共点力平衡的七大题型.docx
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共点力平衡的七大题型
专题共点力平衡的七大题型
、三类常考的三力静态平衡”问题1
热点题型一三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。
1
热点题型二三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知。
3
热点题型三三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系。
5
、三类常考的动态平衡”模型7
热点题型四矢量三角形法类7
热点题型五相似三角形法类9
热点题型六单位圆或正弦定理发类型11
热点题型七衣钩、滑环模型13
【题型归纳】
一、三类常考的三力静态平衡”问题
热点题型一三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。
解决平衡问题常用的方法有以下五种
①力的合成法②力的正交分解法③正弦定理法④相似三角形法⑤矢量三角形图解法
【例1】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，0为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作
用下静止P点。
设滑块所受支持力为Fn。
OF与水平方向的夹角为
解法二力的分解法
解法三力的三角形法（正弦定理）
N，则物块的质量最大为（
T=f+mgsinB,f=^N,N=mgcosQ带入数据解得：
m=150kg，故A选项符合题意。
【变式2】（2019新课标全国川卷）用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于
两光滑斜面之间，如图所示。
两斜面I、n固定在车上，倾角分别为30°和60°重力加速度为g。
当卡车沿平
直公路匀速行驶时，圆筒对斜面I、n压力的大小分别为F1、卩2则（）
【答案】D
正确
热点题型二三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知。
【例2】一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B（中央有孔），A、B间由细绳连接，它们处
于如图2-2—24所示位置时恰好都能保持静止状态。
此情况下，B球与环中心0处于同一水平面上，AB
间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角。
已知B球的质量为m，求细绳对B球的拉力大小和A球的质量。
【答案】2mg2m
【解析】对B球，受力分析如图所示。
则有Fsin30=mg
得FT=2mg
对A球，受力分析如图所示。
在水平方向：
FTcos30=°FNAsin30°
在竖直方向：
FNAcos30=°mAg＋FTsin30°
由以上方程解得：
mA=2m。
【点睛】由于此类问题应用力的合成法无法构造直角三角形故往往采用“力的分解法或正弦定理进行求解”。
【变式】如图所示，四分之一光滑圆弧面AB与倾角为60°的光滑斜面AC顶部相接，A处有一光滑的定滑轮，
跨过定滑轮用轻质细绳连接质量分别为mi、m2的两小球，系统静止时连接的绳子与水平方向的夹角为60:
两小球及滑轮大小可忽略，则两小球质量的比值mi：
m2为（）
B.3:
2
C.2:
3
D.,：
3:
2
【答案】B
【解析】对mi、m2受力分析如图所示，
对mi有：
mig=2FTcos30=3Ft,
对m2有:
V3
Ft=m2gsin60=——m2g,
2
解得mi:
m2=3:
2.
热点题型三三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系。
个无摩擦定滑轮,
l22.4R,
【例3】如图所示，表面光滑为R的半球固定在水平地面上，球心0的正上方0,处有
轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为
l12.5R.则这两个小球的质量之比m1:
m2为（不计小球大小）（）
B.25:
1
C.24:
25
D.25:
24
力图.由平衡条件得知，拉力
【答案】C.
【解析】先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：
重力m1g、绳子的拉力T和半球的支持力N,作出受
T和支持力N的合力与重力mg大小相等、方向相反.设00=h根据三角形
由①：
②得mij:
m2l2:
l19:
10
A、B
【答案】BC
点，A球固定在O点正下方L处，当小球B平衡时，绳子所受的拉力为Ft1，弹簧的弹力为F1；现把
与重力mg大小相等，方向相反，即F合=口9,如图所示:
由三角形相似得：
mgFFt
AOABOB
又0A=0B=L,得FT=mg
FXmg
FT1=FT2，当弹簧的劲度系数变大时,
故绳子的拉力Ft只与小球B的重力有关，与弹簧的劲度系数无关，所以
弹簧的压缩量减小，故长度
X增加，F2>F1,故BC正确，AD错误。
二、三类常考的动态平衡”模型
热点题型四矢量三角形法类
特点：
1、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
2、另一个力方向不变，大小可变,3、第三个力大小方向均可变，
方法：
矢量三角形法分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化情况。
【例4】半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有竖直挡板MN。
在P和MN之间放有一个光滑均匀的
如图所示是这个装置的纵截面图，若用外力使MN保持竖直并缓慢地
P始终保持静止。
在此过程中，下列说法中正确的是（）
【解析】解：
取Q为研究对象,Q受到mg、Fmn、Fp三个力的作用，由于MN缓慢向右移动，小圆柱体Q处
于动态平衡状态，分析可知Fmn方向不变，Fp与竖直方向夹角增大，转动过程中Q所受三力的变化情况如图所
示，可以判断Fmn、Fp都变大,A正确、C错误.由于Q受力平衡，合力始终为零，D项错误•取P、Q整体为研究对象，地面对P的摩擦力应与Fmn平衡,所以地面对P的摩擦力逐渐增大,B项错误.
【变式1】（2019新课标全国I卷）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。
一细绳
跨过滑轮，其一端悬挂物块N。
另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。
现用水平向左的拉力
A.水平拉力的大小可能保持不变
B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【解析】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方
向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大;
对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加。
故
本题选BD。
【变式2】如图所示，一铁球用一轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，要使轻绳与竖直方向保持60°角不变,且F最小，则F与竖直方向的夹角B应为（）
【答案】C
【解析】如图所示，小球受三个力而处于平衡状态，重力G的大小和方向都不变，绳子拉力T方向不变，
因为绳子拉力T和外力F的合力等于重力，通过作图法知，当F的方向与绳子方向垂直时，由于垂线段最短，所以F最小，则由几何知识得906030，C正确.
【变式3】如图所示，将一物体用两根等长细绳OA、OB悬挂在半圆形架子上，B点固定不动，在悬挂点A
由位置C向位置D移动的过程中，物体对OA绳的拉力变化是（）
A.由小变大B.由大变小C.先减小后增大D.先增大后减小
"口
【答案】C
【解析】对O点受力分析，抓住两根绳的合力等于物体的重力，大小和方向都不变，OB绳拉力方向不变,
根据平行四边形定则得，如图；知OA绳上拉力大小先减小后增大•故C正确，ABD错误•故选C.
热点题型五相似三角形法类
特点：
1、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
2、其余两个力方向、大小均在变
3、有明显长度变化关系
方法：
相似三角形法
【例5】如图所示，水平地面上竖直地固定着一个光滑的圆环，一个质量为m的小球套在环上，圆环最高
点有一小孔，细线一端被人牵着，另一端穿过小孔与小球相连，使球静止于A处，此时细线与竖直成B角,
重力加速度为g,将球由A处缓慢地拉至B处的过程中，球对细线的拉力如何变化，以及环对球的支持力如何变化?
【解析】对小球受力分析，构建封闭的三角形，几何三角形AOP与红色的力三角形相似，对应边成比例；
OPPAOA
mgTFn
因为PA减小；所以T减小，OA=OB所以Fn不变；
【变式】如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。
现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前，下列说法正确的是（）
A.BC绳中的拉力Ft越来越大B.BC绳中的拉力Ft越来越小
C.AC杆中的支撑力Fn越来越大D.AC杆中的支撑力Fn越来越小
【答案】B
【解析】以C点为研究对象，分析受力：
重物的拉力T（等于重物的重力G）。
解得:
Fn=ACG,Ft=BCG
由于AC不变，所以Fn不变，BC减小，Ft减小，故选项B正确。
热点题型六单位圆或正弦定理类型
特点：
1、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
4、其余两个力方向、大小均在变
5、有一个角恒定不变
【例题6】（2017全国卷I）如图，柔软轻绳ON的一端0固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N,初始时，0M竖直且MN被拉直，0M与MN之间的夹角为a（a＞才）.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角a不变.在0M由竖直被拉到水平的过程中（）
A.MN上的张力逐渐增大B.MN上的张力先增大后减小
C.0M上的张力逐渐增大D.0M上的张力先增大后减小
【答案】AD
【解析】解法一：
以重物为研究对象，受重力mg、0M绳上拉力F2、MN上拉力Fi,由题意知，三个力
的合力始终为零，矢量三角形如图所示，Fi、F2的夹角为n—a不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形
在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力Fi逐渐增大，0M上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确,
B、C错误.
解法二：
将重物向右上方缓慢拉起，重物处于动态平衡状态，可利用平衡条件或力的分解画出动态图分析.
siN；，由题意可知Fmn的反方向与Fom的夹角Y=180°—a不变，因sin为Fmn与G的夹角）先增大后减
小，故0M上的张力先增大后减小，当B=90°寸，OM上的张力最大，因sin；；为Fom与G的夹角）逐渐增
大，故MN上的张力逐渐增大，选项A、D正确，B、C错误.
向转过90o角，则在此过程中（
两绳拉力的合力不变，运用三角定则作出力的合成图，由正弦定理得出两绳的拉力与
即可分析两力的变化情况
热点题型七衣钩、滑环模型
【例题7】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂
钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。
如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（）
A.绳的右端上移到b'，绳子拉力不变B•将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小D•若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
【答案】AB
【解析】选A、B。
设两杆间距离为d，绳长为l，Oa、Ob段长度分别为la和lb，则丨lalb，两部分绳子与竖
直方向夹角分别为a和B受力分析如图所示。
绳子各部分张力相等，Fa=Fb=F，则a=。
满足2FCOSmg,
dlasinlbsin，即sind,Fmg—
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