最新同济第六版《高等数学》教案WORD版第12章微分方程.docx

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最新同济第六版《高等数学》教案WORD版第12章微分方程

第一十二章微分方程

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。

2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4．会用降阶法解下列微分方程：

，和

5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。

9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。

教学重点：

1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

2、可降阶的高阶微分方程，和

3、二阶常系数齐次线性微分方程；

4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；

教学难点：

1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

4、欧拉方程

§12.1微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映,利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系,在实践中具有重要意义.在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系就是所谓微分方程.微分方程建立以后,对它进行研究,找出未知函数来,这就是解微分方程.

例1一曲线通过点（1,2）,且在该曲线上任一点M（x,y）处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.

解设所求曲线的方程为y=y（x）.根据导数的几何意义,可知未知函数y=y（x）应满足关系式（称为微分方程）

.

（1）

此外,未知函数y=y（x）还应满足下列条件:

x=1时,y=2,简记为y|x=1=2.

（2）

把

（1）式两端积分,得（称为微分方程的通解）

即y=x2+C,（3）

其中C是任意常数.

把条件“x=1时,y=2”代入（3）式,得

2=12+C,

由此定出C=1.把C=1代入（3）式,得所求曲线方程（称为微分方程满足条件y|x=1=2的解）:

y=x2+1.

例2列车在平直线路上以20m/s（相当于72km/h）的速度行驶;当制动时列车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米.根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数s=s（t）应满足关系式

.（4）

此外,未知函数s=s（t）还应满足下列条件:

t=0时,s=0,.简记为s|t=0=0,s'|t=0=20.（5）

把（4）式两端积分一次,得

;（6）

再积分一次,得

s=-0.2t2+C1t+C2,（7）

这里C1,C2都是任意常数.

把条件v|t=0=20代入（6）得

20=C1;

把条件s|t=0=0代入（7）得0=C2.

把C1,C2的值代入（6）及（7）式得

v=-0.4t+20,（8）

s=-0.2t2+20t.（9）

在（8）式中令v=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

（s）.

再把t=50代入（9）,得到列车在制动阶段行驶的路程

s=-0.2⨯502+20⨯50=500（m）.

解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米,

s''=-0.4,并且s|t=0=0,s'|t=0=20.

把等式s''=-0.4两端积分一次,得

s'=-0.4t+C1,即v=-0.4t+C1（C1是任意常数）,

再积分一次,得

s=-0.2t2+C1t+C2（C1,C2都C1是任意常数）.

由v|t=0=20得20=C1,于是v=-0.4t+20;

由s|t=0=0得0=C2,于是s=-0.2t2+20t.

令v=0,得t=50（s）.于是列车在制动阶段行驶的路程

s=-0.2⨯502+20⨯50=500（m）.

几个概念:

微分方程:

表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫微分方程.

常微分方程:

未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.

偏微分方程:

未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.

微分方程的阶:

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶.

x3y'''+x2y''-4xy'=3x2,

y（4）-4y'''+10y''-12y'+5y=sin2x,

y（n）+1=0,

一般n阶微分方程:

F（x,y,y',⋅⋅⋅,y（n））=0.

y（n）=f（x,y,y',⋅⋅⋅,y（n-1））.

微分方程的解:

满足微分方程的函数（把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式）叫做该微分方程的解.确切地说,设函数y=ϕ（x）在区间I上有n阶连续导数,如果在区间I上,

F[x,ϕ（x）,ϕ'（x）,⋅⋅⋅,ϕ（n）（x）]=0,

那么函数y=ϕ（x）就叫做微分方程F（x,y,y',⋅⋅⋅,y（n））=0在区间I上的解.

通解:

如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.

初始条件:

用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.如

x=x0时,y=y0,y'=y'0.

一般写成

.

特解:

确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解.即不含任意常数的解.

初值问题:

求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.

如求微分方程y'=f（x,y）满足初始条件的解的问题,记为

.

积分曲线:

微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线.

例3验证:

函数

x=C1coskt+C2sinkt

是微分方程

的解.

解求所给函数的导数:

.

将及x的表达式代入所给方程,得

-k2（C1coskt+C2sinkt）+k2（C1coskt+C2sinkt）≡0.

这表明函数x=C1coskt+C2sinkt满足方程,因此所给函数是所给方程的解.

例4已知函数x=C1coskt+C2sinkt（k≠0）是微分方程的通解,求满足初始条件

x|t=0=A,x'|t=0=0

的特解.

解由条件x|t=0=A及x=C1coskt+C2sinkt,得

C1=A.

再由条件x'|t=0=0,及x'（t）=-kC1sinkt+kC2coskt,得

C2=0.

把C1、C2的值代入x=C1coskt+C2sinkt中,得

x=Acoskt.

§12.2可分离变量的微分方程

观察与分析:

1.求微分方程y'=2x的通解.为此把方程两边积分,得

y=x2+C.

一般地,方程y'=f（x）的通解为（此处积分后不再加任意常数）.

2.求微分方程y'=2xy2的通解.

因为y是未知的,所以积分无法进行,方程两边直

接积分不能求出通解.

为求通解可将方程变为,两边积分,得

或,

可以验证函数是原方程的通解.

一般地,如果一阶微分方程y'=ϕ（x,y）能写成

g（y）dy=f（x）dx

形式,则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程

G（y）=F（x）+C,

由方程G（y）=F（x）+C所确定的隐函数就是原方程的通解

对称形式的一阶微分方程:

一阶微分方程有时也写成如下对称形式:

P（x,y）dx+Q（x,y）dy=0

在这种方程中,变量x与y是对称的.

若把x看作自变量、y看作未知函数,则当Q（x,y）≠0时,有

.

若把y看作自变量、x看作未知函数,则当P（x,y）≠0时,有

.

可分离变量的微分方程:

如果一个一阶微分方程能写成

g（y）dy=f（x）dx（或写成y'=ϕ（x）ψ（y））

的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx,那么原方程就称为可分离变量的微分方程.

讨论:

下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？

（1）y'=2xy,是.⇒y-1dy=2xdx.

（2）3x2+5x-y'=0,是.⇒dy=（3x2+5x）dx.

（3）（x2+y2）dx-xydy=0,不是.

（4）y'=1+x+y2+xy2,是.⇒y'=（1+x）（1+y2）.

（5）y'=10x+y,是.⇒10-ydy=10xdx.

（6）.不是.

可分离变量的微分方程的解法:

第一步分离变量,将方程写成g（y）dy=f（x）dx的形式;

第二步两端积分:

设积分后得G（y）=F（x）+C;

第三步求出由G（y）=F（x）+C所确定的隐函数y=Φ（x）或x=ψ（y）

G（y）=F（x）+C,y=Φ（x）或x=ψ（y）都是方程的通解,其中G（y）=F（x）+C称为隐式（通）解.

例1求微分方程的通解.

解此方程为可分离变量方程,分离变量后得

两边积分得

即ln|y|=x2+C1,

从而.

因为仍是任意常数,把它记作C,便得所给方程的通解

.

解此方程为可分离变量方程,分离变量后得

两边积分得

即ln|y|=x2+lnC,

从而.

例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比.已知t=0时铀的含量为M0,求在衰变过程中铀含量M（t）随时间t变化的规律.

解铀的衰变速度就是M（t）对时间t的导数.

由于铀的衰变速度与其含量成正比,故得微分方程

其中λ（λ>0）是常数,λ前的曲面号表示当t增加时M单调减少.即.

由题意,初始条件为

M|t=0=M0.

将方程分离变量得

.

两边积分,得,

即lnM=-λt+lnC,也即M=Ce-λt.

由初始条件,得M0=Ce0=C,

所以铀含量M（t）随时间t变化的规律M=M0e-λt.

例3设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时速度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系.

解设降落伞下落速度为v（t）.降落伞所受外力为F=mg-kv（k为比例系数）.根据牛顿第二运动定律F=ma,得函数v（t）应满足的方程为

初始条件为

v|t=0=0.

方程分离变量,得

两边积分,得,

即（）,

将初始条件v|t=0=0代入通解得,

于是降落伞下落速度与时间的函数关系为.

例4求微分方程的通解.

解方程可化为

分离变量得

两边积分得

即.

于是原