高中数学必修三《分层抽样》优秀教学设计Word格式.docx

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【提示】　可行，但费时费力、操作不变．

2．能否设计一个合理的抽样方法完成此样本的抽取？

【提示】　能．

先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后逐个抽取的号码依次增加间隔数即得到所求样本．

分层抽样

1．某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？

【提示】　应分高中、初中、小学三个层次进行抽取．

2．在高中、初中、小学三部分学生中都按1%的比例抽取，应各抽取多少人？

【提示】　高中生抽取2400×

1%＝24（人），

初中生抽取10900×

1%＝109（人），

小学生抽取11000×

1%＝110（人）．

1．分层抽样的定义

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

2．分层抽样的适用条件

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往用分层抽样的方法.

系统抽样的简单应用

　某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．

【思路探究】　按1∶5的比例确定样本容量，再按系统抽样的步骤进行，关键是确定第1段的编号．

【自主解答】　按照1∶5的比例抽取样本，则样本容量为

×

295＝59.

步骤是：

（1）编号：

按现有的号码；

（2）确定分段间隔k＝5，把295名同学分成59组，每组5人，第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生；

（3）采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l（1≤l≤5）；

（4）那么抽取的学生编号为l＋5k（k＝0,1,2，…，58），得到59个个体作为样本，如当l＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.

在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤：

①将总体中的个体编号；

②将整体编号进行分段，确定分段间隔k（k∈N*），在确定分段间隔k时应注意：

分段间隔k为整数，当

不是整数时，应采用简单随机抽样剔除部分个体，以获得整数间隔k；

③在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号；

④按照事先预定的规则抽取样本．

从含有100个个体的总体中抽取10个入样，请用系统抽样法给出抽样过程．

【解】　

（1）将100个个体编号，00,01,02,03,04，…，99；

（2）分段，将总体平均分成10段，每段10人；

（3）在第一段即00～09号用简单随机抽样，抽取一个号码如08；

（4）以08为起始数，依次抽取18,28，…，98，这样便得到容量为10的一个样本．

需要剔除个体的系统抽样

　为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，抽取一个容量为50的样本，选用什么抽样方法比较恰当？

简述抽样过程．

【思路探究】　编号→剔除→再编号→分段→

在第一段上抽样→在其他段上抽样→成样

【自主解答】　

（1）随机地将这1003个个体编号为1,2,3，…，1003；

（2）利用简单随机抽样，先从总体中随机剔除3个个体，剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后将1000个个体重新编号为1,2,3，…，1000；

（3）将总体按编号顺序均分成50组，每组包括20个个体；

（4）在编号为1,2,3，…，20的第一组个体中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18；

（5）以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：

18,38,58，…，978,998.

当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等．剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除．

从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请用系统抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．

【解】　第一步，先从802辆轿车中剔除2辆轿车（剔除方法可用随机数法）；

第二步，将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每段含k＝

＝10个个体；

第三步，从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号（如5）作为起始号；

第四步，从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．

分层抽样的应用

　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及以上的有95人，为了了解与身体状况有关的某项指标，要从所有职工中抽取100名职工作为样本，若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

【思路探究】　由于职工年龄与该项指标有关，而年龄由差异明显的几部分组成，故采用分层抽样．

【自主解答】　用分层抽样来抽取样本，步骤是：

（1）分层．按年龄将500名职工分成三层：

不到35岁的职工；

35岁至49岁的职工；

50岁以上的职工．

（2）确定每层抽取个体的个数．抽样比为

＝

，则在不到35岁的职工中抽125×

＝25（人）；

在35岁至49岁的职工中抽280×

＝56（人）；

在50岁以上的职工中抽95×

＝19（人）．

（3）在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本．

（4）综合每层抽样，组成样本．

1．分层抽样的前提和遵循的两条原则

（1）前提：

分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取．

（2）遵循的两条原则：

①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；

②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．

2．分层抽样的操作步骤

第一步，计算样本容量与总体的个体数之比．

第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数．

第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体．

第四步，将各层抽取的个体合成一起，就得到所取样本．

某工厂有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级部门为了了解机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．

【解】　因机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样方法较妥．

∵

＝5，

∴

＝2，

＝14，

＝4.

∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．

因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；

对一般干部70人进行00,01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本.

对系统抽样操作失误致错

　中秋节，相关部门对某食品厂生产的303盒中秋月饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样的方法完成对此样本的抽取．

【错解】　

（1）将303盒月饼用随机的方式编号；

（2）从总体中剔除3盒月饼，将剩下的分成10段；

（3）在第一段中用简单随机抽样抽取起始号码l；

（4）将编号为l＋30，l＋2×

30，…，l＋9×

30的个体取出，组成样本．

【错因分析】　在第二步剔除3盒月饼后没有对剩下的月饼进行从000,001，…，299重新编号．

【防范措施】　在系统抽样中，若

不是整数，则需剔除几个个体使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除，那么，从总体中剔除一些个体后，剩余个体应重新编号．

【正解】　

（1）将303盒月饼用随机的方式编号；

（2）从总体中用简单随机抽样的方式剔除3盒月饼，将剩下的月饼重新用000～299编号，并等距分成10段；

（3）在第一段000,001,002，…，029这三十个编号中用简单随机抽样确定起始号码l；

（4）将编号为l，l＋30，l＋2×

30，l＋3×

30的个体抽出，组成样本．

三种抽样方法的比较

类别

共同点

各自特点

相互联系

适用范围

简单

随机

抽样

①抽样过程中，每个个体被抽取的机会相等

②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样

③抽样方法经常交叉应用，对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可采用简单随机抽样

从总体中

逐个抽取

①系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样

②分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样

③在简单随机抽样、系统抽样、分层抽样中，若总个体个数为N，抽取的样本容量为n，则每个个体被抽到的概率P＝

，对于这三个特定的量知二可求一

总体中的个体数较小

系统

将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取

总体中的个体数较大

分层

将总体分成几层，分层进行抽取

总体由差异明显的几部分组成

1．老师从全班50名同学中抽取学号为3,13,23,33,43的五名同学了解学习情况，其最可能用到的抽样方法为（　　）

A．简单随机抽样　　　B．抽签法

C．随机数表法D．系统抽样

【解析】　符合系统抽样的特征．

【答案】　D

2．为了解2400名学生对某项教改的意见，打算从中抽取60名学生调查，采用系统抽样法，则分段间隔k为（　　）

A．40　　　B．30　　　

C．20　　　D．60

【解析】　k＝

＝40.

【答案】　A

3．某单位有职工200人，35岁以下有40人，35岁到50岁的有120人，51岁及以上的有40人，用分层抽样的方法从中抽取40人，各年龄段分别抽取人数为（　　）

A．8,24,8B．4,12,20

C．24,28,30D．16,16,32

【解析】　各年龄段的比为1∶3∶1，∴各段人数分别为40×

＝8,40×

＝24,40×

＝8.

4．某运输队有货车1200辆，客车800辆，从中抽取

调查车辆的使用和保养情况，请给出抽样过程．

【解】　利用分层抽样．

第一步，确定货车和客车各应抽取多少辆．

货车：

1200×

＝120（辆），

客车：

800×

＝80（辆）；

第二步，用系统抽样法分别抽取货车120辆，客车80辆；

第三步，把抽取的货车和客车组成样本.

一、选择题

1．现有60件产品，编号从1到60，若用系统抽样方法从中抽取6件检验，则所抽到的个体编号可能是（　　）

A．5,10,15,20,25,30　　　　B．2,14,26,28,42,56

C．3,13,23,33,43,53D．1,12,23,34,45,56

【解析】　抽样间距为k＝

＝10，故C正确．

【答案】　C

2．（2014·

绵阳高一检测）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行（　　）

A．每层等数量抽样

B．每层不等可能抽样

C．所有层按同一抽样比等可能抽样

D．所有层抽同样多的个体等可能抽样

【解析】　要保证每个个体等可能入样，需要在所有层都按照同一抽样比等可能抽样．故选C.

3．已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为（　　）

A．30B．36

C．40D．无法确定

【解析】　分层抽样中抽样比一定相同，设容量为n，由题意得

，解得n＝36，故选B.

【答案】　B

4．某校共有2000名学生，各年级男、女生人数如表所示．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（　　）

一年级

二年级

三年级

女生

373

380

y

男生

377

370

z

A.24B．18

C．16D．12

【解析】　依题意可知三年级学生人数为500，即总体中各年级的人数比例为3∶3∶2，故用分层抽样抽取三年级学生人数为64×

＝16，故选C.

5．（2012·

山东高考）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为（　　）

A．7B．9

C．10D．15

【解析】　由系统抽样的特点知：

抽取号码的间隔为

＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋（n－1）×

30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．

二、填空题

6．（2012·

江苏高考）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．

【解析】　设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.解得x＝15.

【答案】　15

7．某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人．为了调查他们的身体情况，用分层抽样的方法从他们中抽取了n个人进行体验，其中有3名老年人，那么n＝________.

【解析】　由题意可知抽样比为

，所以中年人应抽取54×

＝6（人），青年人应抽取81×

＝9（人），所以n＝3＋6＋9＝18.

【答案】　18

8．某单位200名职工的年龄分布情况如图2－1－1所示，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取__________人．

图2－1－2

【解析】　由于系统抽样的方法在第一段实施简单随机抽样得一个起始编号，其余的编号是在此基础上加上分段间隔的整数倍得到的，第5组为22，分段间隔为5，故第一段为2，第8段为37，由分层抽样40岁以下占50%，故按比例应抽取40×

50%＝20（人）．

【答案】　37　20

三、解答题

9．某学校有30个班级，每班50名学生，上级要到学校进行体育达标验收．需要抽取10%的学生进行体育项目的测验．请你制定一个简便易行的抽样方案（写出实施步骤）．

【解】　该校共有1500名学生，需抽取容量为1500×

10%＝150的样本．抽样的实施步骤．

可将每个班的学生按学号分成5段，每段10名学生．用简单随机抽样的方法在1～10中抽取一个起始号码l，则每个班的l,10＋l,20＋l,30＋l,40＋l（如果l＝6，即6,16,26,36,46）号学生入样，即组成一个容量为150的样本．

10．某企业共有3200名职工，其中，中、青、老年职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个容量为400的样本，采用哪种抽样方法更合理？

中、青、老年职工应分别抽取多少人？

【解】　由于中、青、老年职工的比例不同，故用分层抽样的方法更合理．

中年职工抽取人数为400×

＝200（人）；

青年职工抽取人数为400×

＝120（人）；

老年职工抽取人数为400×

＝80（人）．

11．某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．

【解】　

（1）先把这253名学生编号000,001，…，252；

（2）用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生；

（3）把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250；

（4）分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段．每段含5名学生；

（5）从第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l；

（6）从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．

这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本．

为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？

应当怎样改进？

如果是调查一年的车流量情况呢？

【思路探究】　该题实际上是考查系统抽样的特征——等距离抽取样本．

【自主解答】　交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．

改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．

如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.

某单位有工人18人，技术人员12人，工程师6人，现需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，都不用剔除个体；

如果样本容量增加1个，则用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量n.

【解】　总体中个体总数N＝18＋12＋6＝36，当抽取n个个体时，不论是系统抽样还是分层抽样，都不需要剔除个体．

所以n应为2或3或6（取36,18,12,6的公约数）．

当n＝2或3时，既不符合题意，也不满足n＋1时，系统抽样需要剔除．

当n＝6时，符合题意，也满足n＋1时系统抽样需要剔除1个，所以n＝6.