黄冈中学中考数学知识点考点公式定理详解Word文档格式.docx

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19.圆的有关概念和性质1、理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系；

2、理解弦弧、半圆优弧、同心圆等圆、等弧弓形、圆心角圆周角等与圆有关的概念；

3、掌握圆心角弧、弦弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。

20.垂径定理1、垂径定理及其推论是指：

一条直线①过圆心；

②垂直于一条弦；

③平分这条弦；

④平分弦所对的劣弧；

⑤平分弦所对的优弧。

这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。

2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。

21.切线的判定与性质1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：

一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。

22.与圆有关的角1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念；

2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数；

3、掌握圆周角定理及其推论；

4、掌握弦切角定理及其推论；

5、掌握各角之间的转化及其综合运用。

23.圆中成比例的线段1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。

2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。

24.圆与圆

（一）

1、掌握圆与圆的五种位置关系与两圆的半径、圆心距之间的关系，掌握圆与圆的位置关系的三种判定方法。

2、掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，相切两圆的连心线必过切点等性质。

25.圆与圆

（二）

1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）。

2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。

26.正多边形和圆

1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算；

2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长；

3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积；

4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。

1.三角形

考点：

精典例题：

【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a&

gt;

b，那么这个三角形的周长的取值范围是（）

A、3a&

L&

3bB、2（a+b）&

2a

C、2a+b&

2b+aD、3a-b&

a+2b

分析：

涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。

答案：

B

变式与思考：

在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（）

A、1＜AB＜29B、4＜AB＜24C、5＜AB＜19D、9＜AB＜19

评注：

在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。

【例2】如图，已知△ABC中，∠ABC＝450，∠ACB＝610，延长BC至E，使CE＝AC，延长CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度数。

用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E的度数，即可求得∠DAE的度数。

略解：

∵AB＝DB，AC＝CE

∴∠D＝∠ABC，∠E＝∠ACB

∴∠D＋∠E＝（∠ABC＋∠ACB）＝530

∴∠DAE＝1800－（∠D＋∠E）＝1270

探索与创新：

【问题一】如图，已知点A在直线外，点B、C在直线上。

（1）点P是△ABC内任一点，求证：

∠P＞∠A；

（2）试判断在△ABC外，又和点A在直线的同侧，是否存在一点Q，使∠BQC＞∠A，并证明你的结论。

分析与结论：

（1）连结AP，易证明∠P＞∠A；

（2）存在，怎样的角与∠A相等呢？

利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC的外接⊙O，易知弦BC所对且顶点在弧AB，和弧AC上的圆周角都与∠A相等，因此点Q应在弓形AB和AC内，利用圆的有关性质易证明（证明略）。

【问题二】如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足为E、D。

问：

△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？

分析与结论：

（1）DE是△AED与四边形EBCD的公共边，只须证明AD＋AE＝BE＋BC＋CD

（2）既有等边三角形的条件，就有600的角可以利用；

又有垂线，可造成含300角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。

在等边△ABC中，∠B＝∠C＝600

又∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D

∴∠BPE＝∠CPD＝300

不妨设等边△ABC的边长为1，BE＝，CD＝，那么：

BP＝，PC＝，，而AE＝，AD＝

∴AE＋AD＝

又∵BE＋CD＋BC＝

∴AD＋AE＝BE＋BC＋CD

从而AD＋AE＋DE＝BE＋BC＋CD＋DE

即△AED的周长等于四边形EBCD的周长。

评注：

本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。

跟踪训练：

一、填空题：

1、三角形的三边为1，，9，则的取值范围是。

2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为。

3、在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝度。

4、如果△ABC的一个外角等于1500，且∠B＝∠C，则∠A＝。

5、如果△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，则与∠A相等的角是。

6、如图，在△ABC中，∠A＝800，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，那么∠BDC＝。

7、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28cm，则DB＝。

8、纸片△ABC中，∠A＝650，∠B＝750，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝200，则∠2的度数为。

9、在△ABC中，∠A＝500，高BE、CF交于点O，则∠BOC＝。

10、若△ABC的三边分别为、、，要使整式，则整数应为。

3.等腰三角形

知识考点：

【例1】等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（）

A、300B、600C、1500D、300或1500

分析：

如图所示，在等腰△ABC中，CD为腰AB上的高，CD∶AB＝1∶2，∵AC＝AB，∴CD∶AC＝1∶2，∴在Rt△ABC中有答案D。

【例2】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝900，D是AC上一点，AE⊥BD的延长线于E，又AE＝BD，求证：

BD是∠ABC的角平分线。

∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故可作辅助线补全图形，构造出全等三角形（证明略）。

【问题一】如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于E、F点，连结EF与AD相交于G，试问：

你能确定∠AED和∠AGF的大小关系吗？

依题意有△ADE≌△FDC，△EDF为等腰直角三角形，又∵∠AED＝∠AEF＋∠DEG，∠AGF＝∠AEF＋∠EAG，事实上∠EAG与∠DEG都等于450，故∠AED＝∠AGF。

加强对图形的分析、发现、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代数式表示∠AED、∠AGF，从而比较其大小是本题的解题关键。

【问题二】在平面上有且只有4个点，这4个点有一个独特的性质每两个点之间的距离有且只有两种长度。

例如正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD。

请你画出具有这种独特性质的四种不同的图形，并标注相等的线段。

（1）AB＝AD＝DB＝DC＝BD，AC

（2）AB＝AC＝AD＝BC，BD＝DC

（3）AB＝AC，AO＝BO＝CO＝DO

（4）AB＝BC＝AC，AO＝BO＝CO

（5）AB＝AD＝CD，AC＝BC＝BD

本例突破了常规作图题的思维形式，是一道很好的开放型试题，要求学生既要善于动脑，又要善于动手。

1、等腰三角形的两外角之比为5∶2，则该等腰三角形的底角为。

2、在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，E为垂足，则∠C＝。

3、等腰三角形的两边长为4和8，则它腰上的高为。

4、在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为。

5、如图，AB＝BC＝CD，AD＝AE，DE＝BE，则∠C的度数为。

6、如图，D为等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC，则∠BPD＝。

7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，已知下列四个式子：

①∠1＝（∠2＋∠3）②∠1＝2（∠3－∠2）

③∠4＝（∠3－∠2）④∠4＝∠1

其中有两个式子是正确的，它们是和。

二、选择题：

1、等腰三角形中一内角的度数为500，那么它的底角的度数为（）

A、500B、650C、1300D、500或650

2、如图，D为等边△ABC的AC边上一点，且∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，则△ADE是（）

A、等腰三角形B、直角三角形C、不等边三角形D、等边三角形

3、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，∠ACB＝450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，那么图中的等腰三角形的个数是（）

A、2B、3C、4D、5

4、如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长是（）

A、30B、33C、36D、39

5、如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝1200，EA＝AB＝BC＝DC＝DE，则∠D＝（）

A、300B、450C、600D、67.50

三、解答题：

1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且BD＝CE，∠DEF＝∠B。

求证：

△DEF是等腰三角形。

2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地。

请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

3、如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠ABC的平分线与AD垂直，垂足为D，求证：

AC＝2BD。

4、在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE＝600，AE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？

证明你的结论。

参考答案

1、300；

2、720；

3、；

4、360；

5、360；

6、300；

7、①③

DDDAC

1、证△DBE≌△ECF

2、提示：

分两种情况讨论。

不妨设AB＝10米，作CD⊥AB于D，则CD＝6米。

（1）当AB为底边时，AC＝BC＝米；

（2）当AB为腰且三角形为锐角三角形时，AB＝AC＝10米，BC＝米；

（3）当AB为腰且三角形为钝角三角形时，AB＝BC＝10米，AC＝米；

3、提示：

延长AD交BC于点M。

4、△ADE为等边三角形。

4.直角三角形、勾股定理、面积

了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。

【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则AB＝？

通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。

【例2】如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。

本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，而应综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝600来构造出含300角的直角三角形。

这是解本题的关键。

∠ACB＝750（提示：

过C作CQ⊥AP于Q，连结BQ，则AQ＝BQ＝CQ）

【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝300，点A处有一所中学，AP＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？

如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？

从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD＝80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。

作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。

所以这所学校会受到噪声的影响。

以A为圆心，100米为半径作圆交MN于E、F，连结AE、AF，则AE＝AF＝100，根据勾股定理和垂径定理知：

ED＝FD＝60，EF＝120，从而学校受噪声影响的时间为：

（小时）＝24（秒）

本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。

【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。

若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。

（1）该城市是否会受到这次台风的影响?

请说明理由。

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?

解：

（1）如图1，由点A作AD⊥BC，垂足为D。

∵AB＝220，∠B＝30°

∴AD＝110（千米）。

由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。

故该城市会受到这次台风的影响。

（2）由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。

则AE＝AF＝160。

当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。

由勾股定理得：

。

∴EF＝60（千米）。

∵该台风中心以15千米／时的速度移动。

∴这次台风影响该城市的持续时间为（小时）。

（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5（级）。

本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE＝AF＝160；

当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大。

1、如果直角三角形的边长分别是6、8、，则的取值范围是。

2、如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，则BC＝。

3、如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，则∠DAB＝。

4、等腰△ABC中，一腰上的高为3cm，这条高与底边的夹角为300，则＝。

5、如图，△ABC中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，则BD的长为。

6、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，则＝。

7、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且∠AOD＝600，设E、F分别为CO、AB的中点，则EF＝。

8、如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且CD＝AE，AD、BE相交于P点，BQ⊥AD。

已知PE＝1，PQ＝3，则AD＝。

9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是。

1、如图，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：

①AS＝AR；

②QP∥AR；

③△BRP≌△QSP中（）

A、全部正确B、仅①和②正确C、仅①正确D、仅①和③正确

2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（）

A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确定

3、在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，则∠ACB的度数是（）

A、大于900B、小于900C、等于900D、不能确定

4、如图，已知△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝，OA＝OC＝，则∠OAB的度数为（）

A、100B、150C、200D、250

1、阅读下面的解题过程：

已知、、为△ABC的三边，且满足

，试判断△ABC的形状。

∵……①

∴……②

∴……③

∴△ABC是直角三角形。

（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？

请写出该步的代号；

（2）错误的原因是；

（3）本题的正确结论是。

2、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝，求AB、AC的长。

3、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。

（1）求证：

G是CE的中点；

（2）∠B＝2∠BCE。

4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB＝900，BC＝60米，∠A＝360。

（1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求最短路线CE的长（保留整数）；

（2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元／米，水渠路线应如何设计才能使造价最低？

请你画出水渠路线，并求出最低造价。

参考数据：

sin360＝0.5878，sin540＝0.8090

5、已知△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC＝5。

（1）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）为何值时，△ABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。

1、10或；

2、16.9；

3、1350；

4、cm2；

5、；

6、5；

7、4

8、7；

9、49

BDCB

1、

（1）③；

（2）略；

（3）直角三角形或等腰三角形

过A作AD⊥BC于D，则AB＝，AC＝

连结ED

4、

（1）51米；

（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，造价2427元。

5、

（1）2；

（2）＝4或3，当＝4时，面积为12。

探