函数的图象初中数学第六册教案九年级数学教案Word下载.docx

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5

(这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法)

第二步:

描点,对于表中的每一组对应值,以x值作为点的横坐标,以对应的y值作为点的纵坐标,便可画出一个点。

也就是由表中给出的有序实数对,在直角坐标系中描出相应的点。

第三步 

连线,按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来,得到的图形就是函数式y=2x+1的图象。

图13-24

例1 

在同一直角坐标系中画出下列函数式的图象:

(1)y=-3x;

(2)y=-3x+2;

(3)y=-3x-3

分析:

按照列表、描点、连线三步操作。

解:

函数式

(1)y=-3x

函数y

6

-6

函数

(2)y=-3x+2

8

-4

函数(3)y=-3x-3

-9

它们的图象分别是图13-25中的

(1)

(2)(3)。

例2 

某化工厂1月到12月生产某种产品的统计资料如下:

X/月份

4

7

9

10

11

12

Y/产品吨数

(1)在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标,以该月的产值作为点的纵坐标画邮对应的点。

把12个点画在同一直角坐标系中。

(2)按照月份由小到大的顺序,把每两个点用线段连接起来。

(3)解读图象:

从图说出几月到几月产量是上升的、下降的或不升不降的。

(4)如果从3月到6月的产量是持逐平稳增长的,请在图上查询4月15日的产量大约是多少吨?

(1),

(2)见图13-26

(3)产量上升:

1月到2月;

3月,4月,5月,6月逐月上升;

10月,11月,12月逐月上升。

产量下降:

8月到9月,9月到10月。

产量不升不降:

2月到3月;

6月到7月,7月到8月。

(4)过x轴上的4.5处作y轴的平行线,与图象交于点A,则点A的纵坐标约4.5,所以4月15日的产量约为4.5吨。

(三)课堂练习

已知函数式y=-2x。

用列表(x取-2,-1,2,1,2),描点,连线的程序,画出它的图象。

(四)小结

到现在,我们已经学过了表示函数关系的方法有三种:

1.解析式法——用数学式子表示函数的关系。

2.列表法——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系。

3.图象法——把自变量x作为点的横坐标,对应的函数值y作为点的纵坐标,在直角坐标系内描出对应的点,所有这些点的集合,叫做这个函数的图象。

用图象来表示函数y与自变量x对应关系。

这三种表示函数的方法各有优缺点。

1.用解析法表示函数关系

优点:

简单明了。

能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系,并且适合进行理论分析和推导计算。

缺点:

在求对应值时,有时要做较复杂的计算。

2.用列表表示函数关系

对于表中自变量的每一个值,可以不通过计算,直接把函数值找到,查询时很方便。

表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出,而且从表中看不出变量间的对应规律。

3.用图象法表示函数关系

形象直观,可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质,把抽象的函数概念形象化。

从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。

函数的三种基本表示方法,各有各的优点和缺点,因此,要根据不同问题与需要,灵活地采用不同的方法。

在数学或其他科学研究与应用上,有时把这三种方法结合起来使用,即由已知的函数解析式,列出自变量与对应的函数值的表格,再画出它的图象。

(五)作业

1.在图13-27中,不能表示函数关系的图形有()

(A)(a),(b),(c) 

(B)(b),(c),(d)(C)(b),(c),(e) 

(D)(b),(d),(e)

2.函数y=的图象是图13-28中的( 

3.矩形的周长是12cm,设矩形的宽为x(cm),面积为y(cm2).

(1) 

以x为自变量,y为x的函数,写出函数关系式,并在关系式后面注明x的取值范围;

(2) 

列表、描点、连线画出此函数的图象

4.

(1)画出函数y=-x+2的图象(在-4与4之间,每隔1取一个x值,列表;

并在直角坐标系中描点画图);

(2)判断下列各有序实数对是不是函数。

Y=-x+2的自变量x与函数y的一对对应值,如果是,检验一下具有相应坐标的点是否在你所出的函数图象上:

(-2,2), 

(-,2), 

(-1,3),(,1)

5.画出下列函数的图象:

(1)y=4x-1;

(2)y=4x+1

6.图13-29是北京春季某一天的气温随时间变化的图象。

根据图象回答,在这一天:

(1)8时,12时,20时的气温各是多少;

(2)最高气温与最低气温各是多少;

(3)什么时间气温最高,什么时间气温最低。

7.画出函断y=x2的图象(先填下表,再描点,然后用平滑曲线顺次连结各点):

X

-1.5

-0.5

0.5

1.5

y

8.画出函数y=图象(先填下表,再描点,然后用平滑曲线顺次连结各点):

-5

作业的答案或提示

1. 

选(C),因为对应于x的一个值的y值不是唯一的。

2. 

选(D)当x=-x,所以y===-1,当x>

0时,=x,所以y===1

3.

(1)y=x(6-x)其中0

(2)

4.

Y=-x+2

x

3

2

1

经过检验,点(-,2)及点(,1)在所画的函数图象上。

5.

Y=4x-1

Y=4x+1

-7

6.

(1)8时约5℃,20时约10℃。

(2)最高气温为12℃,最低气温为2℃。

(3)14时气温最高,4时气温最低。

7.

Y=x2

2.25

0.25

8.

Y=

-

课堂教学设计说明

1.在建立平面直角坐标系后,点的坐标(有序实数对)与坐标平面内的点一一对应;

不同的坐标与不同的点一一对应;

函数关系与动点轨迹一一对应,把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来,通过解读图象,了解抽象的数量关系,这种“数形结合”,是数学中的一种重要的思想方法。

2.本课的目标是使学生会画函数图象,并会解读图象,即会从图象了解到抽象的数量关系。

为此,先在复习旧课时,着重提问坐标平面上的点与有序实数对一一对应,接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤。

3.教学设计中的例3,既训练学生从已数据画图象,又训练学生逆向思维、解读图象、在图象上估计某日产量的能力,对函数图象功能有一个完整的认识。

4.在小结中,介绍了函数关系的三种表示方法,并说明它们各自的优缺点,有利于对函数概念的透彻理解。

5.作业中的第1-3题,对训练函数图象很有帮助。

第1题,目的要说明,对于x的一个值,y必须是唯一的值与之对应,而(b)(c)(e)都是对于x一个值,y有不止一个值与之对应,所以y不是x的函数,本题还训练解读图形的能力。

第2题,训练学生分类讨论的数学思想,在去掉绝对值符号时,必须分x≥0与x

第3题,训练学生根据已知条件建立函数解析式,并列表、描点、连线画出图象的能力,这些都是学习函数问题时应具备的基本功。

6.4切线长定理

  教学目的:

  1.使学生理解切线长的概念,掌握切线长定理.

  2.使学生学会运用切线长定理解有关问题.

3.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,培养数形结合的思想.

  教学重点和难点:

  切线长定理是教学的重点.切线长定理的灵活运用是教学的难点.

  教学过程():

  一、复习提间:

  1.背诵切线的判定定理和性质定理.

  2.过圆上一点可作圆的几条切线?

过圆外一点呢?

过圆内一点呢?

  二、讲授新课:

  1.切线长的概念(教师强调指出:

切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;

切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.).

  教师先画出图形,图1,然后板书:

已知P是⊙O外一点,PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点.接着,直接告诉学生:

切线PA、PB是直线,但在研究切线的一些特性时,需要用到线段PA、PB或者它们的长度(同学们在以后做题时将体会到)所以给图中的线段PA、PB的长起个名字叫做“切线长”.切线长的定义是:

在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

  2.切线长定理(讲清定理的条件和结论、证明方法,并要求学生课上基本记住).

  教师 引导学生继续观察,直观判断,猜想图中PA是否等于PB.学生容易想到PA=PB.图形可能存在着什么关系(线段PA=PB),能不能证明出线段PA=PB呢?

我们先从已知条件考虑:

由“PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点”可以得出什么?

(连结OA、OB则∠OAP=Rt∠,∠OBP=Rt∠,且OA=OB).再想一想能否证出PA=PB(连结OP得△OAP≌△OBP).通过三角形全等,不但证明了PA=PB,而且证出了∠OPA=∠OPB.

  教师板书证明过程

  证明:

连结OA、OB、OP.PA、PB切⊙O于A、B

  

  引导学生用文字语言叙述出切线长定理的具体内容:

   切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

  3.切线长定理的应用.

  

(1)例1如下图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点.直线OP交⊙O于点D,E,交AB于C.

  

(1)写出图中所有的垂直关系;

  

(2)写出图中所有的全等三角形;

  (3)写出图中所有的相似三角形;

  (4)写出图中所有的等腰三角形.

  (通过此例引导学生把新旧知识联系起来,找出一些规律性的东西,便于运用,也有利于开阔学生的思路)

  例2圆的外切四边形的两组对边的和相等.

  引导学生画出图形,并根据下图写出已知和求证.最后师生共同完成证明过程.

 

  例2是圆外切四边形的一个重要性质,要求学生记住结论.

  三、小结:

  本节主要学习了切线长定义和切线长定理. 强调切线长和切线的概念不同.要注意切线长定理的灵活运用.要熟习添加不同的辅助线以后所得出的结果.

第一课时  一、教学目标

  1.使学生了解正切、余切的概念,能够正确地用、表示直角三角形(其中一个锐角为)中两边的比,了解与成倒数关系,熟记30°

、45°

、60°

角的各个三角函数值,会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子,会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数,了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系。

  2.逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。

  3.培养学生独立思考、勇于创新的精神。

  二、学法引导

  1.教学方法:

运用类比法指导学生探索研究新知。

  2.学生学法:

运用类比法主动探索研究新知。

  三、重点、难点、疑点及解决办法

  1.重点:

了解正切、余切的概念,熟记特殊角的正切值和余切值。

  2.难点:

了解正切和余切的概念。

  3.疑点:

正切与余切概念的混淆.

  4.解决办法:

通过类比引出概念和性质,再通过大量直接应用,巩固概念和性质。

  四、教具准备

  投影机、投影片(自制)、三角板

  五、教学步骤

  

(一)明确目标

  1.什么是锐角的正弦、余弦?

(结合下图回答)。

  2.填表

  3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系?

  4.当角度在0°

~90°

变化时,锐角的正弦值、余弦值有何变化规律?

  5.我们已经掌握一个锐角的正弦(余弦)是指直角三角形中该锐角的对边(邻边)与斜边的比值,那么直角三角形中,两直角边的比值与锐角的关系如何呢?

在锐角三角函数中,除正、余弦外,还有其他一些三角函数,本节课我们学习正切和余切。

  

(二)整体感知

  正切、余切的概念,也是本间的重点和关键,是全章知识的基础,对学生今后的学习或工作都十分重要,教材在继第一节正弦和余弦后,又以同样的顺序安排第二节正切余切,像这样,把概论、计算和应用分成两块,每块自与一个整体小循环,第二循环又包含了第一循环的内容,可以有效地克服难点,同时也使学生通过对比,便于掌握锐角三角函数的有关知识。

  (三)教学过程

  1.引入正切、余切概念

  ①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系,因此同学们首先应思考:

当锐角固定时,两直角边的比值是否也固定?

  因为学生在研究过正弦、余弦概念之后,已经接触过这类问题,所以大部分学生能口述证明,并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切”。

  ②给出正切、余切概念。

  如图,在中,把的对边与邻边的比叫做的正切,记作。

  即 

  并把的邻边与对边的比叫做的余切,记作,

   

即 

  2.与的关系

  请学生观察与的表达式,得结论(或,)这个关系式既重要又易于掌握,必须让学生深刻理解,并与区别开.

  3.锐角三角函数

  由上图,,,,,把锐角的正弦、余弦、正切、余切都叫做的锐角三角函数。

  锐角三角函数概念的给出,使学生茅塞顿开,初步理解本节题目。

  问:

锐角三角函数能否为负数?

  学生回答这个问题很容易。

  4.特殊角的三角函数。

  ①教师出示幻灯片

  请同学推算30°

角的正切、余切值。

(如下图)

  ;

  .

  通过学生计算完成表格的过程,不仅复习巩固了正切、余切概念,而且使学生熟记特殊角的正切值与余切值,同时渗透了数形结合的数学思想。

  0°

,90°

正切值与余切值可引导学生查“正切和余切表”,学生完全能独立查出。

  5.根据互为余角的正弦值与余弦值的关系,结合图形,引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系。

  结论:

任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

,.

  练习:

1)请学生回答与的值各是多少?

与?

与呢?

学生口答之后,还可以为程度较高的学生设置问题:

与有何关系?

为什么?

  2)把下列正切或余切改写成余角的余切或正切:

  

(1);

(2);

(3);

(4);

(5);

(6)。

  6.例题

  【例1】求下列各式的值:

  

(2).

  解:

(1)

(2)

=2.

  练习1.求下列各式的值:

  

(2);

  (3);

  (4);

  (5).

  2.填空:

  

(1)

  

(2)若,则锐角

  (3)若,则锐角

  学生的计算能力可能不很强,尤其是分式,二次根式的运算,因此这里应查缺补漏,以培养学生运算能力。

  (四)总结扩展

  请学生小结:

本节课了解了正切、余切的概念及与关系.知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系.本课用到了数形结合的数学思想.

  结合及,可扩展为.

  六、布置作业

  1.看教材P12~P14,培养学生看书习惯。

  2.教材P16中习题6.2A组2、3、4、5、6.

  七、板书设计

第二课时

  一、教学目标

  1.巩固正、余切概念,学会用正、余切来解决问题.

  2.通过例题教学,培养学生分析问题、解决问题的能力;

通过归纳、概括,培养学生逻辑思维能力。

  3.培养学生独立思考、勇于创新的精神及良好的学习习惯。

指导探索研究法。

主动探索研究法。

用正、余切解直角三角形。

灵活运用正切、余切。

学生可能对正切、余切概念掌握不牢,导致出现之类的错误,教学中应引起重视,使学生熟能生巧。

通过教师精心引导,学生积极思维,主动研究发现,及练习巩固解决重难点及疑点。

  投影机(或电脑)、自制投影片(或课件)、三角板

  结合图,说出什么是的正切、余切?

  请班级里较差学生回答,以检测其掌握情况.

  2.与具有什么关系?

  答:

(或或).

  3.互为余角的正切值与余切值具有什么关系?

  4.在0°

间,正切、余切值随角度变化而变化的规律是什么?

  通过以上四个问题,使学生对新学的知识有了系统的认识,便于应用.

  对概念的巩固最好的途径是配备练习题.因此,教师在引导学生复习有关概念后,应出示练习题(投影片).

  1.在中,为直角,、、所对的边分别为。

  ①若,,则,,,

  ②若,则

  2.比较大小:

  ① 

  ③ 

  3.计算题:

  ①;

  ②.

  本课安排在本小节末,运用本小节的知识去解决一个简单问题,再次为本章第二节解直角三角形做好准备.当然,这个问题只用上一小节学过的正弦、余弦也可以解决,不过那样做,就要先求出斜边,解的过程要繁琐一些。

  1.讲授新课

  【例】在中,为直角,所对的边分别是,已知,,求(保留两位有效数字).

  这个题是本大节知识的综合运用,考查知识点面面俱到,是检查全体学生是否全面达到教学目标要求有效途径,教学中应引导学生全体参与,积极地探求各种解法,然后加以比较,优选出最佳方法,以培养学生思维的敏捷性、深刻性,形成良好的思维品质。

  分析:

本题已知和,求,观察图不难发现,边恰好是的对边与邻邦边,因此求可选用以下两个关系式:

(1),

(2).

  请学生比较一下,哪一个关系计算更简便呢?

答:

若选用,由此得,用除以含四位有效数字的数,计算比较麻烦;

而选用,由此得.用乘以含四位有效数字的数,计算相对方便.

  ∴

  解完例题之后,应引导学生小结:

本题显示了“除法与乘法在一定条件下可以互相转化”,其中“条件”是与互为倒数.认真分析和利用这种转化,有时可使计算简便.

  2.巩固练习

  本节课实际上是对前面课的综合,通过对前面知识的综合运用,以培养学生的比较、分析、概括等逻辑思维能力.因此例题后应安排练习题如下:

  在中,为直角,、、所对的边分别为.

  

(1)已知,,求和.

  

(2)已知,,求和.

  (3)已知,,求.

  (4)已知,,求.

  (5)已知,,求.

  (6)已知,,求和(保留两位有效数字).

  教法说明:

给学生足够的时间,引导学生讨论、研究,筛选出最佳关系式使计算简便,既培养学生计算能力,巩固所学知识,又能培养学生的思维能力.

  [参考答案]

(1),;

(2),;

(6),.

  3.对学有余力的学生,可引导其读教材P15想一想.使学生对正弦、余弦间的关系,正切、余切间的关系以及弦、切间的关系有所了解,保证知识的完整性,为高中三角函数的学习打下基础.教师板书

     

       .

  (四)总结、扩展

  引导学生总结:

1.要认真分析直角三角形中的各边与角的三角函数关系.2.因为同一个角的正切和余切可以互相转化,所以在选用关系时昼选择乘法使计算较简便.

  1.看教材P1~P17,培养学生看书习惯。

  2.教材P17习题A组7、8,学有余力的学生可选做B组题。

一次函数【目的要求】1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。

2、使学生能够根据实际问题中的条件,确定一次函数与正比例函数的解析式。

【教学重点、难点】一次函数以及正比例函数的解析式【教学过程】一、复习提问:

1、什么是函数?

2、函数有哪几种表示方法?

3、举出几个函数的例子。

二、新课讲解:

可以选用提问时学生举出的例子,也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。

然后让学生观察这些例

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