【典例2】如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是（ ）
A．OB绳的拉力范围为0～mg
B．OB绳的拉力范围为mg～mg
C．AB绳的拉力范围为mg～mg
D．AB绳的拉力范围为0～mg
答案B
解析当转动的角速度为零时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F1，则2F1cos 30°＝mg，F1＝mg，增大转动的角速度，当AB绳的拉力刚好等于零时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为F2，则F2cos 30°＝mg，F2＝mg，因此OB绳的拉力范围为mg～mg，AB绳的拉力范围为0～mg，B项正确。
【典例3】（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当ω＞时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω＞时，绳子一定有弹力
C．ω在＜ω＜范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在0＜ω＜范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
答案ABD
解析：
当AB所受静摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘将会滑动，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：
ω＝，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：
Kmg＝mω2·2L，解得：
ω＝，B项正确；当＜ω＜时，随角速度的增大，绳子拉力不断增大，B所受静摩擦力一直保持最大静摩擦力不变，C项错误；0＜ω≤时，A所受摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2L，静摩擦力随角速度增大而增大，当＜ω＜时，以AB整体为研究对象，FfA＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，可知A受静摩擦力随角速度的增大而增大，D项正确．
【典例4】如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？
解析：
①当角速度ω很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。
当ω逐渐增大到30°时，BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。
设这时的角速度为ω1，则有：
TACcos30°＝mg
TACsin30°＝mω12Lsin30°
将已知条件代入上式解得 ω1＝2.4rad／s
②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC增大。
设角速度达到ω2时，TAC＝0（这又是一个临界状态），
则有：
TBCcos45°＝mg
TBCsin45°＝mω22Lsin30°
将已知条件代入上式解得 ω2＝3.16rad／s
所以 当ω满足2.4rad／s≤ω≤3.16rad／s，AC、BC两绳始终张紧。
本题所给条件 ω＝3rad／s，此时两绳拉力TAC 、TBC都存在。
TACsin30°＋TBCsin45°＝mω2Lsin30°
TACcos30°＋TBCcos45°＝mg
将数据代入上面两式解得 TAC＝0.27N， TBC＝1.09N
【典例5】长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是（）
A．球过最高点时，速度为零B．球过最高点时，绳的拉力为mg
C．开始运动时，绳的拉力为D．球过最高点时，速度大小为
解析：
开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即，，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，，，所以，A、B、C均不正确。
故选：
D
【典例6】：
如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（）
A．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零
B．球过最高点时，最小速度为
C．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反
D．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力
解析：
小球用轻杆支持过最高点时，，故B不正确；当时，F=0故A正确。
当0F>0，F为支持力故D正确。
当v>时，F>0，F为拉力，故C不正确。
故选：
A、D
【学习检测】
1．如图，一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动，紧贴在一起的M、N两物体（可视为质点）随圆盘做圆周运动，N恰好不下滑，M恰好不滑动，两物体与转轴距离为r，已知M与N间的动摩擦因数为μ1，M与圆盘面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．μ1与μ2应满足的关系式为（ ）
A．μ1＋μ2＝1 B．＝1
C．μ1μ2＝1D．＝1
2．（多选）如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ＝30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为μ＝，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω，重力加速度为g，则（ ）
A．当ω＝时，细绳的拉力为0
B．当ω＝时，物块与转台间的摩擦力为0
C．当ω＝时，细绳的拉力大小为mg
D．当ω＝时，细绳的拉力大小为mg
3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长
L=40cm，求：
（１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？
（２）桶在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力？
【巩固提升】
1对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应满足
A．v≥B．v≤C．v≤D．v≤
2如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m＝0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为Ff＝2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g＝10m/s2）
3质量为mA和mB的两个小球A和B用轻质弹簧连在一起，用长为L1的细绳将A球系于O轴上，使AB两球均以角速度ω在光滑的水平面上绕OO′轴做匀速圆周运动，如图所示，当两球间的距离为L2时，将线烧断，线被烧断的瞬间，两球加速度aA和aB各是多少？
4．（多选）如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）
A．a处为拉力，b处为拉力
B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力
D．a处为推力，b处为推力
5．如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动，求：
（1）小球在最高点A时速度为多大时，才能使杆对小球m的作用力为零？
（2）小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少？
6．如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水
平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入
圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终
通过最高点D，则小球在通过D点后（）
A．会落到水平面AE上
B．一定会再次落到圆轨道上
C．可能会落到水平面AE上
D．可能会再次落到圆轨道上
7.如图所示，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距l0=1.0m.长l=1m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧.把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动，由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上.若细线能承受的最大张力Fm=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长？
圆周运动的临界、极值问题答案
【自主学习】
三、两个典型模型
【学习检测】
1．答案C
解析：
以M、N整体作为研究对象，则受力如图1所示，静摩擦力提供向心力，有Ff＝（mN＋mM）ω2r，且Ff＝μ2（mN＋mM）g，以N为研究对象，受力分析如图2所示，M对N的弹力FN提供向心力，有FN＝mNω2r，且Ff′＝μ1FN＝mNg，联立各式得μ1μ2＝1，故C正确．
图1 图2
2．答案AC
解析：
选 当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时μmg＝mωlsin30°，解得ω1＝，随角速度的增大，细绳上的拉力增大，当物块恰好要离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用，mgtan30°＝
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