最新圆锥曲线定义几何性质文档格式.docx
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=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（）
（A）«
（B）«
（C）«
（D）«
4、已知双曲线«
的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且«
则点M到x轴的距离为（C）
（C）«
5、已知双曲线«
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为«
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）
（A）«
（B）«
（C）«
（D）«
6、如图，把椭圆«
的长轴
分成«
等份，过每个分点作«
轴的垂线交椭圆的上半部
分于«
七个点，«
是椭圆的一个焦点，
则«
________________;
7、若动点（x,y）在曲线«
（b>
0）上变化，则x2+2y的最大值为（A）
（A）«
；
（B）«
（D）2b。
8、设«
的最小值是（）
C．－3D．«
三、直线与圆锥曲线的位置关系：
1、已知椭圆C1的方程为«
，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：
与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足«
（其中O为原点），求k的取值范围。
2、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在«
轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，«
与«
共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且«
，证明«
为定值。
解：
设椭圆方程为«
则直线AB的方程为«
，代入«
，化简得
.
令A（«
），B«
），则«
由«
共线，得
又«
，
即«
，所以«
故离心率«
（II）证明：
（1）知«
，所以椭圆«
可化为«
设«
，由已知得«
«
在椭圆上，«
①
由
（1）知«
，代入①得«
故«
为定值，定值为1.
3、已知方向向量为«
的直线l过点（«
）和椭圆«
的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，
满足«
cot∠MON≠0（O为原点）.
若存在，求直线m的方程；
若不存在，请说明理由.
（I）解法一：
直线«
，①
过原点垂直«
的直线方程为«
，②
解①②得«
∵椭圆中心（0，0）关于直线«
的对称点在椭圆C的右准线上，
∵直线«
过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
故椭圆C的方程为«
③
（II）设M（«
），N（«
）.
设直线«
，代入③，整理得«
«
即«
∴«
=«
，整理得«
解得«
或«
故直线m的方程为«
经检验上述直线均满足«
所以所求直线方程为«
4、如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l1：
x＝m（|m|＞1），P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）．
（Ｉ）设椭圆方程为«
（«
），半焦距为c,则
«
由题意，得«
解得«
故椭圆方程为«
（II）设P（«
当«
时，«
时,«
只需求«
的最大值即可。
的斜率«
，直线«
当且仅当«
最大，
5、如图，F为双曲线C：
的右焦点。
P为双曲线C右支上一点，且位于«
轴上方，M为左准线上一点，«
为坐标原点。
已知四边形«
为平行四边形，«
。
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率«
的关系式；
（Ⅱ）当«
时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若«
，求此时的双曲线方程。
∵四边形«
是«
，∴«
，作双曲线的右准线交PM于H，则«
，又«
，«
，双曲线为«
四边形«
是菱形，所以直线OP的斜率为«
，则直线AB的方程为«
，代入到双曲线方程得：
，由«
得：
，解得«
，则«
为所求。
6、已知一列椭圆Cn:
x2+«
=1.0＜bn＜1,n=1,2.«
.若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离dn是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：
bn≤«
（n≥1）;
（Ⅱ）取bn＝«
，并用Sn表示«
PnFnGn的面积，
试证：
S1＜S2且Sn＜Sn+3（n≥3）.
图（２２）图
证：
（1）由题设及椭圆的几何性质有
«
设«
因此，由题意«
应满足
从而对任意«
（Ⅱ）设点«
得两极«
，从而易知f（c）在（«
）内是增函«
数，而在（«
，1）内是减函数.
现在由题设取«
是增数列.又易知
«
故由前已证，知«
7、已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且
＝λ
（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明
·
为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值．
（Ⅰ）由已知条件，得F（0，1），λ＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．由
即得 （－x1，1－y）＝λ（x2，y2－1），
将①式两边平方并把y1＝
x12，y2＝
x22代入得 y1＝λ2y2③
解②、③式得y1＝λ，y2＝
，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
抛物线方程为y＝
x2，求导得y′＝
x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y＝
x1（x－x1）＋y1，y＝
x2（x－x2）＋y2，
即y＝
x1x－
x12，y＝
x2x－
x22．
解出两条切线的交点M的坐标为（
）＝（
，－1）．……4分
所以
＝（
，－2）·
（x2－x1，y2－y1）＝
（x22－x12）－2（
x22－
x12）＝0
为定值，其值为0． ……7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝
|AB||FM|．
|FM|＝
＝
＋
．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋
＋2＝（
）2．
于是 S＝
|AB||FM|＝（
）3，
由
≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
8、已知两定点«
，满足条件«
的点«
的轨迹是曲线«
与曲线«
交于«
两点，如果«
，且曲线«
上存在点«
，使«
，求«
的值和«
的面积«
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。
由双曲线的定义可知，曲线«
是以«
为焦点的双曲线的左支，
且«
，易知«
故曲线«
的方程为«
，由题意建立方程组«
消去«
，得«
又已知直线与双曲线左支交于两点«
，有
又∵«
依题意得«
整理后得«
∴«
但«
故直线«
，由已知«
∴点
将点«
的坐标代入曲线«
的方程，得«
得«
，但当«
时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
点的坐标为«
到«
的距离为«
9、已知椭圆C1:
抛物线C2:
且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
（Ⅰ）当AB⊥«
轴时,求«
、«
的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）是否存在«
的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？
若存在，求出符合条件的«
的值；
解 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为
x=1，从而点A的坐标为（1，«
）或（1，－«
因为点A在抛物线上，所以«
，即«
此时C2的焦点坐标为（«
，0），该焦点不在直线AB上.
（Ⅱ）解法一 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为«
消去y得«
.……①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝«
因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，
所以«
，且
从而«
解得«
因为C2的焦点«
在直线«
上，所以«
时，直线AB的方程为«
解法二 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程
为«
. ……①
上，
.代入①有«
.……②
则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝«
. ……③
由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝«
＝«
.解得«
上，所
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