量子力学导论考研名校量子力学考研真题解析Word下载.docx

1、（2）对于两个全同粒子，自旋1/2为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。能级非简并。能级简并度为4。【知识储备】一维无限深方势阱若势能满足在阱内（|x|a），体系所满足的定态薛定谔方程是在阱外（|x|a），定态薛定谔方程是体系的能量本征值本征函数全同粒子a全同粒子定义在量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋等）相同的微观粒子称为全同粒子。b全同性原理全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。描述全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称的，而且这种对称性不随时间改变。c两个电子的自旋函数若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称

2、自旋波函数S和反对称自旋波函数A，分别写为【拓展发散】两个自旋为1的全同粒子，即玻色子，求解相应的波函数和能量，以及简并度。30假设自由空间中有两个质量为m、自旋为/2的粒子，它们按如下自旋相关势相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g0为常量，而（il，2）为分别作用于第i个粒子自旋的Pauli矩阵。（1）请写出该两粒子体系的一组可对易力学量完全集；（2）请给出该体系各束缚定态的能级g；（3）请写出该体系的基态，并注明相应的量子数。中国科学技术大学2012研可以选取和哈密顿量对易的力学量算符，来确定一组可对易力学量完全集；直接利用定态薛定谔方程求解本征能量和本征态。（1）体系的哈密顿量可以写为

3、令，则，与哈密顿量对易。对于，此结果是显然的。体系的角动量显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组即为体系的一组可对易力学量完全集。（2）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写为其中为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量完全集的本征函数由于满足。可知只有，才会出现束缚态。将写为可知将上述方程与氢原子情形时相类比，可知束缚态能级为（3）对于体系的基态为相应的量子数为玻尔半径。定态薛定谔方程体系的总角动量满足角动量的一般对易关系JJiJ分量形

4、式Jx，JyiJz；Jy，JziJx；Jz，JxiJy或统一写成Ji，JjiijkJk其中的i，j，k分别表示x，y，z分量，如果i，j，k有两者或两者以上相同则ijk为0，其他情况则为1或1。31粒子在势场中运动（），试求系统能级和能级方程。对于不随时间变化的势场，明显可以直接使用定态薛定谔方程求解本征波函数和本征能级，针对本题提供的势场，需要充分利用函数的性质。粒子在无限深势场中运动，由定态薛定谔方程可得当xa或xa时当axa时对两边在积分可得当x0时求解可得带入可得，则B0，所以因为所以即波函数必须满足的三个基本条件有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；单值性：波函数一定是

5、单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。32一维谐振子系统哈密顿量为，设受到微扰的作用，试求对第n个谐振子能级的一级微扰修正。对于一维谐振子模型，可以利用定态薛定谔方程求解其本征波函数和本征能级，在不随时间变化的微扰的作用下，可以直接代入定态非简并微扰理论求解修正能级，在计算的过程中，可以充分利用谐振子本征波函数的推导关系式和维里定理，这样可以简化计算。由定态薛定谔方程求解一维谐振子可得本征波函数为对于微扰有根据定态微扰第n级的一级修正为对于谐振子势场，由维里定理可得由可得一维线性谐振子势能满足方程本征值振子的基态（n0）能量，零点能

6、常用公式总结：维里定理粒子在r的n次方的势场中运动，则粒子的平均动能和平均势能满足关系式非简并定态微扰微扰作用下的哈密顿量HH0H第n个能级的近似表示波函数的近似表示33两个自旋为的粒子，两个粒子分别为，求系统处于单态和三重态的概率。中国科学院2008研对于两个自旋为的粒子，它们为费米子，可以通过它们各自的波函数，将其写为三重态和单态的形式，则可以显而易见的求解出分别在三重态和单态的几率。因为两个粒子分别为则它们两个粒子系统的状态为为单态，、为三重态。因此，系统处于单态的概率为，系统处于单态和三重态的概率为单态和三重态其中，（）表示第1（2）个电子处于自旋向上或向下的态。A是两电子自旋反平行的

7、态，总自旋为零，此态是单态；S是三重简并的，被称为三重态。34对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为为参数，用变分法求基态能量和波函数，并与严格解比较。复旦大学2001研当外界扰动不能判断是否大小时，可以使用变分法，具体操作可以根据变分法程序化的步骤进行计算，最后得出结果，可以通过实验数据来判断变分法选取参数的优劣，在此基础上，可以通过调整参数来得到更加优化的解答。首先由波函数的归一化条件，得出试探波函数的归一化形式为选择为参量。能量的平均值为所以基态波函数为能量为由薛定谔方程求解的一维谐振子的基态波函数和能量为比较两种结果，它们相同。变分法求体系基态能量方法总结分析具体的物理问题和研究对象，

8、在微扰法的适用条件不满足的情况下，可以选择变分法求解，步骤如下：a根据具体的物理系统和研究者的经验，选取含有参数的尝试波函数（）；b计算H的平均能量H（），它是变分参量的函数；c由极值条件求解数值；d带入H（），求出H（）的最小值，所求结果即为基态能量的上限。一维谐振子本征函数当在非简谐振子哈密顿量或者任何其它的哈密顿量时，都可以利用同样的变分法的操作方法进行计算，变分法对于扰动的大小和特性没有限制，因此变分法在很多定性问题方面有很广泛的应用。35两个自旋为1/2的粒子组成的体系由哈密顿量描述，其中分别是两个粒子的自旋，是它们的z分量，A，B为常数，求该哈密顿量的所有能级。复旦大学2004研对于哈密顿量，选择恰当合适的共同本征态，利用自旋角动量的合成和总自旋角动量与各自分量的关系求解。【解析】由两个自旋为1/2的粒子组成的体系，为总自旋，即并且对应的z分量有因此哈密顿量可以改写为根据自旋角动量的合成规则则当时，；因此带入哈密顿量，可得所有能级为两个角动量合成耦合表象a力学量组相互对易，其共同本征矢构成正交归一系；b以此本征矢为基矢的表象称为耦合表象；c耦合表象的基矢记为，或简记为无耦合表象也相互对易，相应的表象称为无耦合表象；b无耦合表象的基矢为需满足其中，j|j1j2|，j1j2；mj，j1，j1，j。