高考椭圆综合题做题技巧与方法总结.doc

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2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结

知识点梳理：

1.椭圆定义：

（1）第一定义：

平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.

当时,的轨迹为椭圆;;

当时,的轨迹不存在;

当时,的轨迹为以为端点的线段

（2）椭圆的第二定义:

平面内到定点与定直线（定点不在定直线上）的距离之比是常数（）的点的轨迹为椭圆

（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.

2.椭圆的方程与几何性质:

标准方程

性

质

参数关系

焦点

焦距

范围

顶点

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

离心率

准线

考点1椭圆定义及标准方程

题型1:

椭圆定义的运用

[例1]

椭圆有这样的光学性质：

从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是

O

x

y

D

P

A

B

C

Q

A．4a B．2（a－c） C．2（a+c） D．以上答案均有可能

[解析]按小球的运行路径分三种情况:

（1）,此时小球经过的路程为2（a－c）;

（2）,此时小球经过的路程为2（a+c）;

（3）此时小球经过的路程为4a,故选D

总结：

考虑小球的运行路径要全面

练习

1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （）

A.3 B.6 C.12 D.24

[解析]C.长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12

2.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）

A．5B．7C．13D．15

[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7

题型2求椭圆的标准方程

[例2]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.

【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来

[解析]设椭圆的方程为或，

则，

解之得：

，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.

总结：

准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．

［警示］易漏焦点在y轴上的情况．

练习：

3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

[解析]（0,1）.椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上，则>2，即k<1.

又k>0，∴0

4.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状

[解析]当时，，方程表示焦点在y轴上的椭圆，

当时，，方程表示圆心在原点的圆，

当时，，方程表示焦点在x轴上的椭圆

5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.

[解析]，，所求方程为+=1或+=1.

考点2椭圆的几何性质

题型1:

求椭圆的离心率（或范围）

[例3]在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．

【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率

[解析]，

，

总结：

（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定

（2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）

（3）“焦点三角形”应给予足够关注

练习

6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为

....

[解析]选

7.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为

[解析]由，椭圆的离心率为

题型2:

椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

[例4]已知实数满足,求的最大值与最小值

【解题思路】把看作的函数

[解析]由得,

当时,取得最小值,当时,取得最大值6

练习

9.已知点是椭圆（，）上两点,且,则=

[解析]由知点共线,因椭圆关于原点对称,

10.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点

则________________

［解析］由椭圆的对称性知：

．

考点3椭圆的最值问题

[例5]椭圆上的点到直线l:

的距离的最小值为___________．

【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数

[解析]在椭圆上任取一点P,设P（）.那么点P到直线l的距离为：

总结：

也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”

练习：

11.椭圆的内接矩形的面积的最大值为

[解析]设内接矩形的一个顶点为，

矩形的面积

12.是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值

[解析]

当时，取得最大值，

当时，取得最小值

13.已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，

是原点，则四边形的面积的最大值是_________．

[解析]设，则

考点4椭圆的综合应用

题型：

椭圆与向量、解三角形的交汇问题

[例6]已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．

（1）求椭圆方程；

（2）求m的取值范围．

【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式

[解析]

（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设

由条件知且，又有，解得

故椭圆的离心率为，其标准方程为：

（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0

Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0（*）

x1＋x2＝，x1x2＝　

∵＝3∴－x1＝3x2∴

消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　

m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，

因λ＝3∴k≠0∴k2＝>0，∴－1

容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）

总结：

椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能

例7．椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且.

⑴、求该椭圆的离心率.

⑵、若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程.

[解析]⑴、，∥，△∽△,

，

又，,

而.

⑵、为准线方程，,

由．所求椭圆方程为．

练习

14.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）

A.B.

C.D.

[解析]，选A.

15.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。

一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。

解：

（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）

由题设可得

∴动点P的轨迹方程为，

则

∴曲线E方程为

（2）直线MN的方程为

由

∴方程有两个不等的实数根

∵∠MBN是钝角

即

解得：

又M、B、N三点不共线

综上所述，k的取值范围是

课后作业

1.如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为（）

ABCD

[解析]B.

2.设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，的值为

A、0　　B、1　　C、2　　D、3

[解析]A.，P的纵坐标为，从而P的坐标为，0，

3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是

A．B．C．D．

[解析]D.,,两式相减得：

，，

4.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．

[解析]

5.已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若,则此椭圆的离心率为_________.

[解析][三角形三边的比是]

6.在平面直角坐标系中，椭圆1（0）的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=．

[解析]

7、已知椭圆与过点A（2，0），B（0，1）的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程

[解析]直线l的方程为：

　　由已知　①

由　得：

　　∴，即　②

由①②得：

　　故椭圆E方程为

8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。

[解析]

（1）∵点是线段的中点

∴是△的中位线

又∴

∴

∴椭圆的标准方程为=1

（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点

∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2

在△ABC中，由正弦定理，

∴＝

9.已知长方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.

（Ⅰ）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;

O

A

B

C

D

图8

（Ⅱ）过点P（0,2）的直线交（Ⅰ）中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?

若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

[解析]（Ⅰ）由题意可得点A,B,C的坐标分别为.

设椭圆的标准方程是.

.

椭圆的标准方程是

（Ⅱ）由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.

设M,N两点的坐标分别为

联立方程:

消去整理得,

有

若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,

所以,,

即

所以,

即

得

所以直线的方程为,或.

所以存在过P（0,2）的直线:

使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.