初二数学压轴几何证明题含答案供参考文档格式.docx

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即GH=EH=HC，

∴∠EGC=90°

即△EGC是等腰直角三角形，

∴

；

（2）

结论还成立，

如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，

∵在△EFG和△HDG中

∴△EFG≌△HDG（SAS），

∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，

∴EF∥DH，

∴∠1=∠2=90°

-∠3=∠4，

∴∠EBC=180°

-∠4=180°

-∠1=∠HDC，

在△EBC和△HDC中

∴△EBC≌△HDC．

∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，

∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°

∴△ECH是等腰直角三角形，

∵G为EH的中点，

∴EG⊥GC，

即

（1）中的结论仍然成立；

（3）

连接BD，

∵AB=

，正方形ABCD，

∴BD=2，

∴cos∠DBE=

∴∠DBE=60°

∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°

∴∠ABF=45°

-15°

=30°

∴tan∠ABF=

∴DE=

BE=

∴DF=DE-EF=

-1． 

解析：

（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，依照梯形的中位线求出EG=GC，GH=

（EB+BC），推出GH=EH=BC，依照直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；

（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△

HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；

（3）连接BD，求出cos∠DBE=

，推出∠DBE=60°

，求出∠ABF=30°

，解直角三角形求出即可．

2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°

，按图1放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连接EG，CG．

（1）延长EG交DC于H，试说明：

DH=BE．

（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°

，连接DF，取DF中点G（如图2），莎莎同学发现：

EG=CG且EG⊥CG．在设法证明时他发现：

若连接BD，则D，E，B三点共线．你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗？

请写出来．

（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度α（0＜α＜90°

），再连接DF，取DF的中点G（如图3），第2问中的结论是否成立？

若成立，试说明你的结论；

若不成立，也请说明理由．

（1）证明：

∵∠BEF=90°

∴∠EFG=∠GDH，

而∠EGF=∠DGH，GF=GD，

∴△GEF≌△GHD，

∴EF=DH，

而BE=EF，

DH=BE；

（2）连接DB，如图，

∵△BEF为等腰直角三角形，

∴∠EBF=45°

而四边形ABCD为正方形，

∴∠DBC=45°

∴D，E，B三点共线．

而∠BEF=90°

∴△FED为直角三角形，

而G为DF的中点，

∴EG=GD=GC，

∴∠EGC=2∠EDC=90°

∴EG=CG且EG⊥CG；

（3）第2问中的结论成立．理由如下：

连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，如图，

∵G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，

∴OG∥BF，GM∥OB，

∴四边形OGMB为平行四边形，

∴OG=BM，GM=OB，

而EM=BM，OC=OB，

∴EM=OG，MG=OC，

∵∠DOG=∠GMF，

而∠DOC=∠EMF=90°

∴∠EMG=∠GOC，

∴△MEG≌△OGC，

∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，

又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，

∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°

+45°

=90°

∴EG=CG且EG⊥CG． 

（1）由∠BEF=90°

，取得EF∥DH，而GF=GD，易证得△GEF≌△GHD，得EF=DH，而BE=EF，即可取得结论．

（2）连接DB，如图2，由△BEF为等腰直角三角形，得∠EBF=45°

，而四边形ABCD为正方形，得∠DBC=45°

，取得D，E，B三点共线，而G为DF的中点，依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半取得EG=GD=GC，于是∠EGC=2∠EDC=90°

，即取得结论．

（3）连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，由G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，根据三角形中位线的性质得OG∥BF，GM∥OB，取得OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，取得EM=OG，MG=OC，又∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°

，得∠EMG=∠GOC，那么△MEG≌△OGC，取得EG=CG，∠EGM=∠OCG，而∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，因此有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°

．

3.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°

，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．

（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；

（2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°

，再连接DF，取DF中点G（如图②），问

（1）中的结论是否仍然成立．证明你的结论；

（3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°

到90°

之间），再连接DF，取DF的中点G（如图③），问

（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

（1）EG=CG且EG⊥CG．

证明如下：

如图①，连接BD．

∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，

∴∠EBF=∠DBC=45°

∴B、E、D三点共线．

∵∠DEF=90°

，G为DF的中点，∠DCB=90°

∴EG=DG=GF=CG．

∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．

∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°

即∠EGC=90°

∴EG⊥CG．

（2）仍然成立，

如图②，延长EG交CD于点H．

∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．

又∵∠3=∠4，FG=DG，

∴△FEG≌△DHG，

∴EF=DH，EG=GH．

∴BE=EF，∴BE=DH．

∵CD=BC，∴CE=CH．

∴△ECH为等腰直角三角形．

又∵EG=GH，

∴EG=CG且EG⊥CG．

（3）仍然成立．

如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．

∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，

∴△HFG≌△CDG，

∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，

∴HF∥CD．

∵正方形ABCD，

∴HF=BC，HF⊥BC．

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，

∴△BEC≌△FEH，

∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，

∴∠BEF=∠HEC=90°

又∵CG=GH，

（1）第一证明B、E、D三点共线，依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG=GF=CG，取得∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°

（2）首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．能够证得：

EG=CG且EG⊥CG．

（3）首先证明：

△BEC≌△FEH，即可证得：

△ECH为等腰直角三角形，从而取得：

已知，正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG．

（1）如图1，假设△BEF的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为______；

（2）

（2）如图2，假设△BEF的直角边BE在BC上，那么

（1）中的结论是不是还成立？

请说明理由；

（3）如图3，假设△BEF的直角边BE在∠DBC内，那么

（1）中的结论是不是还成立？

说明理由．

1

2

（1）GC=EG，（1分）理由如下：

∴∠DEF=90°

，又G为斜边DF的中点，∴EG=DF，

∵ABCD为正方形，

∴∠BCD=90°

，又G为斜边DF的中点，∴CG=DF，

∴GC=EG；

（2）成立．如图，延长EG交CD于M，

∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°

，∴EF∥CD，

∴∠EFG=∠MDG，

又∠EGF=∠DGM，DG=FG，

∴△GEF≌△GMD，

∴EG=MG，即G为EM的中点．

∴CG为直角△ECM的斜边上的中线，

∴CG=GE=EM；

（3）成立．

取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC．

∵CB=CD，∠DCB=90°

，∴CO=BD

∵DG=GF，

∴GH∥BD，且GH=BD，

OG∥BF，且OG=BF，

∴CO=GH．

∵△BEF为等腰直角三角形．

∴EH=BF

∴EH=OG．

∵四边形OBHG为平行四边形，

∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°

∴∠GOC=∠EHG．

∴△GOC≌△EHG．

∴EG=GC．

此题考查了正方形的性质，和全等三角形的判定与性质．要求学生把握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，和三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．把握这些性质，熟练运用全等知识是解此题的关键．

（1）EG=CG，理由为：

依照三角形BEF为等腰直角三角形，取得∠DEF为直角，又G为DF中点，依照在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，取得EG为DF的一半，同理在直角三角形DCF中，取得CG也等于DF的一半，利用等量代换得证；

（2）成立．理由为：

延长EG交CD于M，如下图，依照“ASA”取得三角形EFG与三角形GDM全等，由全等三角形的对应边相等取得EG与MG相等，即G为EM中点，依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半取得EG与CG相等都等于斜边EM的一半，得证；

（3）成立．理由为：

取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC，如下图，因为直角三角形DCB中，O为斜边BD的中点，依照斜边上的中线等于斜边的一半取得OC等于BD的一半，由HG为三角形DBF的中位线，依照三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，取得GH等于BD一半，OG等于BF的一半，又依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半取得EH等于BF的一半，依照等量代换取得OG与EH相等，再依照OBHG为平行四边形，依照平行四边形的性质取得对边相等，对角相等，进而取得∠GOC与∠EHG相等，利用“SAS”取得△GOC与△EHG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．