人教版八年级上册 第13章轴对称 单元测试Word格式.docx

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A．直角三角形B．等腰三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

7．（5分）如图，△ABC中，∠BAC=60°

，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°

．下列结论：

①∠BEC=120°

；

②DB=DE；

③∠BDE=2∠BCE．其中正确结论的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

二．填空题（共7小题，满分35分，每小题5分）

8．（5分）一个三角形可被剖成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36度，求原三角形最大内角的所有可能值．

9．（5分）在Rt△ABC中，若∠C=90°

，AB=

，∠A=30°

，则BC=　　．

10．（5分）如图所示，一排数字是球衣数字在镜中的像，则原数是　　．

11．（5分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是　　．

12．（5分）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为　　．

13．（5分）如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，DE垂直平分AB，垂足为E，D在BC上，已知∠CAD=32°

，则∠B=　　度．

14．（5分）图中的正五角星有　　条对称轴，图中与∠A的2倍互补的角有　　个．

三．解答题（共7小题，满分50分）

15．（6分）用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）

如图，点A，B在直线l的同侧．

（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．

（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．

16．（6分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2．

（1）求A1、A2的坐标；

（2）证明：

O为线段A1A2的中点．

17．（7分）已知：

如图，BD=DE=EF=FG．

（1）若∠ABC=20°

，∠ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线（如DE、EF、FG）共有几条？

若∠ABC=10°

呢？

试一试，并简述理由．

（2）若∠ABC=m°

（0＜m＜90），你能找出一个折线条数n与m之间的关系吗？

若有，请找出来；

若无，请说明理由．

18．（6分）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°

，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．

（1）试判断B′E与DC的位置关系；

（2）如果∠C=130°

，求∠AEB的度数．

19．（7分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，且BD=CE，BD与CE相交于点O，连接AO．求证：

AO垂直平分BC．

20．（8分）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°

．

（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE=CA；

（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．

21．（10分）已知：

△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：

BE+CF=EF．

参考答案与试题解析

【分析】根据轴对称图形的概念：

关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．求解

【解答】解：

（1）

（2）（4）都不是轴对称图形，只有（3）是轴对称图形．

故选：

B．

【点评】轴对称图形的判断方法：

如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．

【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变；

即点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得到点（1，1）关于y轴对称的点的坐标．

点（1，1）关于y轴的对称点的坐标是（﹣1，1），

C．

【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：

（1）关于x轴对称点的坐标特点：

横坐标不变，纵坐标互为相反数．

（2）关于y轴对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变．

【分析】根据等腰三角形的性质就可以求出∠ABC和∠C的度数，由角平分线的性质就可以求出∠ABD的度数．

∵AB=AC，∠A=100°

，

∴∠ABC=∠C=40°

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=20°

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，此题比较简单．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到GA=GB，根据三角形的周长公式计算即可．

∵DG是AB的垂直平分线，

∴GA=GB，

∵△AGC的周长为31cm，

∴AG+GC+AC=BC+AC=31cm，又AB=20cm，

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=51cm，

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．

与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，

【点评】本题主要考查轴对称的性质；

找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．

【分析】根据中线的性质得出S△ABD=S△ACD，再由点D到AB，AC的距离相等，得出AB=AC，从而得出△ABC一定是等腰三角形．

∵AD是中线，

∴S△ABD=S△ACD，

∵D到AB，AC的距离相等，

∴AB=AC，

∴△ABC一定是等腰三角形，

【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．

【分析】根据三角形内角和等于180°

求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°

，判断①正确；

过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG，再求出∠BDF=∠CDG，然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD，再根据等边对等角求出∠DBC=30°

，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB，根据等角对等边可得BD=DE，判断②正确，再求出B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE，判断③正确．

∵∠BAC=60°

∴∠ABC+∠ACB=180°

﹣60°

=120°

∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，

∴∠EBC=

∠ABC，∠ECB=

∠ACB，

∴∠EBC+∠ECB=

（∠ABC+∠ACB）=

×

120°

=60°

∴∠BEC=180°

﹣（∠EBC+∠ECB）=180°

，故①正确；

如图，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，

∴AD为∠BAC的平分线，

∴DF=DG，

∴∠FDG=360°

﹣90°

2﹣60°

又∵∠BDC=120°

∴∠BDF+∠CDF=120°

，∠CDG+∠CDF=120°

∴∠BDF=∠CDG，

∵在△BDF和△CDG中，

∴△BDF≌△CDG（ASA），

∴DB=CD，

∴∠DBC=

（180°

﹣120°

）=30°

∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°

+∠CBE，

∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=

∠BAC=30°

根据三角形的外角性质，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°

∴∠DBE=∠DEB，

∴DB=DE，故②正确；

∵DB=DE=DC，

∴B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，

∴∠BDE=2∠BCE，故③正确；

综上所述，正确的结论有①②③共3个．

D．

【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．

【分析】分为以下情况：

①原三角形是锐角三角形，最大角是72°

的情况；

②原三角形是直角三角形，最大角是90°

③原三角形是钝角三角形，最大角是108°

④原三角形是钝角三角形，最大角是126°

⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°

的情况．

的情况如图所示：

∠ABC=∠ACB=72°

，∠A=36°

，AD=BD=BC；

∠ABC=90°

，AD=CD=BD；

∠ABC=126°

，∠C=36°

∠C=132°

，∠ABC=36°

，AD=BD，CD=CB．

综上，原三角形最大内角的所有可能值为72°

，90°

，108°

，132°

，126°

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；

分情况讨论是解决本题的关键，本题有一定的难度．

，则BC=　5

　．

【分析】根据含30度角的直角三角形的性质推出BC=

AB，代入求出即可．

∵∠C=90°

，AB=10

∴BC=

AB=

10

=5

故答案为：

5

【点评】本题主要考查对含30度角的直角三角形的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．

10．（5分）如图所示，一排数字是球衣数字在镜中的像，则原数是　251　．

【分析】易得所求的号码与看到的号码关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．

由题意得：

251|125．

251．

【点评】考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；

难点是作出相应的对称图形；

注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2．

11．（5分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是　m＜

【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出M点位置，进而得出答案．

∵点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，

∴点M在第四象限，

∴

解得：

m＜

【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质以及不等式组的解法，正确解不等式是解题关键．

12．（5分）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为　12　．

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

分情况讨论：

①当三边是2，2，5时，2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应舍去；

②当三角形的三边是2，5，5时，符合三角形的三边关系，此时周长是12．

故填12．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；

已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

，则∠B=　29　度．

【分析】利用中垂线和三角形外角性质计算．

∠C=90°

，∠CAD=32°

⇒∠ADC=58°

DE为AB的中垂线⇒∠BAD=∠B

又∠BAD+∠B=58°

⇒∠B=29°

故填29°

【点评】本题涉及中垂线和三角形外角性质，难度中等．

14．（5分）图中的正五角星有　5　条对称轴，图中与∠A的2倍互补的角有　10　个．

【分析】正五角星经过角的顶点和中心点的直线都是它的对称轴，有5条对称轴，且五角星的五个角相等，从而求得答案．

正五角星经过角的顶点和中心点的直线都是它的对称轴，所以有5条对称轴．

与∠A的2倍即是∠AIE，与该角互为补角的角有∠AIC和∠DIE共两个，

同理可得出其他八个符合条件的角．

5，10．

【点评】本题考查了轴对称的性质，轴对称图形的判断方法：

把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形，这条直线是它的对称轴．

【分析】

（1）作点A关于直线l的对称点，再连接解答即可；

（2）连接BA，延长BA交直线l于N，当N即为所求；

（1）如图所示：

（2）如图所示；

理由：

∵NB﹣NA≤AB，

∴当A、B、N共线时，BN﹣NA的值最大．

【点评】此题主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题中的作图步骤，是此类问题的基础，需熟练掌握．

（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求出x、y的值，从而得到点A的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”写出点A1的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”写出点A2的坐标；

（2）设经过OA1的直线解析式为y=kx，利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式，再求出点A2在直线上，然后利用勾股定理列式求出OA1=OA2，最后根据线段中点的定义证明即可．

【解答】

（1）解：

∵点A（2x+y﹣3，x﹣2y）与A1（x+3，y﹣4）关于x轴对称，

解得

所以，A（8，3），

所以，A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）；

设经过O、A1的直线解析式为y=kx，

易得：

yOA1=﹣

x，

又∵A2（﹣8，3），

∴A2在直线OA1上，

∴A1、O、A2在同一直线上，

由勾股定理知OA1=OA2=

=

∴O为线段A1A2的中点．

【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

（1）由已知可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠EDF，∠FEG，∠AFG，∠AMG分别与∠B的关系，再根据三角形内角和定理即可求解．

（2）结合第

（1）题，根据三角形内角和定理可知，需满足mn＜90°

，从而不难求解．

（1）有4条，若∠ABC=10°

，有8条．

当∠ABC=20°

∵BD=DE=EF=FG=GM，

∴∠DEB=∠B，∠EDF=∠EFD，∠FEG=∠FGE，∠GFM=∠FMG

∵∠EDF=2∠B=40°

，∠FEG=3∠B=60°

，∠AFG=4∠B=80°

，∠AMG=5∠B=100°

∴同理：

∠AMG将成为下一个等腰三角形的底角

∵100°

+100°

＞180°

∴不会再由下一条折线

∴共有四条拆线，分别是：

DE、EF、FG，GM．

同理：

当∠ABC=10°

，有8条符合条件的折线．

（2）由

（1）可知∠EDF=2∠B=2m°

，∠FEG=3∠B=3m°

，∠AFG=4∠B=4m°

∵根据三角形内角和定理可知，需满足mn＜90°

∴n＜

的整数．

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角和性质及三角形内角和定理的综合运用．

（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，所以∠AB′E=∠B=∠D=90°

，∴B′E∥DC；

（2）利用平行线的性质和全等三角形求解．

（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，

∠AB′E=∠B=∠D=90°

∴B′E∥DC；

（2）∵折叠，

∴△ABE≌△AB′E，

∴∠AEB′=∠AEB，即∠AEB=

∠BEB′，

∵B′E∥DC，∴∠BEB′=∠C=130°

∴∠AEB=

∠BEB′=65°

【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；

把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，则△ABE≌△AB′E，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．

【分析】欲证明AO垂直平分BC，只要证明AB=AC，BO=CO即可；

【解答】证明：

∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC=∠BDC=90°

在Rt△BEC和Rt△CDB中

∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），

∴∠ABC=∠ACB，∠ECB=∠DBC，

∴AB=AC，BO=OC，

∴点A、O在BC的垂直平分线上，

∴AO垂直平分BC．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

（1）实际上也就是求两条线段相等，在AC上取一点F，使CF=CD，然后求证△ADF≌△EDC即可．

（2）归根究底仍是求两条线段的问题，通过求证全等，最终得出几条边之间的关系．

（1）证明：

在AC上取点F，使CF=CD，连接DF．

∵∠ACB=60°

∴△DCF为等边三角形．

∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°

∴∠3=∠5．

∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE，

∴∠1=∠2．

在△ADF和△EDC中，

∴△ADF≌△EDC（AAS）．

∴CE=AF．

∴CD+CE=CF+AF=CA．

（2）解：

CD、CE、CA满足CE+CA=CD；

证明：

在CA延长线上取CF=CD，连接DF．

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ACD=60°

∵CF=CD，

∴△FCD为等边三角形．

∵∠1+∠2=60°

∵∠ADE=∠2+∠3=60°

∴∠1=∠3．

在△DFA和△DCE中

∴△DFA≌△DCE（ASA）．

∴AF=CE．

∴CE+CA=FA+CA=CF=CD．

注：

证法

（二）以CD为边向下作等边三角形，可证．

证法（三）过点D