反比例函数的图像与性质1doc.docx

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17.1.2反比例函数的图像与性质

第一课时

教学目标:

知识目标：

1．进一步熟悉画函数图象的主要步骤，会画反比例函数的图象。

2．体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。

3．结合图像分析并理解反比例函数的性质。

能力目标：

1．通过观察反比例函数图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力。

2．体会数形结合的思想和分类讨论的思想。

情感目标：

培养学生交流合作的能力，通过学生在学习过程中获得成功的体验，增强学生学习数学的自信心。

教学重点：

反比例函数图象和性质。

教学难点：

由反比例函数图像探究出反比例函数的性质。

教学方法：

采用启发讲授，小组讨论，合作探究相结合的教学方式。

一、创设情境，引入新知

我们已经学习了正比例函数的哪些内容？

是如何研究的？

1．一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是什么？

其性质有哪些？

正比例函数y＝kx（k≠0）呢？

2．画函数图象的方法是什么?

其一般步骤有哪些？

应注意什么？

3．反比例函数的图象是什么样呢?

学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，并将答案填写在黑板的表格中，强调是从形状、位置、变化趋势三个方面去研究。

二、观察探究，形成新知

1．反比例函数的图象是什么样的？

让学生根据解析式说出。

2．你能画出反比例函数的图象吗？

学生列表、描点、作图；展示学生作品；教师板书示范，并通过课件演示反比例函数图象的生成过程，给出双曲线的名称，学生画反比例函数的图像。

注意强调：

（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴

3、教师展示学生所画图象

（1）首先展示学生所画正确的函数图象

（2）展示部分学生作图错误图象

【师生互动】教师展示，学生观察图象，思考，反思怎样才能画得更好。

4．教师引导学生观察，类比正比例函数，归纳说出反比例函数图象的形状、位置、变化趋势及其函数的增减性。

（1）你能发现它们的共同特征以及不同点吗？

（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？

（3）在每个象限内,y随x的变化如何变化？

5．反比例函数与的图象有什么共同特征?

小组合作讨论函数图象的特征，在教师的引导下，学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．

反比例函数（k≠0）的图象是由两个分支组成的曲线。

当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小。

当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大。

反比例函数（k≠0）的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。

三、应用举例，理解所学

例1、已知下列反比例函数：

图象两支分别在第一、三象限内的函数是___________；在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大的函数有___________。

例2（补充）已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？

分析：

此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即（k≠0）自变量x的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：

当图象位于第二、四象限时，k＜0，则m－1＜0，不要忽视这个条件

略解：

∵是反比例函数∴m2－3＝－1，且m－1≠0

又∵图象在第二、四象限∴m－1＜0

解得且m＜1则

四、巩固提高，应用新知

教师布置练习，巡视、检查

1、见课本练习。

2、已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母k的取值范围

（1）函数图象位于第一、三象限

（2）在第二象限内，y随x的增大而增大

四、课堂小结，布置作业

1．同学们谈谈这节课的学习收获。

（可以是学习内容、可以是学习方法、可以是情感价值观等方面

2．教师结合板书，进行学习总结

比较正比例函数和反比例函数的性质

正比例函数

反比例函数

解析式

图像

直线

双曲线

位置

k＞0，一、三象限；

k＜0，二、四象限

k＞0，一、三象限

k＜0，二、四象限

增减性

k＞0，y随x的增大而增大

k＜0，y随x的增大而减小

k＞0，在每个象限y随x的增大而减小

k＜0，在每个象限y随x的增大而增大

五.布置作业：

1、习题17.1第3、8题。

2、选做题

1．若函数与的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是

2．反比例函数，当x＝－2时，y＝；当x＜－2时；y的取值范围是；

当x＞－2时；y的取值范围是

3．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，

求函数关系式

课后反思

第二课时

教学目标

知识与技能：

1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质

2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法

过程与方法：

经历观察、分析，交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力。

情感态度与价值观：

提高学生的观察、分析的能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领悟研究函数的一般要求。

教学重点：

理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综

合问题

教学难点：

学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质。

教学方法：

尝试练习教学法

教学过程

一、课堂引入

复习上节课所学的内容

1．什么是反比例函数？

2．反比例函数的图象是什么？

有什么性质？

二、例习题分析

例1．见教材P44

分析：

反比例函数的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号，因此要先求常数k，而题中已知图象经过点A（2，6），即表明把A点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k，这样解析式也就确定了。

例2．见教材P45

例3．（补充）若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数（k＜0）图象上，则a、b、c的大小关系怎样？

分析：

由k＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，因为A、B在第二象限，且－1＞－2，故b＞a＞0；又C在第四象限，则c＜0，所以

b＞a＞0＞c

说明：

由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时y随x的增大而增大，就会误认为3最大，则c最大，出现错误。

此题还可以画草图，比较a、b、c的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。

例4．（补充）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A（－2，1）、B（1，n）两点

（1）求反比例函数和一次函数的解析式

（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围

分析：

因为A点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式，又B点在反比例函数的图象上，代入即可求出n的值，最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式y＝－x－1，第

（2）问根据图象可得x的取值范围x＜－2或0＜x＜1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。

三、随堂练习

1.见课本P451、2题

2．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数的图象在（）

（A）第一、三象限（B）第二、四象限

（C）第三、四象限（D）第一、二象限

四、反思小结，提炼知识

反比例函数的性质运用的注意点：

1、K的符号决定图像所在的象限，反之图像所在的象限决定K的符号。

2、在每一象限内，Y随X的变化情况。

3、要注意发挥图像的作用。

四、布置作业

1、习题17.1第7、9题。

2．已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，

求

（1）一次函数的解析式；

（2）△AOB的面积

3、已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=

（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？

（2）如果其中一个交点为（－1，9），求另一个交点坐标。

课后反思：

第三课时反比例函数复习

教学目标：

1、复习反比例函数的概念、图像和性质以及K的几何意义。

2、用待定系数法求反比例函数的关系式。

教学重点：

1、反比例函数图像和性质及它们的运用。

2、用待定系数法求反比例函数的关系式。

教学难点：

1、反比例函数K的几何意义的理解。

2、反比例函数与一次函数的综合运用。

教学方法：

归纳、讲解、变式演练

教学过程：

一、知识回顾

1.定义：

一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。

还可以写成

2.反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.

⑵比例系数

⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

3.反比例函数的图像

⑴图像的画法：

描点法

1列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

2描点（有小到大的顺序）

3连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。

⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：

过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。

4．反比例函数性质如下表：

的取值

图像所在象限

函数的增减性

一、三象限

在每个象限内，值随的增大而减小

二、四象限

在每个象限内，值随的增大而增大

5.反比例函数解析式的确定：

利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：

成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

7.反比例函数的应用

二、技能训练，提高认识

【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即（）又在第二，四象限内，则可以求出的值

【答案】由反比例函数的定义，得：

解得

时函数为

【例2】如图，在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则的值是_____.

图

解:

因为直线与双曲线过点,设点的坐标为.

则有.所以.

又点在第一象限,所以.

所以.而已知.

所以.

【例3】如果一次函数相交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（）

【解析】

【例4】关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点A（-2，1）.

求：

（1）一次函数和反比例函数的解析式；

（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；（3）△AOB的面积．

三、巩固练习

1.反比例函数的图像位于（）

A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限

2.若与成反比例，与成正比例，则是的（）

A、正比例函数　　B、反比例函数　　C、一次函数　　D、不能确定

3．对与反比例函数，下列说法不正确的是（）

A．点（）在它的图像上B．它的图像在第一、三象限

C．当时，D．当时，

4.已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（　）

A、（2，1）B、（2，-1）C、（2，4）D、（-1