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f（y,z）0，
/22
绕y轴旋转一周：
f（y,・xz）0
绕z轴旋转一周：
f（\Xy,z）0
3、柱面：
的柱面
F（x,y）
F（x,y）0表示母线平行于z轴，准线为
z0
4、二次曲面
1）椭圆锥面：
亍
z2
2）椭球面：
—
2yb2
2x旋转椭球面：
孑
y
z
-2
c
3）
单叶双曲面:
yb2
双叶双曲面:
5）
椭圆抛物面:
~2
6）
双曲抛物面
（马鞍面）
7）
椭圆柱面:
b2
8）
双曲柱面:
9）
抛物柱面:
（四）空间曲线及其方程
F（x,y,z）般方程：
G（x,y,z）
x（t）
acost
2、参数方程：
y（t），如螺旋线：
asint
z（t）
bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
F（x,y,z）0H（x,y）0
，消去z，得到曲线在面xoy上的投影
G（x,y,z）0z0
（5）平面及其方程
点法式方程:
A（xx°
）B（yy。
）C（zz。
）
法向量：
n
（A,B,C），过点（x°
y°
z°
2、
般式方程:
Ax
ByCzD
截距式方程：
3、两平面的夹角:
ni
（A1,B1,C1），n2
（A2,B2,C2），
AiA2
B12
B1B2C1C2
12、Ab2
4、
1〃
AA2
A
A2
B1C1
B2C2
点P°
（X°
）到平面Ax
By
CzD0的距离:
Ax0By。
CzgD
A2B2C2
（六）
空间直线及其方程
1、一般式方程:
A1xB1yC1zD10
A2xB2yC2zD20
2、对称式（点向式）方程:
XX。
yy°
ZZo
mnp
方向向量：
s（m,n,p），过点（Xo,yo,Zo）
xx0mt
3、参数式方程：
yy。
nt
ZZopt
4、两直线的夹角:
Si（g,ni,Pi），S2（m2,n2,P2），
|m1m2门小2p1p2
222222、m1n〔p1、、、m2n2p2
m1m2ngp1p2o
Li〃L2
m2
EP1
n2P2
5、直线与平面的夹角：
直线与它在平面上的投影的夹角,
sin
|AmBnCp|
.'
A2B2C2.m2n2p2
L//AmBnCp0
ABC
L
第九章多元函数微分法及其应用
（一）基本概念
距离，邻域，内点，外点，
边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区
域,
有界集，无界集。
多元函数：
zf（x,y），
图形：
3、
极限：
（、i叩）f（x,y）
（x,y）（xo,yo）
连续：
（、1叩）f（x,y）
（x,y）（xo，y°
f（x°
y°
5、
偏导数：
fx（x°
limf（x°
X,y°
）f（x°
y。
x0
fy（x°
lim
f（x°
y）f（x°
y。
0y
6、方向导数:
lx
ycos其中
l的方向角。
7、梯度：
f（x,y），则gradf（x°
fx（Xo，yo）i
fy（xo,yo）j。
8全微分：
设
zf（x‘y）'
则dzVdx：
dy
（二）性质
1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:
1
2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）
11x
3、微分法
1）定义：
2）复合函数求导：
链式法则
若zf（u,v）,uu（x,y）,vv（x,y），则zzuzvzzuzvxuxvx，yuyvy
3）隐函数求导：
两边求偏导，然后解方程（组）
（三）应用
1、极值
1）无条件极值：
求函数zf（x,y）的极值
fx
解方程组
fy
o求出所有驻点，对于每一个驻点
（x°
），
Afxx（xo,yo）
，Bfxy（Xo,y°
），Cfyy（xo,yo），
①若AC
B2
0，Ao，函数有极小值，
若AC
o，Ao，函数有极大值；
②若AC
o，函数没有极值；
③若AC
o，不定。
2）条件极值：
求函数zf（x,y）在条件（x,y）o下的极值
令:
L（x,y）
f（x,y）（x,y）
Lagrange
Lx
o
Ly
令
函数
（x,y）0
2、几何应用1）曲线的切线与法平面
曲线：
y（t），则上一点
M（Xo,y°
z°
）（对应参数为to）处的
切线方程为:
XXoyyox（to）y（to）
z（to）
法平面方程为：
X（to）（XXo）
y（to）（yy°
）z（t°
）（zz°
）o
2）曲面的切平面与法线
曲面：
F（x,y,z）o,贝S上一点M（x°
yo,zo）处的切平面方程为:
Fx（Xo,yo,zo）（x
Xo）Fy（Xo,y°
zo）（yy。
）Fz（x。
，y°
zo）（zzo）o
法线方程为:
xXo
zZ°
Fx（Xo，y°
，z））
Fy（Xo，yo，z。
Fz（Xo，yo，z。
第十章重积分
（1）二重积分
定义：
f（x,y）d
D
f（k,k）
k1
性质：
（6条）
几何意义：
曲顶柱体的体积。
计算:
直角坐标
（x,y）
i（x）
（x）
f（x,y）dxdy
i（y）
极坐标
i（
dx
2（X）
f（x,y）dy
1（x）
2（y）
d，
d
cdyi（y）
f（x,y）dx
2（）
i（）
f（cos,sin）d
）三重积分
定义:
f（x,y,z）dv
limf（
0ki
k,k,k）Vk
性质:
f（x,y,z）dv
Ddxdy
z2（x,y）
zi（x,y）f（X,y,Z）dZ
柱面坐标
dz
aDz
f（x,y,z）dxdy
“先二后一”
f（x,y,z）dv
f（
cos,sin,z）dddz
球面坐标
rsin
rcos
f（rsincos
rsin
sin,rcos）rsindrdd
曲面S:
zf（x,y）,（x,y）D的面积:
Au1（―了（—y）2dxdy
第十
早曲线积分与曲面积分
（-
'
）对弧长的曲线积分
Lf（x,y）dsii叫
f（i,i）s
i1
L[f（x,y）（x,y）]ds
Lf（x,y）ds
Lg（x,y）ds.
f（x,y）dslf（x,y）ds
LL1
L2f（x,y）ds.（L
JL2）.
3）在L上，若f（x,y）g（x,y），则Lf（x,y）dsLg（x,y）ds，
4）Lds1（l为曲线弧L的长度）
3、计算:
x（t）,
设f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为（t
y（t）,
其中（t）,（t）在［,］上具有一阶连续导数，且2（t）2（t）o，则
Lf（x,y）dsf[（t）,（t）]J2（t）2（t）dt,（）
（2）对坐标的曲线积分
设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧,
函数P（x,y），Q（x,y）
在L上有界，定义LP（x,y）dx1im0P（k,k）Xk，
0k1
LQ（x,y）dy
Q（k
k）yk.
向量形式：
LFdrLP（x,y）dxQ（x,y）dy
2、性质：
用L表示L的反向弧，贝SLF（x,y）drlF（x,y）dr
设P（x,y）,Q（x,y）在有向光滑弧L上有定义且连续，L的参数方程为
（t:
），其中（t）,（t）在［,］上具有一阶连续导数，且
2（t）2（t）0，则
LP（x,y）dx
Q（x,y）dy
{P[（t）,（t）]（t）Q[（t）,（t）]（t）}dt
4、两类曲线积分之间的关系:
⑴
（t），
L上点（x,y）处的切向量的方向角为:
（t）
./2（t）2（t）
2（t）2（t），
设平面有向曲线弧为L：
则lPdxQdyl（PcosQcos）ds.
（3）格林公式
1、格林公式：
设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数P（x,y）,Q（x,y）在
QP
D上具有连续一阶偏导数，则有二—ydxdy-PdxQdydxyl
G为一个单连通区域，函数
Q
P（x,y）,Q（x,y）在G上具有连续一阶偏导数，则
f曲线积分Pdx
yL
Qdy在g内与路径无关
曲线积分？
Pdx
Qdy0
P（x,y）dxQ（x,y）dy在G内为某一个函数u（x,y）的全微分
（四）
对面积的曲面积分
设为光滑曲面，函数f（x,y,z）是定义在上的一个有界函数,n
定义f（x,y,z）dSlimf（i,i,i）Si
0i1
2、计算：
“一单二投三代入”
:
zz（x,y），（x,y）Dxy，则
22
f（x,y,z）dSDf[x,y,z（x,y）]\1zx（x,y）Zy（x,y）dxdy
Dxy
（五）对坐标的曲面积分
1、预备知识：
曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量
2、定义：
设为有向光滑曲面，函数P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）是定义在上的有界函数,
定义R（x,y,z）dxdylim。
R（i,i,J（SJxy
同理，P（x,y,z）dydzlim。
P（i,i,J（SJyz
Q（x,y,z）dzdx
limR（
0i1
iii）（S.）
i，i，iizx
12，则
PdydzQdzdx
Rdxdy
PdydzQdzdxRdxdy
2）表示与取相反侧的有向曲面，贝SRdxdyRdxdy
4、计算：
一一“一投二代三定号”
zz（x,y）,（x,y）Dxy,zz（x,y）在Dxy上具有一阶连续偏导数，R（x,y,z）在
上连续，则R（x,y,z）dxdyDR[x,y,z（x,y）]dxdy,为上侧取“+”，
Dxy
为下侧取“-”.
5、两类曲面积分之间的关系：
PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS
其中，，为有向曲面在点（x,y,z）处的法向量的方向角
（六）高斯公式
高斯公式：
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，的方向取外侧，
函数P,Q,R在
上有连续的一阶偏导数，则有
Rdxdydz一Pdydzz
Qdzdx
Rdxdy
通量与散度
向量场A
散度:
divA上卫
xy
（七）
斯托克斯公式
dxdydzPcos
（P,Q,R）通过曲
1、斯托克斯公式：
设光滑曲面
Qcos
RcosdS
定侧的通量为：
的边界是分段光滑曲线，的侧与的正向
符合右手法则，P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有
R—dydz——dzdx——dxdy二PdxQdyRdzyzzxxy
为便于记忆
斯托克斯公式还可写作：
dydz
dzdx
dxdy
0PdxQdyRdz
环流量：
向量场A（P,Q,R）沿着有向闭曲线的环流量为门PdxQdyRdz
旋度：
rotA上卫，丄—卫—
yzzxxy
第十二章无穷级数
（一）常数项级数
1、定义：
1）无穷级数：
UnU1U2U3Un
n1
部分和：
SnUkUiU2U3Un，
正项级数：
Un，Un0
交错级数：
（1）nUn，Un0
2）级数收敛：
若nimSnS存在，则称级数1Un收敛，否则称级数1Un发散
3）条件收敛：
Un收敛，而Un发散;
n1n1
绝对收敛：
Un收敛。
1）改变有限项不影响级数的收敛性;
2）级数an，bn收敛，则（anbn）收敛;
n1n1n1
3）级数an收敛，则任意加括号后仍然收敛;
4）必要条件：
级数Un收敛
IimUn0.（注意：
不是充分条件!
n
3、审敛法
正项级数:
Un0
＞imSn
S存在;
Un收敛
Sn有界;
比较审敛法:
，Vn为正项级数，且Un
Un
Vn（n1,2,3,
比较法的推论:
若Vn收敛，则Un收敛；
若
Un发散，则
Vn发散.
Un，
kVn，而Vn收敛，则
n1n
Vn发散，则Un发散.
比较法的极限形式:
Vn为正项级数，若存在正整数m，当nm时,
Un收敛；
若存在正整数m，当n
m时,
kVn，
Vn为正项级数，若
limU
nvn
I（0
Vn收敛，则Un收敛；
若［计
1n1
Vn
Vn发散,
比值法：
Un为正项级数,
1，则当
I1时，级数
Un收敛;
则当I1时，级数Un发散；
当
Un可能收敛也可能发散.
根值法：
Un为正项级数，设limn.U1，则当I1时，级数Un收敛；
则
1nn1
1时，级数Un发散；
当I1时，级数Un可能收敛也可能发散.
极限审敛法:
为正项级数，若”mnu
0或limnUn
，则级数
发散；
若存在P
1，使得lim
npUnI（0
），则级数
Un收敛.
交错级数:
莱布尼茨审敛法:
（1）
0满足：
Un1
Un（n1,2,3,
且nimUn0，则级数j1）nUn收敛
任意项级数:
Un绝对收敛，则Un收敛。
收敛，
常见典型级数：
几何级数:
aq
n0
发散，
|q|
p-级数:
n1nP
（二）函数项级数
函数项级数
Un（X），收敛域，收敛半径,
和函数;
2、幕级数：
anX
收敛半径的求法：
nim
an1
an
，则收敛半径
0,
3、泰勒级数
f（x）牛（x"
n0n!
（n1）
展开步骤：
（直接展开法）
求出
f（n）（x）,n1,2,3,；
f（n）（x0）,n0,1,2,；
（n）
写出
丁（xx）；
n!
'
验证nim
（n1）（
R（x）艸（nD，
间接展开法:
sinx
cosx
）（x
（利用已知函数的展开式）
1n
0；
!
x,
Rn（X）
x°
）n
1）n
nim7H>
x0）n10
0是否成立。
11
（2n1）!
112n
（2n）!
（1,1）；
2n
x（1,1]
1-Xno（E，X（1,12
6）ln（1x）
7）宀
（1）nx2n,x（1,1）
71xn0
8）（1x）m1m（m1）（mn1）xn,x（1,1）
n1n!
4、傅里叶级数
1）定义：
正交系：
1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,,sinnx,cosnx函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间［,］上积分为零
傅里叶级数:
f（x）（ancosnxbnsinnx）
2n1
f（x）cosnxdx（n
0,1,2,）
f（x）sinnxdx（n
1,2,3,）
2）收敛定理：
（展开定理）
设f（x）是周期为2的周期函数,
并满足狄利克雷（Dirichlet）
条件:
a0
7
f（x）,
x为连续点
bnsinnx
f（x）f（x）
X为间断点
ancosnx
3）傅里叶展开:
②写出傅里叶级数f（x）
ao
（ancosnxbnsinnx）；
f（x）cosnxdx
（n
f（x）sinnxdx
①求出系数：
bn
③根据收敛定理判定收敛性。
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