苏教版小学数学五年级上册《八 用字母表示数 钉子板上的多边形》优质课教案0Word格式文档下载.docx
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这是一次既有趣又有挑战性的活动，是在学生掌握用字母表示数及具备画图、填表、分析数据、探索规律等能力的基础上进行的探究活动。
在钉子板上围图形、数钉子的枚数、算图形的面积，这些都是学生喜欢做、能够做的事情，他们会乐意参与这次活动。
然而，钉子板上围出来的图形大多数不是规则图形，也不是简单图形，求它们的面积没有现成的方法可以使用，得出图形的面积比较难。
而且，这次活动要探索围成的图形面积与图形边上的钉子枚数之间的关系，还要用含有字母的式子表达这种关系，有相当的难度。
但也正是这些“趣”与“难”，有助于体现活动的教育价值，培养学生探索精神和数学思维能力。
【学习目标】
知识与技能：
经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现在钉子板上围成的多边形的面积与它的边所经过的钉子数，以及多边形内部钉子数的关系（即皮克定理），并会用含有字母的式子表示发现的规律。
过程与方法：
使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
。
情感态度价值观：
使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。
【设计意图】
整个教学流程分为四大板块：
第一板块，激趣生疑，直观感知多边形面积既和边上钉子数有关也和形内钉子数有关。
第二板块，学生探究多边形有一个钉子的情况，教师是半扶半放的，学生形成了画一画图形、数一数面积、说一说发现的方法结构。
第三板块，学生独立经历钉子板内有2枚钉子的情况，这是个巩固运用结构进行探究的过程。
第四板块，让学生开放性的选择当n=3枚、4枚钉子时，进行合作研究。
学生已有研究的方法和结构，速度也快了很多。
然后在此基础上推导规律就显得水到渠成了。
就像霍姆林斯基说：
“儿童就其天性来讲，是富有探求精神的探索者，是世界的发现者”。
在整个探索流程中学生经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现在钉子板上围成的多边形的面积与它的边所经过的钉子数，以及多边形内部钉子数的关系（即皮克定理），并会用含有字母的式子表示发现的规律；
体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
【教学准备】
钉子板、橡皮筋，课件、探究单等。
【教学过程】
一：
创设情境，引出问题
师：
同学们，今天我们一起来学习钉子板上的多边形。
出示一个钉子板实物。
问题1：
同学们，你们认识它吗？
（生：
钉子板）对，这是我们的老朋友——钉子板。
（师同时在钉子板上围成一个三角形）看，老师拿着一条皮筋在钉子板上做了什么？
围成了一个三角形）那你能以最快的速度说出它的面积吗？
（学生回答，可能回答用面积计算公式，也有可能回答数格子）
同学们通过图形的面积计算公式和数格子的方法得到了图形的面积，可老师还有更快的方法能得到这个图形面积，想知道是什么吗？
今天我们就来探究这种方法。
为了探究的方便，我们通常用这样的点子图代替钉子板。
每相邻两个点之间的距离都是1cm，这样相邻4个点围成一个面的面积就是1cm²
二：
自主探究，得出猜想
接下来我们就来探究这些点与多边形面积的关系。
华罗庚先生说：
“知难而退，退到事物更简单的情况去观察，去思考，以找到规律。
”那我们就从最简单的一组图形——内部只有一个点的多边形开始研究。
研究1：
独立完成“钉子板上的多边形”探究单1。
1、教师先带着学生得出图形1的数据。
2、图形2和图形3请各位同学通过算一算、数一数，将所得的数据填写到探究单1第一题的表格内；
3、请一名学生展示他的研究单，并说一说研究过程；
——学生自己介绍表格中数据的由来。
4、观察分析表格中的数据，你有什么发现？
——同桌互相说一说
——个别的汇报（边上的钉子数越多，面积就越大；
多边形的面积是多边形边上的钉子数的一半）
（PPT5）5、同学们真厉害，一下子就找到了它们之间的关系，为了简明易记，通常我们用S表示面积，n表示多边形边上的钉子数，你能用一个式子表示上面得到的关系吗？
——S=n÷
2
虽然这3个多边形不一样，但是我们从中找到了它们的共同点，发现它们的面积都等于相对应多边形边上的钉子数的一半，这就是数学，数学就是研究千变万化中不变的规律。
三、质疑验证，归纳结论
同学们，刚刚我们通过对最简单的一组图形进行观察，将观察得到的数据填写到表格里，通过数据之间的比较大胆猜想存在的规律，那S=n÷
2这个规律是否对钉子板上所有的多边形都成立呢？
应该怎么办？
————验证！
1、出示1个内部有两个点的多边形，让学生先观察和前面3个图形有什么不同？
并得出S和n，发现所得数据n的一半不等于S。
2、通过验证，你有什么发现？
——发现S=n÷
2只在内部都只有一个点的多边形内成立，在其它的多边形中不成立。
小结：
多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。
多边形内的钉子数用a表示，上面的规律可以归纳为：
当a=1时，S=n÷
2（板书）
四、合作探究，得出规律
引入：
通过刚才的验证，我们知道S=n÷
2在内部钉子数为2的多边形中不成立，那内部钉子数为2的多边形的面积和钉子数到底又有着怎样的关系呢？
我们继续来探究。
合作交流,完成探究单1的第二题。
1、观察图形⑤⑥，得出S和n；
2、观察表格中的S与n的值，和你的同桌说一说，你有什么发现？
3、个别同学汇报发现（谁能把你的发现和大家说一说）。
多边形内部的钉子数为2时，多边形的面积比它边上钉子数的一半多1,）
4、用字母表示，上面的规律可以归纳为：
当a=2时，S=n÷
2+1（板书）
五、推想、验证，得出规律
引入（指着板书）：
当a=2时，S=n÷
2+1
猜想：
当a=3、4、5·
·
时，S与n之间有什么关系呢？
学生猜想：
当a=3时，S=n÷
2+2（板书）
当a=4时，S=n÷
2+3（板书）？
？
学生验证：
分组探究，分成2人小组：
1、组内确定研究主题：
a=3，a=4（二选一）。
2、两人合作画2个多边形，并且得出S与n的值，由其中一人汇总并汇报小组的研究成果。
3、观察比较分析，研究的结果和猜想的结论是否一致？
（请两个研究主题不同的组汇报，并让其他组根据自己的图形验证发现是否正确。
）
小结：
根据刚才同学们的研究，我们得到了这些规律
2+2
2+3
请同学们观察一下和多边形内部钉子数，你有什么发现？
（用红色粉笔圈一下板书的两组数据提示学生）（生：
都比内部钉子数少1）
S还可以表示为……（出示）
请你说一说
当a=5时，S=（出示）
当a=10时，S=（出示）
问题：
你能用一个含有S、n、a的式子概括出以上所有的规律吗？
——————S=n÷
2+a-1
六：
拓展研究，形成体系
刚我们探究的都是内部有钉子的图形，现在老师给出这样的几个图形，请同学们观察一下，这些图形有什么特征？
——内部的钉子数为0.即a=0
问题：
当a=0时，上面的规律还成立吗？
你是怎么想的？
说一说你的想法和结论。
a=0时，S=n÷
2+0-1=n÷
2-1
七：
总结收获，形成方法。
说明：
我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（皮克定理是奥地利数学家乔治·
皮克发现的，该定理被誉为有时以来“最重要的100个数学定理”之一。
）。
有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。
如果有进一步认识的要求，那记住这本书：
闵酮鹤的著作《格点和面积》，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。
回顾过程，交流体会。
提问：
回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？
要善于从不同的多变形中找到它们的相同点。
用含有字母的式子表示规律，简明易记。
探索规律时，要认真观察、反复比较，发现规律后要验证。
希望各位同学能将今天所收获的用于今后的学习中。
好，今天的课上到这里，很高兴和我们XXX班的同学一起学习，辛苦各位同学！
下课！
[授课教师简介]
张华凌，女，本科学历，城步县红旗小学教师，2010年毕业至今一直从事数学学科教学。
从教以来连续担任过四年班主任工作，所带班级班风、学风优良，多次评为先进班集体；
有着较丰富的高年级数学教学经验，任教学科成绩多次在县同年级中名列前茅；
多次获奖，取得了县政府5次嘉奖，送报的课例《20以内的进位加法—8、7加几》在2014年度“一师一优课，一课一名师”活动中获“部级优课”；
所写论文也多次在市、县获奖。
“钉子板上的多边形”探究单1
一、探索思考，发现规律
发现：
二、合作探究，得出规律。
（同桌交流，完善表格，并一起探讨有什么规律）
“钉子板上的多边形”探究单2
研究主题：
我的猜想：
我的结论：
“钉子板上的多边形”探究单2
备用点子图：
在这画上你最喜欢的一个多边形。
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