章末检测卷二Word文档格式.docx
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解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上．
同理可知，点C也在γ与β的交线上．
5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ）
A．ACB．BDC．A1DD．A1D1
答案 B
解析 易证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE.
6.
如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°
，那么这个二面角大小是（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
答案 A
解析 连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，
则B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝
a，
所以∠B′DC＝90°
7.
如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：
①BC⊥PC；
②OM∥平面APC；
③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③
C．①D．②③
解析 对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；
对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，
∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC；
对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．
8.如图，正方体的底面与正四面体（各面均为全等的正三角形的四面体）的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
解析 取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.
9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A．AB∥mB．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
解析 ∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.
∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确．
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故B一定正确．
∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α.
∴AB⊄β，l⊂β.∴AB∥β.故C也正确．
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，
当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．
故D不一定成立．
10.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为
，底面是边长为
的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 如图所示，作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，连接AP，AO.
SABC＝
×
sin60°
＝
∴VABC－A1B1C1＝SABC×
OP＝
，
∴OP＝
又OA＝
＝1，
∴tan∠OAP＝
，又0<
∠OAP<
∴∠OAP＝
11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是（ ）
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH⊥平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成的角为45°
解析 因为AH⊥平面A1BD，
BD⊂平面A1BD，
所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.
所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.
所以A1H⊥BD，
同理可证BH⊥A1D，
所以点H是△A1BD的垂心，A正确．
因为平面A1BD∥平面CB1D1，
所以AH⊥平面CB1D1，B正确．
易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正确．
因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．
因为∠AA1H≠45°
，所以∠A1AH≠45°
，故D错误．
12.已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝
，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
解析 A错误．理由如下：
过A作AE⊥BD，垂足为E，
若直线AC与直线BD垂直，则可得BD⊥平面ACE，
于是BD⊥CE，而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直．所以直线AC与直线BD不垂直．
B正确．理由：
翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时，平面ABC⊥平面BCD，此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC，于是有AB⊥CD.故B正确．
C错误．理由如下：
若直线AD与直线BC垂直，则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD，于是BC⊥AC，但是AB<
BC，在△ABC中∠ACB不可能是直角．故直线AD与直线BC不垂直．
由以上分析显然D错误．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．下列四个命题：
①若a∥b，a∥α，则b∥α；
②若a∥α，b⊂α，则a∥b；
③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；
④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.
其中正确命题的序号是________．
答案 ④
解析 ①中b可能在α内；
②a与b可能异面或者垂直；
③a可能与α内的直线异面或垂直．
14．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1.（注：
填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）
答案 B1D1⊥A1C1（答案不唯一）
解析 由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件．
15．已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则
①棱AB与PD所在直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与直线BF是异面直线．
以上结论正确的是________．（写出所有正确结论的编号）
答案 ①③
解析 由条件可得AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，故①正确；
若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，
得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；
S△PCD＝
CD·
PD，S△PAB＝
AB·
PA，
由AB＝CD，PD>
PA知③正确；
由E、F分别是棱PC、PD的中点，
可得EF∥CD，又AB∥CD，
∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错．
16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
答案 a>
6
解析 由题意知：
PA⊥DE，
又PE⊥DE，PA∩PE＝P，
所以DE⊥面PAE，
∴DE⊥AE.
易证△ABE∽△ECD.
设BE＝x，
则
即
∴x2－ax＋9＝0，由Δ>
0，
解得a>
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？
解 直线MN∥平面A1BC1.
证明如下：
∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.
∴MN⊄平面A1BC1.
如图，取A1C1的中点O1，
连接NO1、BO1.
∵NO1綊
D1C1，
MB綊
∴NO1綊MB.
∴四边形NO1BM为平行四边形．∴MN∥BO1.
又∵BO1⊂平面A1BC1，
∴MN∥平面A1BC1.
18．如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA.
证明
（1）由AS＝AB，AF⊥SB，知F为SB中点，
则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，因此平面EFG∥平面ABC.
（2）由平面SAB⊥平面SBC，且AF⊥SB，
知AF⊥平面SBC，则AF⊥BC.
又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB，
又SA⊂平面SAB，因此BC⊥SA.
19.
如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°
，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
（1）求证：
BC⊥平面PAC.
（2）是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？
并说明理由．
（1）证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°
∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
（2）解 ∵DE∥BC，
又由
（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC.
又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
20．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．
DE∥平面ABC；
（2）求三棱锥E－BCD的体积．
（1）证明
取BC中点G，连接AG，EG.
因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，且EG＝
BB1.
由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中点，所以EG綊AD，
所以四边形EGAD是平行四边形．所以ED∥AG.
又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
（2）解 因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，
所以VE－BCD＝VD－BEC＝VA－BCE＝VE－ABC，
由
（1）知，DE∥平面ABC.
所以VE－ABC＝VD－ABC＝
AD·
BC·
AG
3×
6×
4＝12.
21.如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
PA∥面BDE；
（2）求证：
平面PAC⊥平面BDE；
（3）若二面角E－BD－C为30°
，求四棱锥P－ABCD的体积．
（1）证明 连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.
∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，∴PA∥面BDE.
（2）证明 ∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面PAC.
又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE.
（3）解 取OC中点F，连接EF.∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD，∴EF⊥BD.
∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥面EFO，
∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，
∴∠EOF＝30°
在Rt△OEF中，OF＝
OC＝
AC＝
∴EF＝OF·
tan30°
∴OP＝2EF＝
a.
∴VP－ABCD＝
a2×
a＝
a3.
22.如图，
四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2
，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
（1）证明：
PC⊥平面BED；
（2）设二面角A－PB－C为90°
，求PD与平面PBC所成角的大小．
（1）证明 因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.
又因为AC∩PA＝A，
所以BD⊥平面PAC，
所以PC⊥BD.
如图，
设AC∩BD＝F，
连接EF.
因为AC＝2
PA＝2，PE＝2EC，
故PC＝2
，EC＝
FC＝
从而
因为
，∠FCE＝∠PCA，
所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°
由此知PC⊥EF.
因为PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以PC⊥平面BED.
（2）解 在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°
所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC.
因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，
故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，
所以底面ABCD为正方形，AD＝2，
PD＝
＝2
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，
即d＝AG＝
设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝
所以PD与平面PBC所成的角为30°
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