高二数学上期末复习试卷五(空间向量).doc
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高二数学期末复习试卷五
空间向量
1下列各组向量中不平行的是___________
①②
③④
2已知点，则点关于轴对称的点的坐标为___________
3若向量，且与的夹角余弦为，则等于___________
4若A，B，C，则△ABC的形状是___________
5若A，B，当取最小值时，的值等于___________
6空间四边形中，，，则<>的值是_________
7若向量，则__________________
8若向量，则这两个向量的位置关系是___________
9已知向量，若，则______；若则______
10已知向量若则实数______，_______
11若，且，则与的夹角为____________
12若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________
13已知空间四边形，点分别为的中点，且，用，，表示，则=_______________
14已知正方体的棱长是，则直线与间的距离为
15已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点
（Ⅰ）证明：
面面；
（Ⅱ）求与所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小
16如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,
平面底面
（Ⅰ）证明：
平面；
（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小
证明：
以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系
17如图，在四棱锥中，底面为矩形，
侧棱底面，，，，
为的中点
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离
18如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求点到平面的距离
19如图，在长方体，中，，点在棱上移动
（1）证明：
；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为
20如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：
（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值
21如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上
一点，已知
求（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的大小
高二数学期末复习试卷五参考答案
1④而零向量与任何向量都平行
2关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变
3或
4不等边锐角三角形，，得为锐角；
，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形
5
，当时，取最小值
6
7，
8垂直
9若，则；若，则
10
11
12
13
14
设
则，而另可设
，
15已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点
（Ⅰ）证明：
面面；
（Ⅱ）求与所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小
证明：
以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
（Ⅰ）证明：
因
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面又在面上，故面⊥面
（Ⅱ）解：
因
（Ⅲ）解：
在上取一点，则存在使
要使
为
所求二面角的平面角
16如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,
平面底面
（Ⅰ）证明：
平面；
（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小
证明：
以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系
（Ⅰ）证明：
不防设作，
则，，
由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直∴平面
（Ⅱ）解：
设为中点，则，
由
因此，是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小为
17如图，在四棱锥中，底面为矩形，
侧棱底面，，，，
为的中点
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离
解：
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则的坐标为、
、、、
、，
从而
设的夹角为，则
∴与所成角的余弦值为
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则
，由面可得，
∴
即点的坐标为，从而点到和的距离分别为
18如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求点到平面的距离
解：
（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设
∵为平行四边形，
（II）设为平面的法向量，
的夹角为，则
∴到平面的距离为
19如图，在长方体，中，，点在棱上移动
（1）证明：
；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为
解：
以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则
（1）
（2）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，所以点到平面的距离为
（3）设平面的法向量，∴
由令，
∴
依题意
∴（不合，舍去），
∴时，二面角的大小为
20如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：
（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值
解：
（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系
由于，
在三棱柱中有
,
设
又侧面，故因此是异面直线的公垂线，
则，故异面直线的距离为
（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角
21如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上
一点，已知
求（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的大小
解：
（Ⅰ）以为原点，、、分别为
轴建立空间直角坐标系
由已知可得
设
由，
即由，
又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线
的距离为
（Ⅱ）作，可设由得
即作于，设，
则
由，
又由在上得
因故的平面角的大小为向量的夹角
故即二面角的大小为
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