学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第四章圆与方程疑难规律方法.docx

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学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第四章圆与方程疑难规律方法

1　圆的两种方程的区别与联系

圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2；而二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为

，半径为r＝

的圆，叫做圆的一般方程．

二者的相同点表现在：

（1）二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程．掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的．

（2）不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值．

标准方程与一般方程的差别主要表现在以下两点：

1．二者确定圆的条件不同

例1　圆心P在直线y＝x上，且与直线x＋2y－1＝0相切的圆，截y轴所得的弦长|AB|＝2，求此圆的方程．

解　∵圆心P在直线y＝x上，

∴可设P的坐标为（k，k），

设圆的方程为（x－k）2＋（y－k）2＝r2（r>0）．

作PQ⊥AB于Q，连接AP，在Rt△APQ中，|AQ|＝1，

|AP|＝r，|PQ|＝|k|，∴r＝

.

又r＝

，∴

＝

，

整理得2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－

.

当k＝2时，圆的半径为r＝

＝

，

故圆的方程为（x－2）2＋（y－2）2＝5.

当k＝－

时，圆的半径为r＝

＝

，

故圆的方程为

2＋

2＝

.

因此所求圆的方程为（x－2）2＋（y－2）2＝5或

2＋

2＝

.

例2　已知△ABC各顶点的坐标分别为A（－1,5），B（－2，－2），C（5,5），求其外接圆的方程．

分析　可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程．

解　设过A、B、C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

将A（－1,5），B（－2，－2），C（5,5）代入，可得

解得D＝－4，E＝－2，F＝－20，

∴其外接圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.

评注　圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程；而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算．另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单．

2．二者的应用方面不同

例3　若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y＝

x（x≥0）相切，求这个圆的方程．

分析　利用“半径为1的圆与y轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口．

解　由题意知，圆心的横坐标及半径为1，纵坐标大于0，设圆心纵坐标为b（b＞0），则圆的方程为（x－1）2＋（y－b）2＝1（b＞0），

∵圆与射线y＝

x（x≥0）相切，∴

＝1，

解得b＝

，∴圆的方程为（x－1）2＋（y－

）2＝1.

评注　圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．

2　圆弦长的求法

1．利用两点间的距离公式

若直线与圆相交的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长|AB|＝

.

例1　求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长．

解　设直线与圆相交时的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知直线的方程为y＝

x.

解方程组

得

或

∴|AB|＝

＝

＝2

.

评注　解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解．这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法．

2．利用勾股定理

若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|＝2

.

例2　求直线x＋2y＝0被圆x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长|AB|.

解　把圆x2＋y2－6x－2y－15＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－1）2＝25，

所以其圆心坐标为（3,1），半径为r＝5.

因为圆心（3,1）到直线x＋2y＝0的距离为d＝

＝

，所以弦长|AB|＝2

＝4

.

3．利用弦长公式

若直线l的斜率为k，与圆相交时的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长|AB|＝

|x1－x2|＝

.

例3　求直线2x－y－2＝0被圆（x－3）2＋y2＝9所截得的弦长|AB|.

解　设直线与圆相交时的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．由

消去y整理得

5x2－14x＋4＝0，则x1＋x2＝

，x1x2＝

.

∴|AB|＝

＝

＝

.

评注　通常设出弦的两端点的坐标（不必求出，即设而不求），联立直线方程与圆方程消去y（或x）转化为关于x（或y）的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解.

3　妙用对策简解“圆”的问题

在学习圆的知识时，往往会遇到一些综合性强、运算量大的问题，解决这类问题的关键是避开复杂运算，减少运算量．现举例介绍求解圆问题的三条简解对策．

1．合理选用方程

要学会选择合适的“圆的方程”，如果方程选择得当，运算量就会减少，解法就简捷．如果问题中给出圆心坐标关系或圆心的特殊位置或半径大小时，选用标准方程；否则，选用一般方程．

例1　求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A（5,2），B（3，－2）的圆的方程．

解　设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r>0）．

因为圆过点A（5,2），B（3，－2），

所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上．

易得线段AB的垂直平分线方程为y＝－

（x－4）．

又因为圆心在直线2x－y－3＝0上，

所以由

解得

即圆心坐标为（2,1）．

又圆的半径为r＝

＝

.

所以圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝10.

2．数形结合，充分运用圆的几何性质

求解直线与圆的位置关系问题时，为避免计算量过大，可以数形结合，充分运用圆的几何性质求解．比如，圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上；计算弦长时，可用半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形；涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径等．

例2　已知直线l：

y＝kx＋1，圆C：

（x－1）2＋（y＋1）2＝12.

（1）证明：

不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．

方法一　

（1）证明　由

消去y得（k2＋1）x2－（2－4k）x－7＝0，

因为Δ＝[－（2－4k）]2＋28（k2＋1）>0，

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．

（2）解　设直线与圆交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，

则直线l被圆C截得的弦长为|AB|＝

|x1－x2|＝2

＝2

，

令t＝

，则tk2－4k＋（t－3）＝0，

当t＝0时，k＝－

，

当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t（t－3）≥0，

解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝

的最大值为4，

此时|AB|最小为2

.

方法二　

（1）证明　圆心C（1，－1）到直线l的距离为d＝

，圆C的半径为R＝2

，

R2－d2＝12－

＝

，

而在S＝11k2－4k＋8中，Δ＝（－4）2－4×11×8<0，

故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，

所以R2－d2>0，即d

（2）解　由平面几何知识，

知|AB|＝2

＝2

，下同方法一．

方法三　

（1）证明　因为不论k为何实数，直线l总过点P（0，1），而|PC|＝

<2

＝R，所以点P（0,1）在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．

（2）解　由平面几何知识知，过圆内定点P（0,1）的弦，只有和AC（C为圆心）垂直时才最短，而此时点P（0,1）为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2

＝2

，

即直线l被圆C截得的最短弦长为2

.

评注　在直线与圆的位置关系中，直线与圆相交时研究与弦长有关的问题是一个重点内容．解决这类弦长问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形这一结论．

3．设而不求，整体代入

对于圆的一些综合问题，比如弦的中点问题，常运用整体思想．整体思想就是在处理问题时，利用问题中整体与部分的关系，灵活运用整体代入、整体运算、整体消元（设而不求）、整体合并等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美．

例3　已知圆C：

x2＋（y－1）2＝5，直线l：

mx－y＋1－m＝0，设l与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．

解　设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）．

当直线l不垂直于x轴时，依题意，得

x

＋（y1－1）2＝5，①

x

＋（y2－1）2＝5.②

由①－②，可得（x1＋x2）（x1－x2）＝－（y1＋y2－2）（y1－y2），所以

＝

＝

＝

.

而直线恒过点（1,1），所以

＝

，

所以

＝

，即x2－x＋（y－1）2＝0，

即（x－

）2＋（y－1）2＝

.

当直线l垂直于x轴时，点M（1,1）也适合方程（x－

）2＋（y－1）2＝

.

综上所述，点M的轨迹方程是（x－

）2＋（y－1）2＝

.

评注　本题中设出A，B两点的坐标，但求解过程中并不需要求出来，只是起到了中介桥梁的作用，简化了解题过程．这种设而不求，整体处理的技巧，常能起到减少运算量、提高运算效率的作用.

4　解析几何中数学思想的应用

1．数形结合思想

数形结合的思想，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，实现代数问题几何化，几何问题代数化．

例1　已知点P（x，y）在圆O：

x2＋y2＝1上，求（x＋2）2＋（y－3）2的最小值．

分析　从（x＋2）2＋（y－3）2的几何意义打开思维，通过数形结合，辅之以临界点来求解．

解　如图，设点M（－2,3），

则（x＋2）2＋（y－3）2表示|PM|2.

因为|MO|2＝（－2）2＋32＝13>1，所以点M在圆O外．

连接MO并延长，顺次交圆O于D，E两点，则|MD|≤|PM|≤|ME|，

即|MO|－r≤|PM|≤|MO|＋r.

所以|PM|的最小值为|MO|－r＝

－1，即（x＋2）2＋（y－3）2的最小值为（

－1）2＝14－2

.

评注　本例从运动变化的角度出发（让点P在圆上运动），在运动中寻觅最值取得的条件，从而使问题获解．

2．方程思想

通过观察、分析、判断将问题化归为方程的问题，利用方程的性质，实现问题与方程的互相转化，达到解决问题的目的．

例2　已知过点（3,0）的直线l与圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ（其中O为原点），求直线l的方程．

分析　由条件OP⊥OQ，若设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

·

＝－1.由P，Q在圆及直线上，可借助方程求解．

解　设直线l的方程为x＋ay－3＝0（a≠0），

则点P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标满足方程组

消去y，得x2＋

2＋x－6·

＋3＝0，

即

x2＋

x＋

－

＋3＝0，

所以x1x2＝

.①

由方程组消去x，得（3－ay）2＋y2＋（3－ay）－6y＋3＝0，

即（a2＋1）y2－（7a＋6）y＋15＝0，所以y1y2＝

.②

因为