量子力学导论考研名校量子力学考研真题解析Word下载.docx

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（2）对于两个全同粒子，自旋1/2为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。

能级非简并。

能级简并度为4。

【知识储备】

①一维无限深方势阱

若势能满足

在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是

在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是

体系的能量本征值

本征函数

②全同粒子

a．全同粒子定义

在量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋等）相同的微观粒子称为全同粒子。

b．全同性原理

全同性原理：

由于全同粒子的不可区分性，使得由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

描述全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称的，而且这种对称性不随时间改变。

c．两个电子的自旋函数

若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χS和反对称自旋波函数χA，分别写为

【拓展发散】

两个自旋为1的全同粒子，即玻色子，求解相应的波函数和能量，以及简并度。

30假设自由空间中有两个质量为m、自旋为

/2的粒子，它们按如下自旋相关势

相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g＞0为常量，而

（i＝l，2）为分别作用于第i个粒子自旋的Pauli矩阵。

（1）请写出该两粒子体系的一组可对易力学量完全集；

（2）请给出该体系各束缚定态的能级g；

（3）请写出该体系的基态，并注明相应的量子数。

[中国科学技术大学2012研]

①可以选取和哈密顿量对易的力学量算符，来确定一组可对易力学量完全集；

②直接利用定态薛定谔方程求解本征能量和本征态。

（1）体系的哈密顿量可以写为

令

，则

，

与哈密顿量对易。

对于

，此结果是显然的。

体系的角动量

显然也与哈密顿量及自旋对易。

因此力学量组

即为体系的一组可对易力学量完全集。

（2）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写为

其中

为质心动量。

由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部分和与体系内部结构相关的部分。

略去质心部分，将波函数写成力学量完全集的本征函数

由于

满足

。

可知只有

，才会出现束缚态。

将

写为

可知

将上述方程与氢原子情形时相类比，可知束缚态能级为

（3）对于体系的基态为

相应的量子数

为玻尔半径。

①定态薛定谔方程

②体系的总角动量满足角动量的一般对易关系

→J×

→J＝iħ→J

分量形式

[∧Jx，∧Jy]＝iħ∧Jz；

[∧Jy，∧Jz]＝iħ∧Jx；

[∧Jz，∧Jx]＝iħ∧Jy

或统一写成

[∧Ji，∧Jj]＝iħεijk∧Jk

其中的i，j，k分别表示x，y，z分量，如果i，j，k有两者或两者以上相同则εijk为0，其他情况则为1或－1。

31粒子在势场

中运动（

），试求系统能级和能级方程。

对于不随时间变化的势场，明显可以直接使用定态薛定谔方程求解本征波函数和本征能级，针对本题提供的δ势场，需要充分利用δ函数的性质。

粒子在无限深δ势场中运动，由定态薛定谔方程可得

当x＞a或x＜－a时

当－a＜x＜a时

对两边在积分可得

①

当x≠0时

求解可得

带入①可得

，则B＝0，所以

因为

所以

即

②波函数必须满足的三个基本条件

有限性：

波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；

单值性：

波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；

连续性：

波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。

32一维谐振子系统哈密顿量为

，设受到微扰

的作用，试求对第n个谐振子能级的一级微扰修正。

对于一维谐振子模型，可以利用定态薛定谔方程求解其本征波函数和本征能级，在不随时间变化的微扰的作用下，可以直接代入定态非简并微扰理论求解修正能级，在计算的过程中，可以充分利用谐振子本征波函数的推导关系式和维里定理，这样可以简化计算。

由定态薛定谔方程求解一维谐振子可得

本征波函数为

对于微扰有

根据定态微扰第n级的一级修正为

对于谐振子势场，由维里定理可得

由

可得

①一维线性谐振子

势能满足方程

本征值

振子的基态（n＝0）能量，零点能

常用公式总结：

②维里定理

粒子在r的n次方的势场中运动，则粒子的平均动能和平均势能满足关系式

③非简并定态微扰

微扰作用下的哈密顿量

H＝H0＋H′

第n个能级的近似表示

波函数的近似表示

33两个自旋为

的粒子，两个粒子分别为

，求系统处于单态和三重态的概率。

[中国科学院2008研]

对于两个自旋为

的粒子，它们为费米子，可以通过它们各自的波函数，将其写为三重态和单态的形式，则可以显而易见的求解出分别在三重态和单态的几率。

因为两个粒子分别为

则它们两个粒子系统的状态为

为单态，

、

为三重态。

因此，系统处于单态的概率为

，系统处于单态和三重态的概率为

单态和三重态

其中，

（

）表示第1

（2）个电子处于自旋向上或向下的态。

χA是两电子自旋反平行的态，总自旋为零，此态是单态；

χS是三重简并的，被称为三重态。

34对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为

为参数，用变分法求基态能量和波函数，并与严格解比较。

[复旦大学2001研]

当外界扰动不能判断是否大小时，可以使用变分法，具体操作可以根据变分法程序化的步骤进行计算，最后得出结果，可以通过实验数据来判断变分法选取参数的优劣，在此基础上，可以通过调整参数来得到更加优化的解答。

首先由波函数的归一化条件，得出试探波函数

的归一化形式为

选择

为参量。

能量的平均值为

所以基态波函数为

能量为

由薛定谔方程求解的一维谐振子的基态波函数和能量为

比较两种结果，它们相同。

①变分法求体系基态能量方法总结

分析具体的物理问题和研究对象，在微扰法的适用条件不满足的情况下，可以选择变分法求解，步骤如下：

a．根据具体的物理系统和研究者的经验，选取含有参数λ的尝试波函数ψ（λ）；

b．计算H的平均能量—H（λ），它是变分参量λ的函数；

c．由极值条件

求解λ数值；

d．带入—H（λ），求出—H（λ）的最小值，所求结果即为基态能量的上限。

②一维谐振子本征函数

当在非简谐振子哈密顿量或者任何其它的哈密顿量时，都可以利用同样的变分法的操作方法进行计算，变分法对于扰动的大小和特性没有限制，因此变分法在很多定性问题方面有很广泛的应用。

35两个自旋为1/2的粒子组成的体系由哈密顿量

描述，其中

分别是两个粒子的自旋，

是它们的z分量，A，B为常数，求该哈密顿量的所有能级。

[复旦大学2004研]

对于哈密顿量，选择恰当合适的共同本征态，利用自旋角动量的合成和总自旋角动量与各自分量的关系求解。

【解析】由两个自旋为1/2的粒子

组成的体系，

为总自旋，即

并且对应的z分量有

因此哈密顿量可以改写为

根据自旋角动量的合成规则

则

当

时，

；

因此带入哈密顿量，可得所有能级为

两个角动量合成

①耦合表象

a．力学量组

相互对易，其共同本征矢构成正交归一系；

b．以此本征矢为基矢的表象称为耦合表象；

c．耦合表象的基矢记为

，或简记为

②无耦合表象

也相互对易，相应的表象称为无耦合表象；

b．无耦合表象的基矢为

③

需满足

其中，j＝|j1－j2|，……，j1＋j2；

m＝－j，－j＋1，……，j－1，j。