数学分析期末考试讲解.docx

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数学分析期末考试讲解

《数学分析Ⅰ》题目讲解

一、单项选择题（每小题2分，共14分）

1、设数列满足且，则为【】

A、0B、1C、D、2

2、已知则是的【】

A、第一类不连续点

B、第二类不连续点

C、连续点

D、可去不连续点

3、已知，则在处【】

A、左可导

B、右可导

C、可微

D、不连续

4、若存在，下列说法一定正确的是【】

A、在的任一邻域内有界

B、在的某一邻域内无界

C、在的某一邻域内有界

D、在的任一邻域内无界

5、若在处连续，并且，则【】

A、且存在

B、且存在

C、且存在

D、且存在

6、若在点处存在左、右导数，则在点处必然【】

A、可导

B、不可导

C、连续

D、不连续

7、下列叙述错误的是【】

A、若在点可导，则在点可微；

B、若在点可导，则在点连续；

C、若在点可导，则；

D、设在点可导，则是极值点当仅当.

参考答案：

1.B234567

二、填空题（每小题3分，共21分）

1、

2、曲线上平行于直线的切线的方程为

3、设，则

4、曲线的斜渐近线为

5、函数的极小值点_

6、已知当时与等价，则

7、

参考答案：

1.；

2.；

3.5；

4.；

5.4；

6.1；

7.

三、计算题（每小题6分，共36分）

1、计算.

1、计算

解：

设，由于

，

，，（4分）

由夹逼性，，即原极限为1。

（6分）

2.求极限

3.已知任意次可微，求的二阶微分.

3.已知任意次可微，求的.

解：

令，则，（2分）

所以，（6分）

4.求方程所确定的函数的导数.

4.求方程所确定的函数的导数.

5.设，求.

解：

对等式两端取对数，，（1分）再对上式两端分别求导，

（4分）

（5分）

所以，

6.求由方程所确定的函数的微分.

解：

在方程两端对求导，得

.（3分）

解此方程，得。

（4分）

所以，。

（6分）

四、综合题（3小题，共29分）

1.叙述证明题（4小题，共14分）

（1）叙述（有限）的定义；（3分）

（2）叙述数列的柯西（）收敛原理；（3分）

（3）叙述在区间内一致连续的定义；（3分）

（4）证明在上一致连续。

（5分）

解：

（1）（有限）的定义：

对任意给定的，存在正整数，当时，有。

（3分）

（2）数列的柯西（）收敛原理：

数列收敛的充要条件是是一个基本数列。

（3分）

（3）在区间内一致连续的定义：

若在区间内满足对任意的，存在，使得对内任意两点与，当时，总有，则称在区间内一致连续。

（3分）

（4）证明：

对任意，由于

故对任意的，取，则对内任意两点与，当时，总有，即在上一致连续。

（5分）

2.证明：

当时，.（7分）

证明：

（1）证明.

根据中值定理，

（2分）由于，所以。

（3分）

（2）证明.

令，则

，（2分）当时，，严格单调递减，由，知，从而。

（4分）

3.设在区间可导，且，，证明：

（1）存在使得；（5分）

（2）在内至少有两个零点。

（3分）

证明：

（1）由，存在，使当时，有，此时，。

在中去一点，有；由，存在，使当时，有，此时，。

在中去一点，有。

（3分）于是，。

由在可导，在连续，由中间值定理，存在，使得。

（5分）

（2）由罗尔（）定理，在内至少存在一点使得，在内至少存在一点使得。

故在内至少有两个零点。

（8分）