初中数学平行线问题Word下载.docx
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证过C点作直线l,使l∥a(图1-19).因为a∥b,所以b∥l,所以
∠1+∠2=180°
(同侧内角互补).
因为AC平分∠1,BC平分∠2,所以
又∠3=∠CAE,∠4=∠CBF(内错角相等),所以
∠3+∠4=∠CAE+∠CBF
说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立,即“两条直线a,b被直线AB所截(如图1-20所示),CA,CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线,若∠C=90°
,问直线a与直线b是否一定平行?
”
由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置),因此,不妨模仿原问题的解决方法来试解.
例2如图1-21所示,AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2.
分析本题对∠A1,∠A2,∠B1的大小并没有给出特定的数值,因此,答案显然与所给的三个角的大小无关.也就是说,不管∠A1,∠A2,∠B1的大小如何,答案应是确定的.我们从图形直观,有理由猜想答案大概是零,即
∠A1+∠A2=∠B1.①
猜想,常常受到直观的启发,但猜想必须经过严格的证明.①式给我们一种启发,能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2.这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线,它将∠B1一分为二.
证过B1引B1E∥AA1,它将∠A1B1A2分成两个角:
∠1,∠2(如图1-22所示).
因为AA1∥BA2,所以B1E∥BA2.从而
∠1=∠A1,∠2=∠A2(内错角相等),
所以
∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2,
即∠A1-∠B1+∠A2=0.
说明
(1)从证题的过程可以发现,问题的实质在于AA1∥BA2,它与连接A1,A2两点之间的折线段的数目无关,如图1-23所示.连接A1,A2之间的折线段增加到4条:
A1B1,B1A2,A2B2,B2A3,仍然有
∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2.
(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.
进一步可以推广为
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠Bn-1+∠An=0.
这时,连结A1,An之间的折线段共有n段A1B1,B1A2,…,Bn-1An(当然,仍要保持AA1∥BAn).
推广是一种发展自己思考能力的方法,有些简单的问题,如果抓住了问题的本质,那么,在本质不变的情况下,可以将问题推广到复杂的情况.
(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下,变成一个新问题.
问题1如图1-24所示.∠A1+∠A2=∠B1,问AA1与BA2是否平行?
问题2如图1-25所示.若
∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1,问AA1与BAn是否平行?
这两个问题请同学加以思考.
例3如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°
,
求∠C.
分析利用平行线的性质,可以将角“转移”到新的位置,如∠1=∠DFC或∠AFB.若能将∠1,∠2,∠C“集中”到一个顶点处,这是最理想不过的了,过F点作BC的平行线恰能实现这个目标.
解过F到FG∥CB,交AB于G,则
∠C=∠AFG(同位角相等),
∠2=∠BFG(内错角相等).
因为AE∥BD,所以
∠1=∠BFA(内错角相等),
∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG
=∠1-∠2=3∠2-∠2
=2∠2=50°
.
说明
(1)运用平行线的性质,将角集中到适当位置,是添加辅助线(平行线)的常用技巧.
(2)在学过“三角形内角和”知识后,可有以下较为简便的解法:
∠1=∠DFC=∠C+∠2,即
∠C=∠1-∠2=2∠2=50°
例4求证:
三角形内角之和等于180°
分析平角为180°
.若能运用平行线的性质,将三角形三个内角集中到同一顶点,并得到一个平角,问题即可解决,下面方法是最简单的一种.
证如图1-27所示,在△ABC中,过A引l∥BC,则
∠B=∠1,∠C=∠2(内错角相等).
显然∠1+∠BAC+∠2=平角,
所以∠A+∠B+∠C=180°
说明事实上,我们可以运用平行线的性质,通过添加与三角形三条边平行的直线,将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论.如将平角的顶点设在某一边内,或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处,不过,解法将较为麻烦.同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法.
例5求证:
四边形内角和等于360°
分析应用例3类似的方法,添加适当的平行线,将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角.在添加平行线中,尽可能利用原来的内角及边,应能减少推理过程.
证如图1-28所示,四边形ABCD中,过顶点B引BE∥AD,BF∥CD,并延长AB,CB到H,G.则有∠A=∠2(同位角相等),∠D=∠1(内错角相等),∠1=∠3(同位角相等).
∠C=∠4(同位角相等),
又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等).
由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°
,所以
∠A+∠B+∠C+∠D=360°
说明
(1)同例3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置,证明的本质不变.
(2)总结例3、例4,并将结论的叙述形式变化,可将结论加以推广:
三角形内角和=180°
=(3-2)×
180°
四边形内角和=360°
=2×
=(4-2)×
人们不禁会猜想:
五边形内角和=(5-2)×
=540°
…………………………
n边形内角和=(n-2)×
这个猜想是正确的,它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将非常简单.
(3)在解题过程中,将一些表面并不相同的问题,从形式上加以适当变形,找到它们本质上的共同之处,将问题加以推广或一般化,这是发展人的思维能力的一种重要方法.
例6如图1-29所示.直线l的同侧有三点A,B,C,且AB∥l,BC∥l.求证:
A,B,C三点在同一条直线上.
分析A,B,C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角,即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°
即可,考虑到以直线l上任意一点为顶点,该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角,结合所给平行条件,过B作与l相交的直线,就可将l上的平角转换到顶点B处.
证过B作直线BD,交l于D.因为AB∥l,CB∥l,所以
∠1=∠ABD,∠2=∠CBD(内错角相等).
又∠1+∠2=180°
∠ABD+∠CBD=180°
即∠ABC=180°
=平角.
A,B,C三点共线.
思考若将问题加以推广:
在l的同侧有n个点A1,A2,…,An-1,An,且有AiAi+1∥l(i=1,2,…,n-1).是否还有同样的结论?
例7如图1-30所示.∠1=∠2,∠D=90°
,EF⊥CD.
求证:
∠3=∠B.
分析如果∠3=∠B,则应需EF∥BC.又知∠1=∠2,则有BC∥AD.从而,应有EF∥AD.这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°
不难获得.
证因为∠1=∠2,所以
AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
因为∠D=90°
及EF⊥CD,所以
AD∥EF(同位角相等,两直线平行).
所以BC∥EF(平行公理),
∠3=∠B(两直线平行,同位角相等).
练习十二
1.如图1-31所示.已知AB∥CD,∠B=100°
,EF平分∠BEC,EG⊥EF.求∠BEG和∠DEG.
2.如图1-32所示.CD是∠ACB的平分线,∠ACB=40°
,∠B=70°
,DE∥BC.求∠EDC和∠BDC的度数.
3.如图1-33所示.AB∥CD,∠BAE=30°
,∠DCE=60°
,EF,EG三等分∠AEC.问:
EF与EG中有没有与AB平行的直线,为什么?
4.证明:
五边形内角和等于540°
5.如图1-34所示.已知CD平分∠ACB,且DE∥ACCD∥EF.求证:
EF平分∠DEB.