高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.docx
《高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
2019-2020年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知识梳理
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用“∀”表示;含有全称量词的命题叫做全称命题.
(2)存在量词:
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用“∃”表示;含有存在量词的命题叫做特称命题.
3.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,¬p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,¬p(x)
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题.(×)
(2)若命题p,q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.(√)
(3)已知命题p:
∃n0∈N,2n0>1000,则¬p:
∃n0∈N,2n0≤1000.(×)
(4)命题“∀x∈R,x2≥0”的否定是“∀x∈R,x2<0”.(×)
2.(xx·重庆卷)已知命题p:
对任意x∈R,总有|x|≥0;
q:
x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧¬qB.¬p∧q
C.¬p∧¬qD.p∧q
解析 由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,故¬q为真命题,所以p∧¬q为真命题.
答案 A
3.(xx·湖南卷)设命题p:
∀x∈R,x2+1>0,则¬p为( )
A.∃x0∈R,x+1>0B.∃x0∈R,x+1≤0
C.∃x0∈R,x+1<0D.∀x∈R,x2+1≤0
解析 “∀x∈R,x2+1>0”的否定为“∃x0∈R,x+1≤0”,故选B.
答案 B
4.若命题“∀x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.
解析 当a=0时,不等式显然成立;当a≠0时,由题意知得-8≤a<0.综上,-8≤a≤0.
答案 [-8,0]
5.(人教A选修1-1P26A3改编)给出下列命题:
①∀x∈N,x3>x2;
②所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
③∃x0∈R,x-x0+1≤0;
④存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
则以上命题的否定中,真命题的序号为________.
答案 ①②③
考点一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断
【例1】
(1)(xx·辽宁卷)设a,b,c是非零向量.已知命题p:
若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:
若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨qB.p∧q
C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)
(2)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A.(¬p)∨(¬q)B.p∨(¬q)
C.(¬p)∧(¬q)D.p∨q
解析
(1)由于a,b,c都是非零向量,
∵a·b=0,∴a⊥b.∵b·c=0,∴b⊥c.如图,则可能a∥c,∴a·c≠0,∴命题p是假命题,∴¬p是真命题.命题q中,a∥b,则a与b方向相同或相反;b∥c,则b与c方向相同或相反.故a与c方向相同或相反,∴a∥c,即q是真命题,则¬q是假命题,故p∨q是真命题,p∧q,(¬p)∧(¬q),p∨(¬q)都是假命题.
(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况:
“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围,乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围,甲没有降落在指定范围”.选A.或者,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题,即“p∧q”的否定.选A.
答案
(1)A
(2)A
规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据“或”——一真即真,“且”——一假即假,“非”——真假相反,做出判断即可.
【训练1】
(1)若命题p:
函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:
函数y=x-的单调递增区间是[1,+∞),则( )
A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题
C.¬p是真命题D.¬q是真命题
(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件.
深度思考 常常借助集合的“并、交、补”的意义来理解由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题,你清楚吗?
解析
(1)因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;
因为函数y=x-的单调递增区间(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,¬p为假命题,¬q为真命题,故选D.
(2)若命题“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题.
若命题“p∧q”为真命题,则p,q都为真命题,因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件.
答案
(1)D
(2)必要不充分
考点二 全(特)称命题的否定及其真假判定
【例2】
(1)(xx·安徽卷)命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )
A.∀x∈R,|x|+x2<0B.∀x∈R,|x|+x2≤0
C.∃x0∈R,|x0|+x<0D.∃x0∈R,|x0|+x≥0
(2)(xx·沈阳质量监测)下列命题中,真命题的是( )
A.∀x∈R,x2>0B.∀x∈R,-1<sinx<1
C.∃x0∈R,2x0<0D.∃x0∈R,tanx0=2
解析
(1)全称命题的否定是特称命题,即命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定为“∃x0∈R,|x0|+x<0”.故选C.
(2)∀x∈R,x2≥0,故A错;∀x∈R,-1≤sinx≤1,故B错;∀x∈R,2x>0,故C错,故选D.
答案
(1)C
(2)D
规律方法
(1)对全(特)称命题进行否定的方法有:
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定;②对原命题的结论进行否定.
(2)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立.
【训练2】命题“存在实数x,使x>1”的否定是( )
A.对任意实数x,都有x>1
B.不存在实数x,使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1
D.存在实数x,使x≤1
解析 “存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.故选C.
答案 C
考点三 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题
【例3】已知p:
∃x∈R,mx2+1≤0,q:
∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.[2,+∞)B.(-∞,-2]
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.[-2,2]
解析 依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.因此由p,q均为假命题得即m≥2.
答案 A
规律方法 以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据“p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可.
【训练3】已知命题p:
“∀x∈[0,1],a≥ex”;命题q:
“∃x∈R,使得x2+4x+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是________.
解析 若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由∃x∈R,使x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4.
答案 [e,4]
微型专题 利用逻辑关系判断命题真假
xx年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题,这也是今后高考命题的新趋向,大家应加以重视,解决问题的关键是弄清实际问题的含义,结合数学的逻辑关系进行转化.
【例4
(1)(xx·新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
丙说:
我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
(2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:
甲:
中国非第一名,也非第二名;
乙:
中国非第一名,而是第三名;
丙:
中国非第三名,而是第一名.
竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名.
点拨 找出符合命题的形式,根据逻辑分析去判断真假.
解析
(1)由题意可推断:
甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过城市A,由此可知,乙去过的城市为A.
(2)由上可知:
甲、乙、丙均为“p且q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.
答案
(1)A
(2)一
点评 在一些逻辑问题中,当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时,应从语句的陈述中搞清含义,并根据题目进行逻辑分析,找出各个命题之间的内在联系,从而解决问题.
[思想方法]
1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字眼,要结合语句的含义理解.
2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:
p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与¬p→真假相反.
3.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”.
[易错防范]
1.命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.
2.命题的否定包括:
(1)对“若p,则q”形式命题的否定;
(2)对含有逻辑联结词命题的否定;(3)对全称命题和特称命题的否定,要特别注意下表中常见词语的否定.
词语
词语的否定
等于
不等于
大于
不大于(或小于等于)
小于
不小于(或大于等于)
是
不是
一定是
不一定是
都是
不都是(至少有一个不是)
必有一个
一个也没有
任意的
某一个
且
或
或
且
至多有一个
至少有两个
基础巩固题组
(建议用时:
30分钟)
一、选择题
1.(xx·湖北卷)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是( )
A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=x
C.∃x∉R,x2≠xD.∃x∈R,x2=x
解析 原命题的否定为“∃x∈R,x2=x”.
答案 D
2.(xx·天津卷)已知命题p:
∀x>0,总有(x+1)ex>1,则¬p为( )
A.∃x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1
B.∃x0>0,使得(x0+1)ex0≤1
C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1
D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1
解析 命题p为全称命题,所以¬p:
∃x0