特征方程.docx

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特征方程

特征方程法求解递推关系中的数列通项

当时，的取值称为不动点，不动点是我们

在竞赛中解决递推式的基本方法。

典型例子：

令，即，

令此方程的两个根为，

（1）若,则有

（其中）

（2）若,则有

（其中）

例题1：

设，

（1）求函数的不动点；

（2）对

（1）中的二个不动点，

求使恒成立的常数的值；

（3）对由定义的数列

，求其通项公式。

解析：

（1）设函数的不动点为，则

解得或

（2）由

可知使恒成立的常数。

（3）由

（2）可知，所以数列

是以为首项，为公比的等比数列。

则，则

例2．已知数列满足性质：

对于

且求的通项公式.

解:

依定理作特征方程变形得

其根为故特征

方程有两个相异的根，则有

即又

∴数列是以为首项，为公比的等比数列

例3．已知数列满足：

对于都

有

（1）若求

（2）若求

解：

作特征方程

变形得

特征方程有两个相同的特征根

（1）∵对于都有

（2）∴

例题4：

（限时训练）

10.设是常数，且，函数满

足，且只有一个值使成立。

（1）求的值；

（2）若数列满足，且，

证明数列是等差数列；

（3）令，求数列的前项和。

一、数列的一阶特征方程（型）

在数列中，已知，且时，（是常数），

（1）当时，数列为等差数列；

（2）当时，数列为常数数列；

（3）当时，数列为等比数列；

（4）当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，

这时数列的通项公式为：

；

例1：

已知数列中，，且时，求；

（参考答案：

）

二、数列的二阶特征方程（型）

在数列中，与已知，且（是常数），则称

是数列的二阶特征方程，其根，叫做特征方程的特征根。

（1）当时，有；

（2）当时，有；

其中由代入后确定。

例2：

在数列中，，且时，，求；

（参考答案：

）

考虑一个简单的线性递推问题.

设已知数列的项满足,

其中求这个数列的通项公式.

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：

针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.

证明：

因为由特征方程得作换元

则

当时，，数列是以为公比的等比数列，故

当时，，为0数列，故（证毕）

下面列举两例，说明定理1的应用.

例1．已知数列满足：

求

解：

作方程

当时，数列是以为公比的等比数列.于是

例2．已知数列满足递推关系：

其中为虚数单位.

当取何值时，数列是常数数列？

解：

作方程则

要使为常数，即则必须

现在考虑一个分式递推问题（*）.

例3．已知数列满足性质：

对于且求的通项公式.

将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.

定理2.如果数列满足下列条件：

已知的值且对

于，都有（其中p、q、r、h均为常

数，且），那么，可作特征方

程.

（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，

若则

若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中

证明：

先证明定理的第

（1）部分.

作交换

则

①

∵是特征方程的根，∴

将该式代入①式得②

将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是③

当，即=时，由②式得故

当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：

④

由是方程的两个相同的根可以求得

∴

将此式代入④式得

令则故数列是以为公差的等差数列.

∴

其中

当时，

当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.

再证明定理的第

（2）部分如下：

∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换

故，将代入再整理得

⑤

由第

（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故

故所以由⑤式可得：

⑥

∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.

∴

将上两式代入⑥式得

当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有

当即时，上式也成立.

由且可知

所以（证毕）

注:

当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.

现在求解前述例3的分类递推问题.

解:

依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第

（2）部分，则有

∴

∴

即

例4．已知数列满足：

对于都有

（1）若求

（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？

解：

作特征方程

变形得

特征方程有两个相同的特征根依定理2的第

（1）部分解答.

（1）∵对于都有

（2）∵

∴

令，得.故数列从第5项开始都不存在，

当≤4，时，.

（3）∵∴

∴

令则∴对于

∴

（4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第

（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.

∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.

于是知：

当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.