正态分布）1,（N，内径小于10或大于12mm的为不合格品，其余为合格品．每件产品的成本为10元,内径小于10mm的可再加工成合格品，尚需费用5元．全部合格品在市场上销售，每件合格品售价20元．问零件的平均内径取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？

解每件产品的销售利润L与自动生产线加工的零件的内径X（mm）有如下关系：

X.12X若,10,1210若,01,10X若,5XLL112，1010502121010510121012P1*******010XXXLPPE其中x是标准正态分布函数，dx12x标准正态密度．因此，有．4，，0，0ln2）10（）12（ee4e25e22010520d222）10

（2）12

（2）10

（2）12（2222XLE由此，可见当31.10mm时，平均利润最大．例4.31（函数的期望p.100）假设某季节性商品，适时地售出1kg可以获利s元，季后销售每千克净亏损t元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X（kg）是一随机变量，并且在区间）,（ba品，可以使期望销售利润最大？

解根据条件随机变量X的概率密度为：

，若不然．0内均匀分布．问季初应安排多少这种商x，，若1bxaabf以表示）（hPY销售利润，它与季初应安排商品的数量h有关．由条件，知．，若，，若thXshhXXhsXhPY）（）（为求使期望利润最大的h，我们计算销售利润首先注意到：

bha，销售利润）（hPY的数学期望．为此，）（hPY的数学期望为：

；

shxxfhxxxftsxxfshxxfhtxxxftsxxfshxxfhtxtsxxfshxxftxhsxhPYhhh0h0h0hh0hh1000d）（d）（）（d）（d）（d）（）（d）（d）（]）（[d）（d）（]）（[）（EE对求导并令其等于0，得，0d）x（）（d）x（）（）（）（dd00sxftssxfhhfhhftshYhhE．，tstasbhtssabahxxfh00d）（于是，季初安排4.34（数学期望p.102）独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p．假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元．试求这项试验的总费用的期望值a．解

（1）以X表示试验的总次数，首先求X的概率分布．设验成功}（k=1,2,），则pAk）（P；

X的概率分布为（AAAnXPP其中pq1．于是试验的总次数X服从参数为p的几何分布．

（2）现在求试验的总费用的期望值a．由条件知，试验的总费用为0hkg商品，可以使期望销售利润最大，kA={第k次试）,2,1（）111npqnnn，,．若，若，若，若XXXXXXXXY5,5525,10555505,10该项试验的总费用Y是一随机变量，其期望值为，nnnn15151161511255552510nnnnqnqpnqppqnnpqYaE；

，2562566511651051116511651dd1dpqqqqqqqqqnqqqqqtntnnnnqnnpqpqqqpqqpqqpnqpnnnnnn1）1（11dddddd21111；

．5561515112526552555qqqpqnqpnqpannnn例如，设p=0.8,q=0.2，得设p=0.2,q=0.8，得例4.35（变量和的期望p.103）假设n个信封内分别装有发给n个人的通知，但信封上各收信人的地址是随机填写的．以X表示收到自己通知的人数，求X的数学期望和方差．解

（1）记个信封中的一个信封，恰好装进写有其地址的信封的概率等于１/n，故）（P=n1．同理a12.498元；

设p=q=0.5，得41.808元；

设p=0.1,q=0.9，得a19.6875元；

70.4775元．aakA={第k封信的地址与内容一致}．第k个人的通知随意装入nkA）（）1

（1）（）（）（jinnAAAAAijijiPPP．引进随机变量,若,0,若,1不出现出现kAkkAU（k=1,,n），则nUUUX21．从而，有．1．；

；

1n1）]

（1）[（1n）（1n）（P}1{212nUUUXnnAAUAUAUnkkkkkkkEEEEPPDPEP

（2）对于任意ji，乘积jiUU只有０和１两个可能值，且11）（）（）（}1{nnAAAAAUUijijijiPPPP．因此，对于任意ji，有2111,covnnnUUUUUUjijijiEEE．（3）最后求方差DX．．11）1

（1）1（1,cov1,cov）（）（222111222nikmnnnnnnnUUnnUnUUUUUXXXjjinknmmDDEEEED注该题的解法具有典型性：

求解时并没有直接利用X的概率分布，仅利用数学期望和方差的性质．当然，也可以先求X的概率分布，然后再根据定义求数学期望．然而，求概率分布需要相当繁杂的计算,并且由此概率分布求数学期望并非易事．例4.38（函数的期p.105）求其概率密度为1,minXE，假设随机变量X服从柯西分布，xxxf11）（2．解由于，，若1，，若111,minxxxX可见．１－１－１－212ln11d21d21d1d1d1,min120212212xxxxxxxxxxxxXE例4.39（数学期望p.106）假设一种电器设备的使用寿命X（单位：

小时）是一随机变量，服从参数为=0.01的指数分布．使用这种电器每小时的费用为C1=3元，当电器工作正常时每小时可获利润C2=10元．此设备由一名工人操作，每小时报酬为C3=4元，并且按约定操作时间为h小时支付报酬．问约定操作时间h为多少时，能使期望利润最大？

解以Y表示销售利润，则由条件知（C）．，若，，若312312hXhXCChXhCCCY由条件知，随机变量X的分布函数和概率密度相应为0；

，，，00e1）（xxxFx和；

，，，000e）（xxxfx．其中01.0．期望销售利润为1h；

h3ChhCChCChChCCCxxCChXhChXhCCCxxfxgYhhhhhx112111233120193312ee）（e）（e1e）（de）（）（d）（）（PPE；

0e）1（e11）1（dd32312CCCChhCChYhhE123ln1CCCh．将C1=3元，C2=10元．C3=4元，以及=0.01代入，得例4.41（最小值的期望p.107）一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障．假设两个中间站无故障的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间相应为１和0.5（千小时），试求线路无故障工作时间X的数学期望．解设）2,1（iXi是第i个中间站无故障工作时间，则条件知，可以认为1X和2X独立，E1X=1，E9.55h小时．21,minXXX．由2X=1/0.5＝２；

xx．若不然，；

0，，若；

若，若；

若若002e）,（0,00,2e0,0,0,e2122122x121xxxxfxxfxxfxxx解法１根据（4.2b）式，有f．千小时）（31de3dede2de2dedd,dd,dd,,min03012220x221121************212121212121xttxxxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxxxXtxxxxxxxxE解法２先求X的概率密度）（xf．X的分布函数为1[XF（，）]1）][（1,1,min1,min）（F21212121xFxxxXxXXxXXxXxPPPPxx00．若　,若　　；

若若２２0,0,e10,,0,e1x1xxFxxFx因此，有xx．；

若若　　；

若若千小时）（31de30,0,0,e30,0,0,e10333ttXxxfxxFtxxE例4.42（最小值的期望p.108）设随机变量X和Y相互独立，并且都服从正态分布）,（N，求随机变量min{Z解设）（XU，YV,min{VUZU和V都服从标准正态分布1,0N，其联合密度为2},YX，有的数学期望．},min{}VU．2exp21,22vuyx．v因此根据（4.2b）式，有（见插图）v．222221de1de1dede1dede1dd2expmin1dd,min2222222222uuvvvvuuvvvvvv22uvuvuvuvuu