中考数学总复习压轴题精选2.docx

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中考数学总复习压轴题精选2

中考数学压轴题精选2

1．若抛物线L：

y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．

（1）若“路线”l的解析式为y＝2x－4，它的“带线”L的顶点的横坐标为－1，求“带线”L的解析式；

（2）如果抛物线y＝mx2－2mx＋m－1与直线y＝nx＋1具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（3）设

（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．

2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：

当x1＜x2＜0时，（x1－x2）（y1－y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1－x2）（y1－y2）＜0.以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若MN与直线y＝－2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：

①求证：

BC平分∠MBN；

②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．

3．如图，过点B（4，0）作直线l∥y轴，⊙A的直径为BO，以直线l为对称轴的抛物线经过点A，与x轴另一交点为C，抛物线的顶点为点E，CO＝2BE.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点C作⊙A的切线CD，D为切点，求CD的长；

（3）在切线CD上是否存在点F，使△BFC与△CAD相似？

若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由．

4．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C.

（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；

（2）抛物线上是否存在点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过抛物线上动点Q作QE垂直y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，直接写出△DEF外接圆的最小直径．

5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝－x＋2经过点A，C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为直线AC上方抛物线上一动点．

①连接PO，交AC于点E，求的最大值；

②过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使△PFC中的一个角等于∠CAB的2倍？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．解：

（1）∵“带线”L的顶点横坐标是－1，且它的“路线”l的解析式为y＝2x－4，

∴y＝2×（－1）－4＝－6，

∴“带线”L的顶点坐标为（－1，－6）．

设L的解析式为y＝a（x＋1）2－6.

∵“路线”y＝2x－4与y轴的交点坐标为（0，－4），

∴“带线”L也经过点（0，－4），将（0，－4）代入L的解析式，解得a＝2，

∴“带线”L的解析式为y＝2（x＋1）2－6＝2x2＋4x－4.

（2）∵直线y＝nx＋1与y轴的交点坐标为（0，1），

∴抛物线y＝mx2－2mx＋m－1与y轴的交点坐标也为（0，1），将（0，1）代入抛物线解得m＝2，

∴抛物线的解析式为y＝2x2－4x＋1，其顶点坐标为（1，－1），

∴直线y＝nx＋1经过点（1，－1），解得n＝－2，

∴m，n的值分别为2，－2.

（3）设抛物线的顶点为B，则点B坐标为（1，－1），

如图，过点B作BC⊥y轴于点C，连接PA交x轴于点D.

∵点A坐标为（0，1），

∴AO＝1，BC＝1，AC＝2.

∵“路线”l是经过点A，B的直线，且⊙P与“路线”l相切于点A，

∴PA⊥AB，

显然Rt△AOD≌Rt△BCA，

∴OD＝AC＝2，D点坐标为（－2，0），

则经过点D，A，P的直线解析式为y＝x＋1.

∵点P为直线y＝x＋1与抛物线y＝2x2－4x＋1的交点，

解方程组得

（即点A舍去）

即点P的坐标为（，）．

2．解：

（1）∵抛物线过点A（0，2），∴c＝2.

当x1＜x2＜0时，x1－x2＜0，由（x1－x2）（y1－y2）＞0，得到y1－y2＜0，

∴当x＜0时，y随x的增大而增大．

同理，当x＞0时，y随x的增大而减小，

∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，即b＝0.

∵如图，以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，连接OB，OC，

∴△ABC为等腰三角形．

∵△ABC中有一个角为60°，

∴△ABC为等边三角形，且OC＝OA＝OB＝2.

设线段BC与y轴的交点为点D，则有BD＝CD，且∠OBD＝30°，

∴BD＝OB·cos30°＝，OD＝OB·sin30°＝1.

∵B在C的左侧，∴B的坐标为（－，－1）．

∵B点在抛物线上，且c＝2，b＝0，

∴3a＋2＝－1，解得a＝－1，

则抛物线解析式为y＝－x2＋2.

（2）①由

（1）知，点M（x1，－x12＋2），N（x2，－x22＋2）．

∵MN与直线y＝－2x平行，

∴设直线MN的解析式为y＝－2x＋m，则有－x12＋2＝－2x1＋m，

即m＝－x12＋2x1＋2，

∴直线MN解析式为y＝－2x－x12＋2x1＋2.

把y＝－2x－x12＋2x1＋2代入y＝－x2＋2，

解得x＝x1或x＝2－x1，

∴x2＝2－x1，即y2＝－（2－x1）2＋2＝－x12＋4x1－10.

如图，作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足分别为E，F.

∵M，N位于直线BC的两侧，且y1＞y2，

则y2＜－1＜y1≤2，且－＜x1＜x2，

∴ME＝y1－（－1）＝－x12＋3，BE＝x1－（－）＝x1＋，

NF＝－1－y2＝x12－4x1＋9，BF＝x2－（－）＝3－x1.

在Rt△BEM中，tan∠MBE＝＝＝－x1，

在Rt△BFN中，tan∠NBF＝＝＝＝＝－x1.

∵tan∠MBE＝tan∠NBF，∴∠MBE＝∠NBF，

则BC平分∠MBN.

②∵y轴为BC的垂直平分线，

∴设△MBC的外心为P（0，y0），则PB＝PM，即PB2＝PM2，

根据勾股定理得3＋（y0＋1）2＝x12＋（y0－y1）2.

∵x12＝2－y1，

∴y02＋2y0＋4＝（2－y1）＋（y0－y1）2，

即y0＝y1－1，

由①得－1＜y1≤2，∴－＜y0≤0，

则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是－＜y0≤0.

3．解：

（1）∵B（4，0），∴OB＝4.

∵⊙A的直径为BO，

∴OA＝AB＝2，即A（2，0）．

∵以直线l为对称轴的抛物线经过点A，与x轴另一交点为C，

∴BC＝AB＝2，∴C（6，0）．

∵CO＝2BE，

∴BE＝3，

∴E（4，－3）．

设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，

∴解得

∴抛物线解析式为y＝x2－6x＋9.

（2）如图，连接AD.

∵CD为⊙A的切线，

∴AD⊥CD.

∵AC＝OC－OA＝4，AD＝2，

∴CD＝＝2.

（3）如图，连接BF，

由

（2）可知，△ADC为直角三角形，

∴当△BCF和△CAD相似时，则有BF⊥CD或BF⊥x轴两种情况：

①当BF⊥CD时，如图，连接BF，则BF∥AD，

∴＝，即＝，解得CF＝.

②当BF⊥x轴时，同理＝，

即＝，解得CF＝.

综上可知，在切线CD上存在点F，使△BFC与△CAD相似，此时CF的长为或.

4．解：

（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1，0），B（3，0）两点，

∴解得

∴经过A，B，C三点的抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.

（2）当C为直角顶点时，如图，过点C作CP1⊥BC，交抛物线于点P1，过P1作P1H1⊥y轴于点H1.

∵OB＝OC，∠BOC＝90°，

∴△BOC为等腰直角三角形，∠BCO＝45°，∴∠P1CH1＝45°，

∴△P1H1C为等腰直角三角形，即P1H1＝H1C.

设P1（a，－a2＋2a＋3），

则a＝－a2＋2a＋3－3，

解得a1＝1，a2＝0（舍去），

此时－a2＋2a＋3＝4，

∴P1坐标是（1，4）．

当B为直角顶点时，如图，过点B作BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点G，过点P2作P2H2⊥y轴于点H2.

∵∠CBO＝45°，

∴∠H2P2G＝∠OBG＝45°，

∴△BOG，△P2H2G为等腰直角三角形，

即OB＝OG＝3，P2H2＝H2G.

设P2（a，－a2＋2a＋3），

则－a＝a2－2a－3－3，

解得a1＝－2，a2＝3（舍去），

此时－a2＋2a＋3＝－5，

∴P2的坐标是（－2，－5）．

综上所述，点P的坐标是（－2，－5）或（1，4）．

（3）△DEF的外接圆直径最小为.

5．解：

（1）对于直线y＝－x＋2，

当x＝0时，y＝2，即C（0，2），

当y＝0时，x＝4，即A（4，0），

将A，C点坐标代入函数解析式得

解得

抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.

（2）①如图，过点P向x轴做垂线，交直线AC于点M，交x轴于点N.

∵直线PN∥y轴，

∴△PEM∽△OEC，

∴＝.

把x＝0代入y＝－x＋2得y＝2，即OC＝2.

设点P（x，－x2＋x＋2），则点M（x，－x＋2），

∴PM＝（－x2＋x＋2）－（－x＋2）＝－x2＋2x

＝－（x－2）2＋2，

∴＝＝.

∵0＜x＜4，

∴当x＝2时，＝有最大值为1.

②∵A（4，0），B（－1，0），C（0，2），

∴AC＝2，BC＝，AB＝5，

∴AC2＋BC2＝AB2，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点D，

∴D（，0），∴DA＝DC＝DB＝，

∴∠CDO＝2∠BAC，

∴tan∠CDO＝tan（2∠BAC）＝.

情况一：

当∠PCF＝2∠CAB时，

如图，过P作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G.

∵∠PCF＝2∠CAB＝∠PGC＋∠CPG，

∴∠CPG＝∠BAC，

∴tan∠CPG＝tan∠BAC＝，

即＝.

令P（a，－a2＋a＋2），

∴PR＝a，RC＝－a2＋a，

∴＝，∴a1＝0（舍去），a2＝2，

∴xP＝2，－a2＋a＋2＝3，P（2，3）．

情况二：

当∠FPC＝2∠BAC时，

∵tan（2∠BAC）＝，∴tan∠FPC＝.

设FC＝4k，∴PF＝3k，PC＝5k.

∵tan∠PGC＝＝，∴FG＝6k，∴CG＝2k，PG＝3k，

∴RC＝k，RG＝k，PR＝3k－k＝k，

∴＝＝，

∴a1＝0（舍去），a2＝，

xP＝，－a2＋a＋2＝，即P（，）．

综上所述，P点坐标是（2，3）或（，）．