中考专题复习第七讲类比探究二旋转中点讲义设计Word格式文档下载.docx
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3对比结论，往往先从图上验证上一问结论；
或者结合图形以及上一问结论的组合方式猜测新结论．
在类比的过程中，也会进行适当的探索来解决图形变化过程中的一些新问题，此时要在不变结构的框架下去思考分析．
精讲精练
1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°
，∠A=30°
，P为BC边上任意一点，Q为AC边上一动点，分别以CP，PQ为边作等边三角形PCF和等边三角形PQE，连接EF．
（1）试探索EF与AB的位置关系，并证明．
（2）如图2，当点P为BC延长线上任意一点时，
（1）中的结论是否成立？
请说明理由．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°
，∠A=m°
，P为BC延长线上一点，Q为AC边上一动点，分别以CP，PQ为腰作等腰三角形PCF和等腰三角形PQE，使得PC=PF，PQ=PE，连接EF．要使
（1）中的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？
为什么？
2.如图1，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
（1）如图1，当α=90°
时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是____________；
（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°
的菱形，其他条件不变，当
α=60°
时，
（1）中的结论变为DE+DF=
，请给出证明；
（2）在
（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条
件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
3.已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m，n不垂直，点P为线段CD的中点．
（1）操作发现：
直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A，B，当点A
与点C重合时（如图1所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：
____________．
（2）猜想证明：
在图1的情况下，把直线l向上平移到如图
2的位置，试问
（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？
若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：
在图2的情况下，把直线l绕点A旋转，使
得∠APB=90°
（如图3所示），已知两平行线m，n之间的距
离为2k．求证：
．
4.在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°
，若点P是BF的中点，连接PC，PE．
特殊发现：
如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：
PC=PE成立（不要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．
（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；
（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？
（3）记
，当k为何值时，△CPE总是等边三角形（请直接写出k的值，不必说明理由）？
【参考答案】
1.
（1）EF⊥AB
（2）成立
（3）∠QPE=∠CPF=∠B
2.
（1）DE+DF=AD
（2）证明略
（3）当点E落在AD上时，DE+DF
；
当点E落在AD的延长线上时，DF-DE=
3.
（1）PA=PB
（2）成立，证明略
（3）证明略
4.
（1）成立，证明略
（3）
类比探究
（二）——旋转、中点（随堂测试）
1.在数学活动课中，小辉将边长为
和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连接AD，CF，经测量发现AD=CF．
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？
说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．
图1
图2
图3
1.
（1）相等，理由略
（2）
类比探究
（二）——旋转、中点（习题）
1、问题背景：
已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．
（1）初步尝试：
如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC
于H，且点D，E的运动速度相等，求证：
HF=AH+CF．
小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
思路一：
过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；
思路二：
过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．
请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程．
（2）类比探究：
如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°
，∠ADH=
∠BAC=30°
，且点D，E的运动速度之比是
，求
的值；
（3）延伸拓展：
如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=
∠BAC=36°
，记
，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示
（直接写出结果，不必写解答过程）．
2、某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：
如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与点D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：
DP=DQ．
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线，交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并给予证明．
（3）如图3，把三角板的直角顶点固定在点D处，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线，交BC的延长线于点E，连接PE．若AB:
AP=3:
4，请直接写出△DEP的面积．
图1
图2
图3
3、在Rt△ABC中，∠BAC=90°
，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰直角三角形ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰直角三角形AD1E1，设旋转角为α（0°
<
α≤180°
），记直线BD1与CE1的交点为P．
时，BD1=________，CE1=________．
（2）如图2，当α=135°
时，求证：
BD1=CE1，且BD1⊥CE1．
（3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为___________；
②点P到AB所在直线的距离的最大值为_______．
1、
（1）证明略
（2）2
2、
（1）证明略
，证明略
3、
（1）
（2）证明略；
（3）①
②
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