关于复合函数求导法则的探讨1Word格式.docx
《关于复合函数求导法则的探讨1Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于复合函数求导法则的探讨1Word格式.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数u来说,..u一般都不等于0。
本文试图探讨下列问题。
问题一..
（1）何时lim
..x..0
.y
..x
=lim
.y
#.u
=f..（u0）....（x0）行得通?
（2）上面的方法行不
通时,有无别的证法?
（3）举出例子说明..u可以在x0的任何邻域中取到0。
问题二..复合函数求导法则在特殊极限的求法中的应用如何?
问题一
（1）何时lim
.x..0
.x
.u
=f..（u0）#....（x0）行得通?
有下面结论:
在复合函数
求导法则中,如果....（x0）.0,则此时求导法则可用[f（..（x））]..|x=x
=lim..x..0
#
证明..如....（x0）.0,则由极限性质知,存在>
0,当x%..U（x0,）时,
..（x）-..（x0）
x-x0
.
0,即当x%..U（x0,）,..（x）-..（x0）.0,从而当x%..U（x0,）时,
f（..（x））-f（..（x0））
#..（x）-..（x0）
成立。
因为..（x）在x0处可导,故..（x）在x0连续,从而
lim
x..x
（..（x）-..（x0））=0。
又因f（u）在u0=..（x0）处可导,因此,lim
x..x
f（..（x））-f（..（x0））
x-x0
17
Vol.7,No.5
Sep.,2004
....................高等数学研究
STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS
..收稿日期:
2002-11-13
..（x）..u
f（..（x））-f（u0）
..（x）-u0
#lim
..（x）-..（x0）
=f..（u0）#....（x0）.
（2）如果....（x0）=0,则f..（u）|u=u
#....（x0）=0,此时也有[f（..（x））]..|x=x
=0。
证明..对任意!
>
0,因为f（u）在u0处可导,所以f（u）在u0的某空心邻域有界,即存在
M>
0与..>
0,当u%..U（u0,..）时,|
f（u）-f（u0）
u-u0
|&
M,即|f（u）-f（u0）|&
M|u-u0|,此式对
u=u0也真,从而当u%U（u0,..）时,|f（u）-f（u0）|&
M|u-u0|。
因为..（x）在x0可导,从而在
x0处连续,于是,对上面的..,存在.>
0,当x%U（x0,.）时,有|..（x）-..（x0）|<
..,于是当
x%U（x0,.）时,|f（..（x））-f（..（x0））|..M|..（x）-..（x0）|,从而|
f[..（x）]-f[..（x0）]
|..
M|
..（x）-..（x0）
|,所以lim
=0,即[f（..（x））]..|x=x
=f..（u）|u=u
....（x0）仍然成立。
（3）给出反例说明.u=..（x）-..（x0）在x0的任意邻域里都可以有零点。
事实上,取u=..（x）=
x
2
sin
1
x.0
0,....x=0
y=f（u）=eu,则..（x）在x=0处可导,f（u）在u0=
..（0）=0可导。
故y=f（u）,u=..（x）,即y=f（..（x））满足复合函数求导法则,因此,
[f（..（x））]..|x=0=lim
x..0
ex
sin
x-e0
x-0=（e
u
）..u=0#....（0）=1#0=0。
但此时我们不能把ex
x-0
写成
ex
x2sin1
-0
x2sin
来求极限,因为在0的任意邻域中..（x）=x2sin
都有零点,这只需注
意sin2n.=0,n=1,2,（。
问题二
复合函数求导法则在特殊极限的求法中有何应用?
当x..0,如果p（x）..0,则未必有e
p（x）
-1~p（x）,因为p（x）可以在0的任意邻域内存在零
点,因此当x..0我们固然有:
e-x
-1~-x2,esinx
-1~sinx2,etanx-1~tanx,但我们不能得出ex
sin1
-1~x2sin
因而使用等价无穷小的替代法则求得lim
x-1
x
=0是错误的,而
且我们也不能利用洛必达法则求此极限,因为分子求导后当x趋向0时无极限,但是利用复合函
数求导法则,我们可以方便地求得:
lim
a
=（eu）..|u=0（xasin
）..|x=0=0,这里u=
xasin1
0,....x=0
（a为大于1的正整数）。
一般地我们可得,只要lim
p（x）
存在,总有lim
ep（x）-1
。
特别当p（x）=o（x）
时,有lim
e
-1
事实上,这时lim
x..0
p（x）=lim
#x=lim
x=0,所以可定义
u（x）=
p（x）,x.0,
0,x=0
此时u..（0）=lim
存在,于是对复合函数f（u）=eu,u=
p（x）,..x.0,
0,..x=0
可利用复合函数求导法则有（下转第22页）
18高等数学研究..............................2004年9月
注..我们不仅证明了an..1（n..））,而且证明了an.1时,1-an~
n
（n..））,即{an}收敛
于1的速度与{
}收敛于零的速度相同。
下面的问题均可利用本文结论给出证明,证明过程留给读者完成。
（1）设a1>
0,m>
1为自然数,an+1=
an
m
1+amn
n=1,2,（,证明:
n..）
nan=1。
（2）设o<
x1<
.
2,xn+1=
2（1-cosxn）
xn
n..）nx
n=6。
参考文献
[1]李成章,黄玉民.数学分析（上册）.北京:
科学出版社,1999.
[2]常庚哲,史济怀.数学分析教程（第一册）.南京:
江苏教育出版社,1999.
[3]孙本旺,汪浩.数学分析中的典型例题和解题方法.长沙:
湖南科技出版社,1981.
[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:
高等教育出版社,1993.
[5]吴良森,等.数学分析习题精解.北京:
科学出版社,2002.
[6]马振元.数学分析的方法与技巧选讲.兰州:
兰州大学出版社,1999.
（上接第18页）..lim
ep（x）-1
=（e
）..|u=0#u..（0）=1#lim
类似地我们也有lim
（1+x2sin
）a-1
=0,lim
ln（1+x2sin
）
sin（x2sin
=0,等等。
但lim
xsin1
不存在,
因为取xn=
1
2n.,x..n=
2n.+
2
n=1,2,（时,lim
n..）xn=0,lim
n..）x..n=0,而lim
n
n-1
ex..
x..
x..n
=1。
此外,复合函数求导法则条件不满足时有下列结论:
（a）y=f（u）在u0处不可导,而u=..（x）在x0处可导,u0=..（x0）,则y=f（..（x））在x0处
可以可导也可以不可导。
（b）y=f（u）在u0处可导,而u=..（x）在x0处不可导,u0=..（x0）,则y=f（..（x））在x0处
（c）y=f（u）在u0处不可导,u=..（x）在x0处不可导,u0=..（x0）,则y=f（..（x））在x0处
以上三种情况的例子都比较容易举出来,此处不再赘述。
以上的叙述可以让学生对复合函数求导法则有一个直觉性的理解,因为lim
.u
.x
=f..（u）#....（x）适用于大多数情况。
也可以使他们在解题中避免盲目地套用公式,从而可以提
高他们对复合函数求导法则内含的认识。
此外,本文顺便解决了征解问题:
证明当x..0时,ex
x-
1是比x高阶的无穷小（见高等数学研究,Vo1.3,No..3,2000,p16）。
[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:
22高等数学研究..............................2004年9月
升级会员 