高二数学立体几何专题复习(精编版).doc

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高中立体几何专题（精编版）

1.（天津文）如图，在四棱锥中，底面为

平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．

（Ⅰ）证明：

//平面；

（Ⅱ）证明：

平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．

【解析】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。

满分13分。

（Ⅰ）证明：

连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB//MO。

因为平面ACM，平面ACM，所以PB//平面ACM。

（Ⅱ）证明：

因为，且AD=AC=1，所以，即，又PO平面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC。

（Ⅲ）解：

取DO中点N，连接MN，AN，因为M为PD的中点，所以MN//PO，且平面ABCD，得平面ABCD，所以是直线AM与平面ABCD所成的角，在中，，所以，从而，

在，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为

2.（北京文）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.

（Ⅰ）求证：

DE∥平面BCP；

（Ⅱ）求证：

四边形DEFG为矩形；

（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？

说明理由.

【解析】（17）（共14分）

证明：

（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，

所以DE//PC。

又因为DE平面BCP，

所以DE//平面BCP。

（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为

AP，AC，BC，PB的中点，

所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。

所以四边形DEFG为平行四边形，

又因为PC⊥AB，

所以DE⊥DG，

所以四边形DEFG为矩形。

（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：

连接DF，EG，设Q为EG的中点

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.

分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。

与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，

且QM=QN=EG，

所以Q为满足条件的点.

3.（全国大纲文）

如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．

（I）证明：

平面SAB；

（II）求AB与平面SBC所成的角的大小。

【解析】20．解法一：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，

连结SE，则

又SD=1，故，

所以为直角。

由，

得平面SDE，所以。

SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以平面SAB。

…………6分

（II）由平面SDE知，

平面平面SED。

作垂足为F，则SF平面ABCD，

作，垂足为G，则FG=DC=1。

连结SG，则，

又，

故平面SFG，平面SBC平面SFG。

…………9分

作，H为垂足，则平面SBC。

，即F到平面SBC的距离为

由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有

设AB与平面SBC所成的角为α，

则 …………12分

解法二：

以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。

设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。

又设

（I），，

由得

故x=1。

由

又由

即 …………3分

于是，

故

所以平面SAB。

（II）设平面SBC的法向量，

则

又

故 …………9分

取p=2得。

故AB与平面SBC所成的角为

4.（全国新文）18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．

（I）证明：

；

（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

【解析】（18）解：

（Ⅰ）因为，由余弦定理得

从而BD2+AD2=AB2，故BDAD

又PD底面ABCD，可得BDPD

所以BD平面PAD.故PABD

（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E。

已知PD底面ABCD，则PDBC。

由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD。

故BC平面PBD，BCDE。

则DE平面PBC。

由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，

根据BE·PB=PD·BD，得DE=，

即棱锥D—PBC的高为

5.（辽宁文）18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．

（I）证明：

PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

【解析】18．解：

（I）由条件知PDAQ为直角梯形

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.

又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD

所以PQ⊥平面DCQ.………………6分

（II）设AB=a.

由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积

由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，

所以棱锥P—DCQ的体积为

故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分

6.（江西文）18．（本小题满分12分）

如图，在中，P为AB边上的一动点，PD//BC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD。

（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；

（2）若点P为AB的中点，E为的中点，求证：

。

【解析】18．（本小题满分12分）

解：

（1）令

因为，

且平面平面PBCD，

故平面PBCD。

所以，

令

由，

当单调递增

当单调递减，

所以，当时，取得最大值，

即：

当最大时，

（2）设F为的中点，连接PF，FE，

则有

所以DE//PF，又

所以，

故

7.（山东文）19．（本小题满分12分）

如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，60°

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）证明：

．

【解析】19．（I）证法一：

因为平面ABCD，且平面ABCD，

所以，

又因为AB=2AD，，

在中，由余弦定理得

，

所以，

因此，

又

所以

又平面ADD1A1，

故

证法二：

因为平面ABCD，且平面ABCD，

所以

取AB的中点G，连接DG，

在中，由AB=2AD得AG=AD，

又，所以为等边三角形。

因此GD=GB，

故，

又

所以平面ADD1A1，

又平面ADD1A1，

故

（II）连接AC，A1C1，

设，连接EA1

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以

由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知

A1C1//EC且A1C1=EC，

所以边四形A1ECC1为平行四边形，

因此CC1//EA1，

又因为EA平面A1BD，平面A1BD，

所以CC1//平面A1BD。

8.（陕西文）16．（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。

（Ⅰ）证明：

平面ＡＤＢ  ⊥平面ＢＤＣ；

（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。

【解析】16．解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，

∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，

又DBＤＣ＝Ｄ，

∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，

∵AD平面平面ABD．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA,,,

DB=DA=DC=1，

AB=BC=CA=,

从而

表面积：

9.（上海文）20．（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，高。

求：

（1）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）四面体的体积。

【解析】20．解：

⑴连，∵，

∴异面直线与所成角为，记，

∴异面直线与所成角为。

⑵连，则所求四面体的体积

。

10.（四川文）19．（本小题共l2分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．

（Ⅰ）求证：

PB1∥平面BDA1；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；

本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力．

解法一：

（Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O，连结OD，

∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，

∴OD∥PB1，又ODÌ面BDA1，PB1Ë面BDA1，

∴PB1∥平面BDA1．

（Ⅱ）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A，

∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂线定理可知BE⊥DA1．

∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．

在Rt△A1C1D中，，

又，∴．

在Rt△BAE中，，∴．

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为．

解法二：

如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则，，，，．

（Ⅰ）在△PAA1中有，即．

∴，，．

设平面BA1D的一个法向量为，

则令，则．

∵，

∴PB1∥平面BA1D，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一个法向量．

又为平面AA1D的一个法向量．∴．

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为．

11.（浙江文）（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上．

（Ⅰ）证明：

⊥；

（Ⅱ）已知，，，．求二面角的大小．

【解析】（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。

满分14分。

（Ⅰ）证明：

由AB=AC，D是BC中点，得，

又平面ABC，，得

因为，所以平面PAD，故

（Ⅱ）解：

如图，在平面PAB内作于M，连CM。

因为平面BMC，所以APCM。

故为二面角B—AP—C的平面角。

在

在，

在中，，

所以

在

又

故

同理

因为

所以

即二面角B—AP—C的大小为

12.（重庆文）20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

如题（20）图，在四面体中，平面ABC⊥平面，

（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；

（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。

【解析】20．（本题12分）

解法一：

（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，

故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF

是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，

则由AC=AD，知AG⊥CD，从而

由

故四面体ABCD的体积

（II）如答（20）图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE。

由（I）知DF⊥平面ABC。

由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角。

在

在中，EF//BC，从而EF：

BC=AF：

AC，所以

在Rt△DEF中，

解法二：

（I）如答（20）图2