版高中数学人教B版选修11学案第三单元 311 函数的平均变化率312 瞬时速度与导数 Word版含答案文档格式.docx

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思考若旅游者从点爬到点，自变量和函数值的改变量分别是多少？

思考怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？

思考观察函数＝（）的图象，平均变化率＝表示什么？

梳理函数＝（）从到的平均变化率

（）定义式：

＝.

（）实质：

的增量与的增量之比．

（）作用：

刻画函数值在区间[，]上变化的快慢．

（）几何意义：

已知（，（）），（，（））是函数＝（）的图象上两点，则平均变化率＝表示割线的．

知识点二瞬时变化率

思考物体的路程与时间的关系是（）＝，试求物体在[＋Δ]这段时间内的平均速度．

思考当Δ趋近于时，思考中的平均速度趋近于多少？

怎样理解这一速度？

梳理（）物体运动的瞬时速度

设物体运动的路程与时间的关系是＝（），当时，当Δ趋近于时，函数（）在到＋Δ之间的平均变化率为趋近于常数，这个常数称为时刻的瞬时速度．

（）函数的瞬时变化率

设函数＝（）在附近有定义，当自变量在＝附近改变Δ时，函数值相应地改变Δ＝（＋Δ）－（），如果当Δ趋近于时，平均变化率趋近于一个常数，则数称为函数（）在点的瞬时变化率．

知识点三函数在某一点处的导数与导函数

思考′（）与′（）表示的意义一样吗？

梳理（）函数（）在＝处的导数

函数＝（）在＝处的称为函数＝（）在＝处的导数，记作，即′（）＝.

（）导函数定义

如果（）在开区间（，）内每一点导数都存在，则称（）在区间（，）可导，这样，对开区间（，）内每个值，都对应一个，于是在区间（，）内′（）构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数＝（）的导函数．记为′（）（或′、′）．

（）函数＝（）在点处的导数′（）就是导函数′（）在点＝处的函数值，即′（）＝′（）＝.

类型一函数的平均变化率

例（）已知函数（）＝＋－.

①求：

当＝，＝时，函数增量Δ和平均变化率；

②求：

当＝，＝时，函数增量Δ和平均变化率.

（）求函数＝（）＝在＝附近的平均变化率，取Δ都为，哪一点附近的平均变化率最大？

反思与感悟求平均变化率的主要步骤

（）先计算函数值的改变量Δ＝（）－（）；

（）再计算自变量的改变量Δ＝－；

（）得平均变化率＝.

跟踪训练（）已知函数（）＝＋－的图象上的一点（－，－）及邻近一点（－＋Δ，－＋Δ），则＝.

（）如图所示是函数＝（）的图象，则函数（）在区间[－]上的平均变化率为；

函数（）在区间[]上的平均变化率为．

类型二求瞬时速度

例某物体的运动路程（单位：

）与时间（单位：

）的关系可用函数（）＝＋＋表示，求物体在＝时的瞬时速度．

引申探究

．若本例的条件不变，试求物体的初速度．

．若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为.

反思与感悟（）不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题．

（）求运动物体瞬时速度的三个步骤

①求时间改变量Δ和位移改变量Δ＝（＋Δ）－（）．

②求平均速度＝.

③求瞬时速度，当Δ无限趋近于时，无限趋近于的常数即为瞬时速度，即＝′（）．

跟踪训练一质点按运动方程（）＝＋做直线运动（位移单位：

，时间单位：

），若质点在＝时的瞬时速度为，求常数的值．

类型三求函数在某一点处的导数

例求函数（）＝在＝处的导数．

反思与感悟求一个函数＝（）在＝处的导数的步骤如下：

（）求函数值的变化量Δ＝（＋Δ）－（）；

（）求平均变化率＝；

（）取极限，得导数′（）＝.

跟踪训练已知（）＝，′（）＝，求.