关于复合函数求导法则的探讨1Word格式.docx

1、数u 来说, .u 一般都不等于0。本文试图探讨下列问题。问题一. （ 1） 何时lim .x .0 . y .x = lim .y # . u = f .（ u0） .（ x 0） 行得通? （ 2） 上面的方法行不通时, 有无别的证法? （ 3） 举出例子说明.u 可以在x 0 的任何邻域中取到0。问题二. 复合函数求导法则在特殊极限的求法中的应用如何?问题一（ 1） 何时lim . x .0 . x . u = f .（ u0） # .（ x 0） 行得通? 有下面结论: 在复合函数求导法则中, 如果.（ x 0） . 0 , 则此时求导法则可用 f （ .（ x ） . | x= x

2、= lim .x .0 # 证明. 如.（ x 0） . 0 , 则由极限性质知, 存在 0 , 当x % .U（ x 0, ） 时, .（ x ） - .（ x 0） x - x 0 . 0 , 即当x % .U（ x 0, ） , .（ x ） - .（ x 0） . 0 , 从而当x % .U（ x 0, ） 时, f （ .（ x ） - f （ .（ x 0） # .（ x） - .（ x 0） 成立。因为.（ x ） 在x 0 处可导, 故.（ x ） 在x 0 连续, 从而lim x . x （ .（ x ）- .（ x 0）= 0。又因f （ u ） 在u0 = .（ x 0

3、） 处可导, 因此, lim x . xf （ .（ x ）- f （ .（ x0） x- x 0 17 Vol. 7, No. 5 Sep. , 2004 . . . . . . . . . . 高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS . 收稿日期: 2002- 11- 13.（ x） .uf （ .（ x ）- f （ u0） .（ x ）- u0 #lim .（ x ）- .（ x 0） = f .（ u0）#.（ x 0） . （ 2） 如果.（ x 0） = 0, 则f .（ u） | u= u# .（ x 0） = 0 , 此时也有 f （ .（

4、x ） ） .| x= x = 0 。证明. 对任意! 0, 因为f （ u） 在u 0 处可导, 所以f （ u ） 在u0 的某空心邻域有界, 即存在M 0 与 . 0 , 当u % .U（ u0, .） 时, | f （ u）- f （ u0） u- u0 | & M , 即| f （ u）- f （ u0） | & M| u- u0| , 此式对u= u0 也真, 从而当u % U（ u 0, .） 时, | f （ u）- f （ u0）| & M| u- u0| 。因为.（ x ） 在x 0 可导, 从而在x 0 处连续, 于是, 对上面的 ., 存在 . 0 , 当x % U（

5、x 0, .） 时, 有| .（ x ） - .（ x 0） | 0, m 1 为自然数, an+ 1= an m 1+ amn , n= 1, 2, （, 证明:n . ） nan= 1。（ 2） 设o x 1.2 , x n+ 1= 2（ 1- cosx n） xn n . ） nx n= 6。参考文献 1 李成章, 黄玉民. 数学分析（ 上册） . 北京: 科学出版社, 1999. 2 常庚哲, 史济怀. 数学分析教程（ 第一册） . 南京: 江苏教育出版社, 1999. 3 孙本旺, 汪浩. 数学分析中的典型例题和解题方法. 长沙: 湖南科技出版社, 1981. 4 裴礼文. 数学分析

6、中的典型问题与方法. 北京: 高等教育出版社, 1993. 5 吴良森, 等. 数学分析习题精解. 北京: 科学出版社, 2002. 6 马振元. 数学分析的方法与技巧选讲. 兰州: 兰州大学出版社, 1999. （ 上接第18 页） . lim ep （x ）- 1 = （ e）.| u= 0#u.（ 0） = 1#lim 类似地我们也有lim （1+ x 2sin ） a- 1 = 0, lim ln（ 1+ x2sin ） sin（ x 2sin = 0, 等等。但lim x sin 1不存在, 因为取x n = 1 2n., x.n = 2n.+ 2 , n = 1, 2, （时, l

7、im n . ） xn = 0, lim n . ） x.n = 0, 而lim nn - 1 ex.x.x.n = 1。此外, 复合函数求导法则条件不满足时有下列结论:（ a） y= f （ u ） 在u0 处不可导, 而u = .（ x ） 在x 0 处可导, u0= .（ x 0） , 则y = f （ .（ x ） ） 在x 0 处可以可导也可以不可导。（ b） y= f （ u） 在u 0 处可导, 而u= .（ x ） 在x 0 处不可导, u 0= .（ x 0） , 则y= f （ .（ x ） ） 在x 0 处（ c） y= f （ u） 在u 0 处不可导, u= .（ x

8、 ） 在x 0 处不可导, u0= .（ x 0） , 则y= f （ .（ x ） ） 在x 0 处以上三种情况的例子都比较容易举出来, 此处不再赘述。以上的叙述可以让学生对复合函数求导法则有一个直觉性的理解, 因为lim .u .x = f .（ u）#.（ x ） 适用于大多数情况。也可以使他们在解题中避免盲目地套用公式, 从而可以提高他们对复合函数求导法则内含的认识。此外, 本文顺便解决了征解问题: 证明当x .0 时, ex x - 1 是比x 高阶的无穷小（ 见高等数学研究, Vo1. 3, No.3, 2000, p16） 。 1 同济大学数学教研室. 高等数学M . 北京:22 高等数学研究. . . . . . . . . . . . . . . 2004 年9 月