牛吃草问题Word文档下载推荐.docx

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教学内容

一、同步知识梳理

牛吃草问题也叫牛顿问题或是消长问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。

英国著名的物理学家学家牛顿曾编过这样一道数学题：

牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。

这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？

二、同步题型分析

例1

有一片牧场，草每天都在均匀地生长，如果在牧场上放养了18头牛，那么10天就把草全吃完了；

如果放养24头牛，那么7天就把草吃完了。

（1）如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？

（2）要放养多头牛，才能恰好14天把草吃完？

【教学简析】这是最常见的牛吃草问题，这类问题的难点在于牛吃草的同时，草还在生长。

假设一头牛一天吃1个单位的草，会发现两种放养水法吃的总草量不同。

为什么会这样呢？

因为两次草生长的天数不同，于是就可以算出草生长的速度了。

【思路导航】

练习1

有一片牧场，草每天都在均匀地生长，如果放养24头牛，那么6天就把草吃完工了；

如果放养21头牛，那么8天就把草吃完了。

（1）要使得草永远吃不完，那么最多可以放养多少头牛？

（2）放养多少头牛，12天才能把草吃完？

例2：

进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，有些草会均匀地减少。

现在开始在这片牧场上放羊，如果放38只羊，需要25天把草吃完；

如果放30只羊，需要30天把草吃完。

如果放20只羊，这片牧场可以吃多少天？

【教学简析】本题在羊吃草的同时，草也在不断的减少，这也是牛吃草问题的一种。

同前面的问题一样。

我们还是要对比一下两个书已知条件，算出草的减少速度和原有草总量。

练习2

进入冬季，有一片牧场上的草开始枯萎，因些均匀地减少。

若在这儿放牛，草地的草可以供32牛吃24天，或者供27头牛吃28天。

如果在这片牧场上养21头牛，那么可以吃多少天？

例3：

有一片草场，草每天的生长速度相同。

若14头牛30天可以把草吃完，70头羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天吃草量），那么17头牛和20只羊多少天可将草吃完？

【教学简析】这道题既有牛又有羊，只需将牛羊统一，然后按照基本的牛吃草问题求解即可。

练习3

一片操场，草每天都在均匀生长，如果这片草场上放20头牛和24头羊，那么18天可以吃完；

如果在这片操场上放15头牛和54头羊，那么15天就把草吃完，已知一头牛每天吃的草量相当于3头羊每天吃的草量，请问，如果在这片草地上放12头牛和18头羊可以吃几天？

例4

有一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管，进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水。

后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已注入了一些水）。

如果把8根出水管全部打开，需要3小时把池内的水全部排光；

如果只打开5根水管，需要6小时把池内的水全部排光。

要想4.5小时把池内的水全部排光。

需同时打开多少根出水管？

【教学简析】这是一个标准的水管问题，进水管不停的把水注入水池，同学们想想看，这和牛吃草问题中的什么量很类似？

不停生长的草地！

没错，只要看出这一点，这道题就变成了一个牛吃草问题，我们可以把每根排水管看成是一头牛，这样就可以使用牛吃草的解题方法解题了。

练习4

2006天夏天，我国某地区遭遇了来重干旱，政府为了解决村民饮水问题，在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池，每小时有相同量的泉水注入池中。

第一周开动5台抽水机2.5小时就把一池水抽完，接着第二周开动8台抽水机1.5小时就把一池水抽完。

后来由于旱情严重，需要开动13台抽水机同时供水，那么多长时间可以把这池水抽完？

例5

一片草地，草每天都在均匀生长，最初有15头牛吃草，8天可以把草全部吃完，如果起初这15头牛吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完。

如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，则总共需要多少天可以把草吃完？

（假定草生长的速度不变，每头牛每天吃的草量相同。

）

【教学简析】这道题牛的数量在变化，但同其它牛吃草问题一样，还是需要通过比较草量的变化求出每天生长的草量和原有的草量。

可以假设一开始就有15+5头牛，原有的草量将增加5头牛吃的草量。

练习5

有一片草地，草每天都在均匀生长，如果有9头牛来吃，那么12天以把草吃完；

如果有8头牛来吃，那么16天可以把草吃完。

现在有3头牛，先吃了10天，然后又来了几头牛，结果又用了4天后就把草吃完了，那么后来又来了多少头牛？

例6

把一片均匀生长的大草地分为三块，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。

如果第一块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供多少头牛吃80天？

【教学简析】本题出现了三块草地，可以统一草地，求出每天草生长的量。

即根据5公顷10头牛吃30天得15公顷30头牛吃30天，然后再通过比较得出每天草生长的量。

练习6

有三块草地，面积分别为4公顷、8公顷和10公顷。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。

问：

第三块草地可供50头牛吃几周？

专题小结

一、基本牛吃草问题的解决办法：

（1）将每头牛每天的吃草设为单位“1”;

（2）比较书知条件中牛的吃草量，算出草每天的生长量；

（3）计算草地原有草的总量；

（4）根据所问问题求解。

二、一些实际问题可转化为牛吃草问题求解。

选做部分

1、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。

假设地球新生成的资源增长速度是一样的。

那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（）亿人。

2、有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？

3、某码头不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。

如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（）辆。

4、有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。

每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

第三块草地可供19头牛吃多少天？

5、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

分析与解：

等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解．

旅客总数由两部分组成：

一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客．

设1个检票口1分钟检票的人数为1份．因为4个检票口30分钟通过（4×

30）份，5个检票口20分钟通过（5×

20）份，说明在（30－20）分钟内新来旅客（4×

30－5×

20）份，所以每分钟新来旅客（4×

20）÷

（30－20）＝2（份）．

假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为（4－2）×

30＝60（份）或（5－2）×

20＝60（份）．

同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要60÷

（7－2）＝12（分）．

6、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走80级梯级，女孩每分钟走60级梯级，结果男孩用了0.5分钟到达楼上，女孩用了0.66分钟到达楼上．问：

该扶梯共有多少级？

分析：

“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题．

上楼的速度可以分为两部分：

一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．男孩0.5分钟走了80×

0.5＝40（级），女孩0.6分钟走了60×

0.6＝36（级），女孩比男孩少走了60－36＝4（级），多用了0.6－0.5＝0.1（分），说明电梯0.1分钟走4级,那就是说1分钟走了40级．由男孩0.5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（80＋40）×

0.5＝60（级）．

解：

自动扶梯每分钟走（80×

0.5－60×

0.6）÷

（0.6－0.5）×

10＝40（级），

自动扶梯共有（80＋40）×

答：

扶梯共有60级．

1、有一片牧场，草每天都在均匀地生长。

如果放养20头牛，那么16天就把草吃完了；

如果放养24头牛，那么12天就把草吃完了。

那么放养多少头牛，8天就能把草吃完？

2、有一个酒桶坏了，每天匀速往外面流失酒，酒桶里面的酒可供7人喝6天，或者供5天喝8天，若1人独饮，那么可以喝多少天？

3、假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为使人类都能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人？

4、有一均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果一头牛每天吃草量相当于3只羊每天吃的草，那么让17头牛与48只羊一起吃可以吃多少天？

5、有一个蓄水池装了21根相同的水管，其中一根是进水管，其余20根是出水管，开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水注水，后来又打开了出水管，希望将池内的水全部排光。

如果同时打开10根出水管，则4小时可排尽池内的水；

如果仅打开7根出水管，则需6小时才能排尽池内的水，若要3小时排尽池内的水，那么应当同时打开多少根水管？

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