三角形的三边关系基础知识讲解文档格式.docx
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即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角;
③三角形的顶点:
即相邻两边的公共端点.
(2)三角形的定义中的三个要求:
“不在同一条文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.
三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段.
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段.
图形语言
作图语言
过点A作AD⊥BC于点D.
取BC边的中点D,连接AD.
作∠BAC的平分线AD,交BC于点D.
标示图形
符号语言
1.AD是△ABC的高.
2.AD是△ABC中BC边上的高.
3.AD⊥BC于点D.
4.∠ADC=90°
,∠ADB=90°
.
(或∠ADC=∠ADB=90°
)
1.AD是△ABC的中线.
2.AD是△ABC中BC边上的中线.
3.BD=DC=
BC
4.点D是BC边的中点.
1.AD是△ABC的角平分线.
2.AD平分∠BAC,交BC于点D.
3.∠1=∠2=
∠BAC.
推理语言
因为AD是△ABC的高,所以AD⊥BC.
(或∠ADB=∠ADC=90°
因为AD是△ABC的中线,所以BD=DC=
BC.
因为AD平分∠BAC,所以∠1=∠2=
用途举例
1.线段垂直.
2.角度相等.
1.线段相等.
2.面积相等.
角度相等.
注意事项
1.与边的垂线不同.
2.不一定在三角形内.
—
与角的平分线不同.
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点.
一个三角形有三条中线,它们交于三角形内一点.
一个三角形有三条角平分线,它们交于三角形内一点.
要点五、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小就确定不变了,这个性质叫做三角形的稳定性.
(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变,大小固定指三条边长不改变.
(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用.例如,房屋的人字梁具有三角形的结构,它就坚固而稳定;
在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板,构成一个三角形,就可以使栅栏门不变形.大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构,也是这个道理.
(3)四边形没有稳定性,也就是说,四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小可以改变.四边形的不稳定性也有广泛应用,如活动挂架,伸缩尺.有时我们又要克服四边形的不稳定性,如在门框未安好之前,先在门框上斜着钉一根木板,使它不变形.
【典型例题】
类型一、三角形的定义及表示
1.如图所示.
(1)图中共有多少个三角形?
并把它们写出来;
(2)线段AE是哪些三角形的边?
(3)∠B是哪些三角形的角?
【思路点拨】对比三角形的相关概念分析和思考.
【答案与解析】
解:
(1)图中共有6个三角形,它们是△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC.
(2)线段AE分别为△ABE,△ADE,△ACE的边.
(3)∠B分别为△ABD,△ABE,△ABC的角.
【总结升华】在
(1)问中数三角形的个数时,应按一定规律去找,这样才会不重复、不遗漏地找出所有的三角形;
在
(2)问中,突破口在于由三角形定义知,除了A、E再找一个第三点,使这点不在AE上,便可得到以AE为边的三角形;
(3)问的突破口是∠B一定在以B为一个顶点组成的三角形中.
举一反三:
【变式】如图,以A为顶点的三角形有几个?
用符号表示这些三角形.
【答案】3个,分别是△EAB,△BAC,△CAD.
类型二、三角形的三边关系
2.(四川南充)三根木条的长度如图所示,能组成三角形的是()
【思路点拨】三角形三边关系的性质,即三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.注意这里有“两边”指的是任意的两边,对于“两边之差”它可能是正数,也可能是负数,一般取“差”的绝对值.
【答案】D
【解析】要构成一个三角形.必须满足任意两边之和大于第三边.在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边.A、B、C三个选项中,较短两边之和小于或等于第三边.故不能组成三角形.D选项中,2cm+3cm>4cm.故能够组成三角形.
【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是:
①判断出较长的一边;
②看较短的两边之和是否大于较长的一边,大于则能够成三角形,不大于则不能够成三角形.
【高清课堂:
与三角形有关的线段例1】
【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.
(1)3,4,5;
(2)3,5,9;
(3)5,5,8.
【答案】
(1)能;
(2)不能;
(3)能.
3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.
【解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是│2-7│<
c<
2+7,即
5<
9.
【总结升华】三角形的两边a、b,那么第三边c的取值范围是│a-b│<
a+b.
【变式】
(浙江金华)已知三角形的两边长为4,8,则第三边的长度可以是________(写出一个即可)
【答案】5,注:
答案不唯一,填写大于4,小于12的数都对.
类型三、三角形中重要线段
4.(江苏连云港)小华在电话中问小明:
“已知一个三角形三边长分别为4,9,12,如何求这个三角形的面积?
”小明提示:
“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是().
【答案】C
【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.解答本题首先应找到最长边,再找到最长边所对的顶点.然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高.
【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高,并且三条高所在的直线交于一点.这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部.
【变式】如图所示,已知△ABC,试画出△ABC各边上的高.
【答案】
解:
所画三角形的高如图所示.
5.如图所示,CD为△ABC的AB边上的中线,△BCD的周长比△ACD的周长大3cm,BC=8cm,求边AC的长.
【思路点拨】根据题意,结合图形,有下列数量关系:
①AD=BD,②△BCD的周长比
△ACD的周长大3.
依题意:
△BCD的周长比△ACD的周长大3cm,
故有:
BC+CD+BD-(AC+CD+AD)=3.
又∵CD为△ABC的AB边上的中线,
∴AD=BD,即BC-AC=3.
又∵BC=8,∴AC=5.
答:
AC的长为5cm.
【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD=BD是解答本题的关键,另外对图形中线段所在位置的观察,找出它们之间的联系,这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法.
【变式】如图所示,在△ABC中,D、E分别为BC、AD的中点,且
,则
为________.
【答案】1
类型四、三角形的稳定性
6.如图所示,木工师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD),这样做的数学道理是什么?
三角形的稳定性.
【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用.实际生活中,将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性.