高三数学第一轮复习单元讲座 第14讲 直线 圆的位置关系教案 新人教版Word文件下载.docx

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3．直线与圆的位置关系有三种

（1）若，；

（2）；

（3）。

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组

求解，通过解的个数来判断：

（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；

（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；

（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；

即：

将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：

相切d=rΔ＝0；

相交d<

rΔ>

0；

相离d>

rΔ<

0。

4．两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。

；

外离外切

相交内切内含

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。

四．典例解析

题型1：

直线间的位置关系

例1．

（1）（xx北京11）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab0）共线，则,的值等于。

（2）（xx上海文11）已知两条直线

若，则____。

解析：

（1）答案：

（2）2。

点评：

（1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证；

（2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。

例2．

（1）（xx福建文，1）已知两条直线和互相垂直，则等于（）

A．2　　　　B．1　　　　C．0　　　　D．

（2）（xx安徽理，7）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）

A．B．C．D．

（1）答案为D；

（2）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在（1，1）处导数为4，此点的切线为，故选A。

直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。

题型2：

距离问题

例3．（xx京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）

A．x－y=0B．x+y=0

C．|x|－y=0D．|x|－|y|=0

设到坐标轴距离相等的点为（x，y）

∴|x|＝|y|∴|x|－|y|＝0。

答案：

D

本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径

例4．（xx全国文，21）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程。

设点P的坐标为（x，y），由题设有，

即

整理得x2+y2－6x+1=0①

因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，

所以∠PMN＝30°

，直线PM的斜率为±

，

直线PM的方程为y=±

（x＋1）②

将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0。

解得x＝2＋，x＝2－。

代入②式得点P的坐标为（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；

（2＋，－1－）或（2－，1－）。

直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1。

该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。

该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。

题型3：

直线与圆的位置关系

例5．

（1）（xx安徽文，7）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（）

A．　B．　C．D．

（2）（xx江苏理，2）圆的切线方程中有一个是（）

A．x－y＝0　　　B．x＋y＝0　　　C．x＝0　　　D．y＝0

（1）解析：

由圆的圆心到直线大于，且，选A。

该题考察了直线与圆位置关系的判定。

（2）直线ax+by=0

，则，由排除法，

选C，本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。

本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径。

直线与圆相切可以有两种方式转化

（1）几何条件：

圆心到直线的距离等于半径

（2）代数条件：

直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。

例6．（xx江西理，16）已知圆M：

（x＋cosθ）2＋（y－sinθ）2＝1，直线l：

y＝kx，下面四个命题：

（A）对任意实数k与θ，直线l和圆M相切；

（B）对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；

（C）对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；

（D）对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与和圆M相切。

其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）

圆心坐标为（－cosθ，sinθ）

d＝

故选（B）（D）

该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。

题型4：

直线与圆综合问题

例7．（xx全国，9）直线x+y－2=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为（）

A．B．C．D．

如图所示：

由

消y得：

x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。

∴A（2，0），B（1，）

∴|AB|==2

又|OB|＝|OA|=2，

∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=，故选C。

本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性。

如果注意到直线AB的倾斜角为120°

，则等腰△OAB的底角为60°

.因此∠AOB=60°

.更加体现出平面几何的意义。

例8．（xx全国2，16）过点（1，

）的直线l将圆（x－2）2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝。

过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率

解析（数形结合）由图形可知点A在圆的内部,圆心为O（2,0）要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线，所以

本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系，难度中等。

题型5：

对称问题

例9．（89年高考题）一束光线l自A（－3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到⊙C：

x2＋y2－4x－4y＋7＝0上。

（Ⅰ）求反射线通过圆心C时，光线l的方程；

（Ⅱ）求在x轴上，反射点M的范围．

解法一：

已知圆的标准方程是

（x－2）2+（y－2）2=1，它关于x轴的对称圆的方程是（x－2）2+（y+2）2=1。

设光线L所在的直线的方程是y－3=k（x+3）（其中斜率k待定），由题设知对称圆的圆心C′（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d==1。

整理得12k2+25k+12=0，解得k=－或k=－。

故所求直线方程是y－3=－（x+3），或y－3=－（x+3），即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。

解法二：

已知圆的标准方程是（x－2）2+（y－2）2=1，设交线L所在的直线的方程是

y-3=k（x+3）（其中斜率k待定），由题意知k≠0，于是L的反射点的坐标是（－，0），因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L′所在直线的方程为y=－k（x+），即y+kx+3（1+k）=0。

这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d==1。

以下同解法一。

圆复合直线的对称问题，解题思路兼顾到直线对称性问题，重点关注对称圆的几何要素，特别是圆心坐标和圆的半径。

例10．已知函数f（x）=x2－1（x≥1）的图像为C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。

（1）求曲线C2的方程y=g（x）；

（2）设函数y=g（x）的定义域为M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求证|g（x1）－g（x2）|<

|x1－x2|;

（3）设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交。

（1）曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g（x）为f（x）的反函数。

∵y=x2－1，x2=y+1，又x≥1，∴x=，则曲线C2的方程为g（x）=（x≥0）。

（2）设x1，x2∈M，且x1≠x2，则x1－x2≠0。

又x1≥0，x2≥0，

∴|g（x1）－g（x2）|=|－|=≤<

|x1－x2|。

（3）设A（x1，y1）、B（x2，y2）为曲线C2上任意不同两点，x1，x2∈M，且x1≠x2，

由

（2）知，|kAB|=||=<

1

∴直线AB的斜率|kAB|≠1，又直线y=x的斜率为1，∴直线AB与直线y=x必相交。

曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系。

题型6：

轨迹问题

例11．（xx山东理，22）已知动圆过定点，且与直线相切，其中。

（I）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标。

（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：

即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；

（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知

①

（1）当时，即时，所以，所以由①知：

所以。

因此直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点。

（2）当时，由，

得==，

将①式代入上式整理化简可得：

，所以，

此时，直线的方程可表示为即

，所以直线恒过定点。

所以由

（1）

（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点。

该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。

例12．（xx江苏，19）如图，圆与圆的半径都是1，.过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得.试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程。

以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，。

由已知，得。

因为两圆半径均为1，所以。

设，则

即（或）。

本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。

题型7：

课标创新题

例13．已知实数x、y满足，求的最大值与最小值。

表示过点A（0，－1）和圆上的动点（x，y）的直线的斜率。

如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值。

设切线方程为，即，则，解得。

因此，

直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。

下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。

例14．设双曲线的两支分别为，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。

若在上，Q、R在上，求顶点Q、R的坐标。

分析：

正三角形PQR中，有，则以为圆心，为半径的圆与双曲线交于R、Q两点。

根据两曲线方程可求出交点Q、R坐标。

解析：

设以P为圆心，为半径的圆的方程为：

由得：

（其中，可令进行换元解之）

设Q、R两点的坐标分别为，则。

即

同理可得：

，且因为△PQR是正三角形，则

，得。

代入方程，即。

由方程组，得：

或，

所以，所求Q、R的坐标分别为

圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。

对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。

五．思维总结

1．关于直线对称问题：

（1）关于l：

Ax＋By＋C＝0对称问题：

不论点，直线与曲线关于l对称问题总可以转化为点关于l对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求P（x0，y0）关于l：

Ax＋By＋C＝0对称点Q（x1，y1）．有＝－

（1）与A·

＋B·

＋C＝0。

（2）解出x1与y1；

若求C1：

曲线f（x，y）＝0（包括直线）关于l：

Ax＋By＋C1＝0对称的曲线C2，由上面的

（1）、

（2）中求出x0＝g1（x1，y1）与y0＝g2（x1，y1），然后代入C1：

f[g1（x1，y1），g2（x2，y2）]＝0，就得到关于l对称的曲线C2方程：

f[g1（x，y），g2（x，y）]＝0。

（3）若l：

Ax＋By＋C＝0中的x，y项系数|A|＝1，|B|＝1．就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。

如曲线C1：

y2＝4x－2关于l：

x－y－4＝0对称的曲线l2的方程为：

（x－4）2＝4（y＋4）－2．即y用x－4代，x用y＋4代，这样就比较简单了。

（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。

点与圆位置关系：

P（x0，y0）和圆C：

（x－a）2＋（y－b）2＝r2。

①点P在圆C外有（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2；

②点P在圆上：

（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2；

③点P在圆内：

（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2。

3．直线与圆的位置关系：

l：

f1（x，y）＝0．圆C：

f2（x，y）＝0消y得F（x2）＝0。

（1）直线与圆相交：

F（x，y）＝0中＞0；

或圆心到直线距离d＜r。

直线与圆相交的相关问题：

①弦长|AB|＝·

|x1－x2|＝·

，或|AB|＝2；

②弦中点坐标（，）；

③弦中点轨迹方程。

（2）直线与圆相切：

F（x）＝0中＝0，或d＝r．其相关问题是切线方程．如P（x0，y0）是圆x2＋y2＝r2上的点，过P的切线方程为x0x＋y0y＝r2，其二是圆外点P（x0，y0）向圆到两条切线的切线长为

或；

其三是P（x0，y0）为圆x2＋y2＝r2外一点引两条切线，有两个切点A，B，过A，B的直线方程为x0x＋y0y＝r2。

（3）直线与圆相离：

F（x）＝0中＜0；

或d＜r；

主要是圆上的点到直线距离d的最大值与最小值，设Q为圆C：

（x－a）2＋（y－b）2＝r2上任一点，|PQ|max＝|PC|＋r；

|PQ|min＝|PQ|－r，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值．

4．圆与圆的位置关系：

依平面几何的圆心距|O1O2|与两半径r1，r2的和差关系判定．

（1）设⊙O1圆心O1，半径r1，⊙O2圆心O2，半径r2则：

①当r1＋r2＝|O1O2|时⊙O1与⊙O2外切；

②当|r1－r2|＝|O1O2|时，两圆相切；

③当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2时两圆相交；

④当|r1－r2|＞|O1O2|时两圆内含；

⑤当r1＋r2＜|O1O2|时两圆外离。

（2）设⊙O1：

x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙O2：

x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0。

①两圆相交A、B两点，其公共弦所在直线方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0；

②经过两圆的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括⊙O2方程）。

2019-2020年高三数学第一轮复习单元讲座第15讲算法的含义程序框图教案新人教版

1．通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义；

2．通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。

在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：

顺序、条件分支、循环。

算法是高中数学课程中的新内容，本章的重点是算法的概念和算法的三种逻辑结构。

预测xx年高考对本章的考察是：

以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法的概念。

1．算法的概念

（1）算法的定义：

广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等。

在数学中，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。

（2）算法的特征：

①确定性：

算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”。

“不重”是指不是可有可无的、甚至无用的步骤，“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务。

②逻辑性：

算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣。

分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续。

③有穷性：

算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行。

（3）算法的描述：

自然语言、程序框图、程序语言。

2．程序框图

（1）程序框图的概念：

程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；

（2）构成程序框的图形符号及其作用

程序框

名称

功能

起止框

表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的。

输入、输出框

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。

处理框

赋值、计算。

算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内。

判断框

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；

不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”。

流程线

算法进行的前进方向以及先后顺序

循环框

用来表达算法中重复操作以及运算

连结点

连接另一页或另一部分的框图

注释框

帮助编者或阅读者理解框图

（3）程序框图的构成

一个程序框图包括以下几部分：

实现不同算法功能的相对应的程序框；

带箭头的流程线；

程序框内必要的说明文字。

3．几种重要的结构

（1）顺序结构

顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。

它是由若干个依次执行的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

见示意图和实例：

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。

如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。

（2）条件结构

如下面图示中虚线框内是一个条件结构，此结构中含有一个判断框，算法执行到此判断给定的条件P是否成立，选择不同的执行框（A框、B框）。

无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B框，也不可能A框、B框都不执行。

A框或B框中可以有一个是空的，即不执行任何操作。

见示意图

（3）循环结构

在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构。

即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理过程。

重复执行的处理步骤称为循环体。

循环结构有两种形式：

当型循环结构和直到型循环结构。

①当型循环结构，如左下图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，返回来再判断条件P是否成立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次返回来判断条件P不成立时为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

继续执行下面的框图。

②直到型循环结构，如右下图所示，它的功能是先执行重复执行的A框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则返回来继续执行A框，再判断条件P是否成立。

以次重复操作，直到某一次给定的判断条件P时成立为止，此时不再返回来执行A框，离开循环结构。

算法概念

例1．下列说法正确的是（）

A．算法就是某个问题的解题过程；

B．算法执行后可以产生不同的结果；

C．解决某一个具体问题算法不同结果不同；

D．算法执行步骤的次数不可以为很大，否则无法实施。

答案为选项B；

选项B，例如：

判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；

选项A，算法不能等同于解法；

选项C，解决某一个具体问题算法不同结果应该相同，否则算法构造的有问题；

选项D，算法可以为很多次，但不可以无限次。

算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算。

只要按部就班去做，总能算出结果。

通常把算法过程称为“数学机械化”。

数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成；

实际上处理任何问题都需要算法。

如：

中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；

而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；

再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……。

例2．下列语句中是算法的个数为（）

①从济南到巴黎：

先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；

②统筹法中“烧水泡茶”的故事；

③测量某棵树的高度，判断其是否是大树；

④已知三角形的一部分边长和角，借助正余弦定理求得剩余的边角，再利用三角形的面积公式求出该三角形的面积。

A．1B．2C．3D．4

正确选项为C，③中我们对“树的大小”没有明确的标准，无法完成任务，不是有效的算法构造。

①中，勾画了从济南到巴黎的行程安排，完成了任务；

②中，节约时间，烧水泡茶完成了任务；

④中，纯数学问题，借助正、余弦定理解三角形，进而求出三角形的面积。

算法过程要做到能一步一步的执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，且在有限步后的必须得到问题的结果。

经典算法

例3．一个人带着三只狼和三只羚羊过河