等差数列前n项和及其应用文档格式.docx
《等差数列前n项和及其应用文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等差数列前n项和及其应用文档格式.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
0B・S]9<
0,S2o>
O
C・S5<
0,S6>
0D・S20VO,S2i>
二•填空题（共4小题）
9已知等差数列｛如，｛如前n项和分别为S”和％,若工=空2孥，则句十：
5+严+%丁口n+。
bq+be+bg+b]?
・
D设等差数列｛““｝的前”项和为S”,若3"
5-“1=10,则Si3=•
11数列｛如｝的前〃项和为S”且S产〃2十（归屮），则通项公式如=・
已知两个等差数列M.｛bn｝的前H项和分别为Sn，Tn.且F二竺雪
1n4n+27
■
三•解答题（共4小题）
B等差数列｛血｝的前”项和为S”,且"
3+"
5="
4+7,Sio=100.
（1）求｛“”｝的通项公式:
（2）求满足不等式Sn<
3an-2的n的值.
H记S”为等差数列｛%｝的前"
项和,已知5=10,$3=24.
（1）求｛如｝的通项公式:
<
2）求S”,并求S”的最大值.
15.在等差数列｛““｝中,尙0=18,前5项的和S5=-15.
1）求数列｛"
“｝的通项公式；
（2）求数列｛"
“｝的前”项和的最小值，并指出何时取最小.
16.已知等差数列｛"
“｝中，5=1,a3=-3.
（2）若数列｛"
“｝的前斤项和S&
=-35,求比的值.
参考答案与试题解析
J已知数列伽｝的通项公式5=26-2“，要使此数列的前n项和Sn最大，则n的值为（）
A.12B・13C・12或13D・14
【分析】数列是首项为24,公差为2的等差数列，从而S尸24卄"
伍一“x（-2）=-
2
n2+25n=-（—竺）2卜竺.由此能求出要使此数列的前畀项和S”最大—的值.
24
【解答】解：
•・•数列仏｝的通项公式"
“=26-2”，
•••4=26・2=24,
〃=如■如・i=（26■2”）・[26-2（?
?
-I）]=-2»
•••数列仙｝是首项为24,公差为2的等差数列,
ASn=24/7fn^n"
^-X（一2）=-n2+25,i=-（n
•••要使此数列的前h项和£
最大，则h的值为12或
13.故选：
C.
【点评】本题考查等差数列的前〃项和最大时项数〃的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.
2等差数列｛“”｝的前”项和为S”，已知5=13,S3=SU,当S”最大时，"
A.5B・6C・7D・8
【分析】由等差数列的性质可得如+⑷=0,可得该数列的前7项均为正数，从第8项开始全为负数，故数列的前7项和最大，进而可得答案.
°
.°
S3=S]1,.°
.S11-S3=“4+"
5+"
6+…+"
11=0,
故可得（"
4+51）+（«
5+«
10）+…+（"
+"
8）=4（"
7+"
8）=0,
.••©
+“8=0,结合如=13可知，该数列的前7项均为正数,
从第8项开始全为负数，故数列的前7项和最大，
故选：
【点评】本题考查等差数列的前"
项和，涉及等差数列的性质，从数列自身的特点入手是解决问题的关键，属中档题.
3.若仏｝是等差数列,首项公差dVO,心＞0,且"
2013（“2012+“2013）＜0,则使数列｛"
【分析】由题意可知数列是递减数列，由"
2013（"
2012+^2013）<
0,知"
20】2>
0，“2013<
0,
由此推得答案.
由题总可得数列｛如｝单调递减,
，"
2O13<
，l"
2O12l>
l"
2O】J・
•：
"
2012+。
2013>
・
则$4025=4025如13<
，3^024=
（02012+知]3）X4024
故使数列｛如｝的前H项和Sn>
0成立的最大自然数H是
4024.故选：
D.
【点评】本题考查了等差数列的前〃项和，考查了对递减数列的项的符号的判断，关键
在于分淸从那一项开始为负值，且判出正负相邻两项和的符号，是中档题.
4.
已知数列伽｝为等差数列，其前〃项和为S”加7-0=5,则弘为（
【分析】利用等差数列的通项公式与性质及其求和公式即可得出・
2“7■"
8=2（尙+6〃）~（c/]+7〃）=“i+5〃=g6=5,
5十句1
•:
S]i二11X—-—二11牝二55・
故选:
B.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式，考査了推理能力与计算能力，属于中档题.
5.在等差数列｛"
”｝的前“项和为S“，若“2+"
A.S7B・SgC・S]3D・S]5
【分析】利用等差数列的通项公式及英性质即可得出.
设等差数列｛心｝的公差为d,••S+g+“i5=3“i+18d=3"
7为常数,
•
=13（仃为常
c_13（a1+a13）
•$3=2
数.故选：
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于
中档题.
6.设等差数列｛"
“｝的前"
项和为S”若S23>
0,S24VO,则S”取最大值时“的值为（）
A.11B.12C.13D.23
【分析】等差数列仏｝的前/I项和为S“,523>
0,S24VO,从而尙2>
0,"
13<
0,由此能求出S“取最大值时n的值.
等差数列｛“”｝的前/I项和为Sn，$23>
0,S24VO,
»
3二2（吕［+023）="
24、”’
岂。
二2（彳［+024>
二12（
I
•••S”取最大值时“的值为：
12・故选：
项和取最大值时”的值的求法，考査等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.
-h若它的前〃项和％有最大值，则当必>
0时，n的最大a6
【分析】公差d<
0,首项5>
0,为递减数列，由等差数列的性质知：
加6="
1十51>
"
6+"
7=么112V0,由此能求出结果.
•••数列仏｝是等差数列，它的前川项和必有最大值,
•••公差d<
0,首项山>
0,｛如｝为递减数列,
••a7
6°
“7<
0,"
7<
0,由等差数列的性质知：
2ci（y=ci1+a]]>
0,“6十“7
=“]+“12<
0,•・0=号（心+心），
乙
A5n>
0时…的最大值为
【点评】本题考查等差数列中满足前〃项和为正的〃的最大值的求法，考査等差数列的性质等基础知识，考査推运算求解能力，考査函数与方程思想，是基础题.
8.等差数列｛“”｝中,"
|0<
0‘“ii>
0且an>
k/iobS“为其前n项和,则（）
A.S]（）<
0,S]]>
0・S6>
20（3i3i1）
【分析】由等差数列的性质可得：
S20=>
0,Si9=19-6/io<
0.
丁等差数列｛"
”｝中，"
i（）V0,如1>
0且wii>
k/]obS”为其前"
项和，
20（ain+aii）
•••由等差数列的性质可得：
5>
0=岁一>
Si9=19・"
io<
O,
【点评】本题考查命题真假的判断，考査等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
9已知等差数列仙小血｝前//项和分别为％和0若4=空¥
，勾十节+严严匸
tnn+3b2+b6+bg+b12
15
l?
--
Q十Q十Q+Q2
【分析】由等差数列的求和公式和性质可得■■1-'
'
5'
9问题得以解决.
b2+b6+bs+b12t13
[解答】解&
1+°
5+$9+°
1：
3_°
：
1+&
13_Q87+13-11
2^2+bg+bg+b12切+匕再4b?
b?
bj+b13T13+3
_15
IT
故答案为：
—
16
【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题.
©
设等差数列仏｝的前”项和为S“，若3"
5-“1=10,则Sk=65.
【分析】利用等差数列通项公式求出2^=10,由此能求岀$3的值.
•・•等差数列伽｝的前"
项和为％,3“5-"
1=10,
/.3（5+4〃）・山=加]+12〃=加7=1°
，
A5i3=y-（a1+a13）=y-X2aT=
孕X10二65・故答案为：
65.
【点评】本题考査等差数列的前13项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查
运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.
1数列｛"
项和为S”，且Sn=n2-n（nGNR）,则通项公式“”=2“-2.
5，n=l
【分析】由已知条件利用◎=1、能求出结果.
nlSn-Sn-rn>
【解答】解:
VSw=n2-n（nGN*）,
A^/1=5i=1"
1=0,
心2时>
a=S-S1
an^n-1
=（n2-n）-[（?
-1）2-（zi-1）]
=2h-2.
当h=1时,2n"
2=0=5,
/•（tn=2n~2.
2/1-2.
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认貞•审题，注意公式的灵活运用.
2已知两个等差数列仙小｛%｝的前n项和分别为弘Tn.且F二単则
4n+27、+
211=4
【分析】题目给出了两个等差数列的前”项和的比值，求解两个数列的第11项的比，可以借助等差数列的前H项和在“为奇数时的公式Sn=Iiarrfl进行转化.
因为数列｛“〃｝、｛心｝都是等差数列，根据等差中项的概念知数列中的第11
项为数列前21项的等差中项,
所以$21=21"
]],厂21=2"
]],
二S"
—7X21+1二里
■t77'
4X21+27"
俐/贝（共10页）
故答案为善
【点评】本题主要考査了等差数列的性质和数列的求和.解题的关键是利用了等差数列的前n项和在n为奇数时的公式，若n为奇数，则Sri=narc1_1.
J等差数列｛"
”｝的前"
项和为S"
且"
3十"
5="
4+7,510=100.
1）求｛如｝的通项公式：
2）求满足不等式Sn<
3a„-2的n的值.
【分析】
（1）由心+"
5=“4+7,Sio=100,列岀方程组，求出首项和公差，由此能求出｛““｝的通项公式.
2）由“]=1,an=2n-1,求出Sn=n2,从而得到n2-6n+5<
0,由此能求出n的值.
【解答】
（本题10分）
解：
（1）设数列｛伽｝的公差为d,
由“m+"
4+7，得加]+6d=“]+3〃+7,…（1分）
由Sio=100,得10"
i+45d=100,②…（2分）
解得di=l,d=29…（4分）
所以如=山+（?
-1）cl=2n-1.…（5分）
n（ai+a„）
（2）因为"
i=l,an=2n-1,所以»
二=n2>
…（7分）
由不等式S”V3"
“-2,得“2<
3（2n-1）-2»
所以,n2-6n+5<
解得1<
“<
5,…（9分）
因为zjEN*>
所以”的值为2,3,4.…（10分）
【点评】本题考查等差数列的通项公式、项数“的求法，是基础题，解题时要认貞•审题，注意等差数列的性质的合理运用.
4记S”为等差数列｛““｝的前"
项和，已知“1=10,$3=24.
（1）求｛"
“｝的通项公式：
2）求S“，并求S”的最大值.
（1）设等差数列｛如的公差为必由“i=10,S3=24.利用求和公式解得〃,即可得出
（2）利用求和公式、二次函数的单调性即可得出.
（1）设等差数列｛隔｝的公差为d,V«
|=1O,S3=24.A3XiO+3X2J=24.
解得d=-2.
•••如=10・2（//-1）=12-2n.
当/!
=5或6时，S”最大，S〃=-52+55=30.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单训性，考查了推理
能力与计算能力，属于中档题.
15.在等差数列｛如｝中,"
io=18,前5项的和S5=-15.
（2）求数列｛如｝的前“项和的最小值，并指岀何时取最小.站l+9d=18
（1）由等差数列伽｝中<
10=18,前5项的和55=-15.§
‘
5中+》X4Xd二-15由此能求岀数列｛如｝的通项公式.
n（a-|+a）379147
（2）由ai=-9,〃=3,如=3〃-12,知片二=y（n—）由此
能求出当"
=3或4时，前”项的和S“取得最小值S3=S4=-18.
（1）•・•等差数列仙J中，“io=18,前5项的和S5=-15,
5中+^X4Xd二一15
解得5=-9,d=3,
•*.Un=3/:
■12.
（2）•••“]=-9,d=3,an=3n-12,
nCai+a^,）19
sn=——2——C3n2-21n）
•••当〃=3或4时，前〃项的和S“取得最小值53=S4=-18.
【点评】本题考查等差数列的通项公式和前〃项和公式的灵活运用，是基础题.解题时
要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用.
“｝中，“1=1,“3=-3.
1）求数列｛如｝的通项公式；
2）若数列｛如｝的前k项和Sk=-35,求k的值.
（1）根据等差数列的通项公式，先求出d,即可得到答案，
（2）根据等差数列的前“项和公式即可求出.
【解答】解
（1）设等差数列⑺”｝的公差为〃，血］=1,“3=・3,得加=山+2〃，解得d=-2,
•*.an=a\+（n~1）d—1-2（n-1）=3■
（2）SR=k（l+3-2k2=-35,
即Q-2—35=0,
解得k=l或-5（舍去）
故R=7.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前〃项和公式，属于基础题.
升级会员 