高二数学-直线与方程典型习题(教师版).doc

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【知识点一：

倾斜角与斜率】

（1）直线的倾斜角

①关于倾斜角的概念要抓住三点：

1、与x轴相交；2、x轴正向；3、直线向上方向。

②直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为

③倾斜角的范围

（2）直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在.

记作

⑴当直线与轴平行或重合时,,

⑵当直线与轴垂直时,,不存在.

②经过两点的直线的斜率公式是

③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.

（3）求斜率的一般方法：

①已知直线上两点，根据斜率公式求斜率；

②已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率；

（4）利用斜率证明三点共线的方法：

已知，若，则有A、B、C三点共线。

【知识点二：

直线平行与垂直】

（1）两条直线平行：

对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有

特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行

（2）两条直线垂直：

如果两条直线斜率存在，设为，则有

注：

两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；

由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直.

（2）线段的中点坐标公式

【知识点四直线的交点坐标与距离】

（1）两条直线的交点

设两条直线的方程是,

两条直线的交点坐标就是方程组的解。

①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.

（2）几种距离

两点间的距离：

平面上的两点间的距离公式

特别地，原点与任一点的距离

点到直线的距离：

点到直线的距离

两条平行线间的距离：

两条平行线间的距离

注:

1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。

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【例】已知，，直线过原点O且与线段AB有公共点，则直线的斜率的取值范围是（　　）

ABCD

答案：

B

分析：

由于直线与线段AB有公共点，故直线的斜率应介于OA，OB斜率之间．

解：

由题意，，，由于直线与线段AB有公共点，

所以直线的斜率的取值范围是

考点：

本题主要考查直线的斜率公式，考查直线与线段AB有公共点，应注意结合图象理解．

【例】在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（　　）

A1条B2条C3条D4条

答案：

B

分析：

由题意，A、B到直线距离是1和2，则以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可．

解：

分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求．

考点：

本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想

【例】方程所表示的图形的面积为_________。

答案：

解：

方程所表示的图形是一个正方形，其边长为

【例】设，则直线恒过定点．

答案：

解：

变化为

对于任何都成立，则

【例】一直线过点，并且在两坐标轴上截距之和为，这条直线方程是__________．

答案：

，或

解：

设

【例】已知A（1，2），B（3，4），直线l1：

x=0，l2：

y=0和l3：

x+3y﹣1=0、设Pi是li（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是________

答案：

分析：

设出P1，P2，P3，求出P1到A，B两点的距离和最小时，P1坐标，求出P2，P3的坐标，然后再解三角形的面积即可．

解：

设P1（0，b），P2（a，0），P3（x0，y0）由题设点P1到A，B两点的距离和为

显然当b=3即P1（0，3）时，点P1到A，B两点的距离和最小，同理P2（2，0），P3（1，0），所以

考点：

本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题．

【例】已知直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是______

答案：

[2，+∞）

分析：

由已知中直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1不经过第二象限，我们分别讨论a﹣2=0（斜率不存在），a﹣2≠0（斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a的取值，进而综合讨论结果，得到答案．

解：

若a﹣2=0，即a=2时，直线方程可化为x=，此时直线不经过第二象限，满足条件；

若a﹣2≠0，直线方程可化为y=x﹣，此时若直线不经过第二象限，则≥0，≥0，解得a＞0

综上满足条件的实数a的范围是[2，+∞）

考点：

本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当k≥0且b≤0时，直线不过第二象限得到关于a的不等式组，是解答本题的关键，但解答时，易忽略对a﹣2=0（斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+∞）。

【例】过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为。

解：

设直线为交轴于点，交轴于点，

得，或

解得或，或为所求。

【例】直线和轴，轴分别交于点，在线段为边在第一象限内作等边△，如果在第一象限内有一点使得△和△的面积相等，求的值。

解：

由已知可得直线，设的方程为

则，过

得

【例】已知点，，点在直线上，求取得最小值时点的坐标。

解：

设，则

当时，取得最小值，即

【例】求函数的最小值。

解：

可看作点到点和点的距离之和，作点关于轴对称的点

【例】在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．

分析：

根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标．逐步解答．

解：

点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴kAB==1．

又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴kAC=﹣1．∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．

而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴kBC=﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．

由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，解得C（5，﹣6）

考点：

直线的点斜式方程。

本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解

【例】直线l过点P（2，1），且分别与x，y轴的正半轴于A，B两点，O为原点．

（1）求△AOB面积最小值时l的方程；

（2）|PA|•|PB|取最小值时l的方程．

分析：

（1）设AB方程为，点P（2，1）代入后应用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面积面积的最小值．

（2）设直线l的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件．

解：

（1）设A（a，0）、B（0，b），a＞0，b＞0，AB方程为，点P（2，1）代入得

≥2，∴ab≥8（当且仅当a=4，b=2时，等号成立），

故三角形OAB面积S=ab≥4，此时直线方程为：

，即x+2y﹣4=0．

（2）设直线l：

y﹣1=k（x﹣2），分别令y=0，x=0，得A（2﹣，0），B（0，1﹣2k）．

则|PA|•|PB|==≥4，

当且仅当k2=1，即k=±1时，|PA|•|PB|取最小值，

又∵k＜0，∴k=﹣1，这时l的方程为x+y﹣3=0．

考点：

本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，直线的截距式方程，以及基本不等式的应用．

【例】求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：

（1）经过点（，－1）；

（2）在y轴上的截距是－5.

解：

∵直线的方程为y＝－x＋1，∴k＝－，倾斜角α＝120°，

由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为.

（1）∵直线经过点（，－1），∴所求直线方程为y＋1＝（x－），即x－3y－6＝0.

（2）∵直线在y轴上的截距为－5，∴由斜截式知所求直线方程为y＝x－5，即x－3y－15＝0.

【例】已知直线l：

kx－y＋1＋2k＝0

（1）证明：

直线l过定点；

（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程。

解：

（1）证明：

由已知得k（x＋2）＋（1－y）＝0，∴无论k取何值，直线过定点（－2,1）。

（2）令y＝0得A点坐标为（－2－，0），

令x＝0得B点坐标为（0,2k＋1）（k＞0），

∴S△AOB＝|－2－||2k＋1|＝（2＋）（2k＋1）＝（4k＋＋4）≥（4＋4）＝4

当且仅当4k＝，即k＝时取等号。

即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，即x－2y＋4＝0

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