七年级上册数学知识点总结归纳Word格式.docx
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只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
整数也能化成分数,也是有理数
引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8也是偶数,-1,-3,-5也是奇数。
2.有理数的分类
三、数轴
⒈数轴的概念
规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;
⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;
⑶同一数轴上的单位长度要统一;
⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
(如,数轴上的点π不是有理数)
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;
⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>
0表示a是正数;
反之,a是正数,则a>
0;
⑵a<
0表示a是负数;
反之,a是负数,则a<
⑶a=0表示a是0;
反之,a是0,,则a=0
四、相反数
⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0,注意:
2反数是成对出现的;
⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;
⑶0的相反数是它本身;
相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有一个;
⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;
互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。
0的相反数对应原点;
原点表示0的相反数。
说明:
在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:
5的相反数是-5);
⑵求多个数的和或差的相反数时,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;
5a+b的相反数是-(5a+b)。
化简得-5a-b);
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:
-5的相反数是-(-5),化简得5
5.相反数的表示方法
一般地,数a的相反数是-a,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。
当a>
0时,-a<
0(正数的相反数是负数)
当a<
0时,-a>
0(负数的相反数是正数)
当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
五、绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身;
⑵一个负数的绝对值是它的相反数;
30的绝对值是0。
可用字母表示为:
①如果a>
0,那么|a|=a;
②如果a<
0,那么|a|=-a;
③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为:
①:
a≥0,|a|=a(非负数的绝对值等于本身;
绝对值等于本身的数是非负数。
)②a≤0,|a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数;
绝对值等于其相反数的数是非正数。
)
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。
所以,a取任何有理数,都有|a|≥0即
(1)0的绝对值是0;
绝对值是0的数是0.即:
a=0|a|=0;
(2)一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:
|a|≥0;
(3)任何数的绝对值都不小于原数。
即:
|a|≥a;
(4)绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。
若|x|=a(a>
0),则x=±
a;
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。
|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。
|a|=|b|,则a=b或a=-b;
⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。
即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小:
数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:
两个负数比较大小,绝对值大的反而小;
异号两数比较大小,正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时,|a|=a;
②当a≤0时,|a|=-a
6.已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。
|a|=5,则a=土5
六、有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)为相反数的两数相加,和为零;
⑷一个数与零相加,仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律:
a+b=b+a
⑵加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大;
加负数后的和比原数小;
加0后的和等于原数。
⑴当b>
0时,a+b>
a
⑵当b<
0时,a+b<
⑶当b=0时,a+b=a
4.有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
用字母表示为:
a-b=a+(-b)
5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。
在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5和式的读法:
①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:
Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法)(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+22)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+22)(将减法转换成加法)=-33+18-15-1+22(省略加号和括号)=(-33-15-1)+(18+22)(把符号相同的加数相结合)
=-49+40(运用加法法则一进行运算)
=-9(运用加法法则二进行运算)
Ⅱ.把和为整数的加数相结合
(凑整法)(+6.6)+(-5.2)-(-3.5)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.5)+(-2.6)+(-4.8)(将减法转换成加法)=6.6-5.2+3.5-2.6-4.8(省略加号和括号)
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.5(把和为整数的加数相结合)
=4-10+3.5(运用加法法则进行运算)
=7.5-10(把符号相同的加数相结合,并进行运算)
=-2.5(得出结论)
七、有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)
法则二:
任何数同0相乘,都得0;
法则三:
几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;
负因数的个数是奇数时,积是负数;
法则四:
几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0
2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为axa1=1(a≠0),就是说a和a1互为倒数,即a是a1的倒数,a1是a的倒数。
0没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;
求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。
(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律:
一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
即ab=ba
⑵乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
即(ab)c=a(bc)
⑶乘法分配律:
一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。
即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0。
5.有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。
八、有理数的乘方
1.乘方的概念
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
在an中,a叫做底数,n叫做指数。
2.乘方的性质
(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。
(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
九、有理数的混合运算
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减;
2.同级运算,从左到右进行;
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
十、科学记数法
把一个大于10的数表示成ax10n的形式(其中1≤a<10,n是正整数),这种记数法是科学记数法。
十一、用字母表示数
代数式:
用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式,如n,-1,2n+500,abc。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式:
表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。
单项式的系数:
单项式中的数字因数
单项式的次数:
一个单项式中,所有字母的指数和
多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。
常数项的次数为0。
整式:
单项式和多项式统称为整式。
分母上含有字母的不是整式。
代数式书写规范:
1数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“*”表示,并把数字放到字母前;
2出现除式时,用分数表示;
3带分数与字母相乘时,带分数要化成假分数;
4若运算结果为加减的式子,当后面有单位时,要用括号把整个式子括起来。
合并同类项
同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
合并同类项的法则:
同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。
合并同类项的步骤:
(1)准确的找出同类项;
(2)运用加法交换律,把同类项交换位置后结合在一起;
(3)利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变;
(4)写出合并后的结果。
去括号的法则
(1)括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项的符号都不变;
(2)括号前面是“—”号,把括号和它前面的“—”号去掉,括号里各项的符号都要改变。
整式的加减:
进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号,再合并同类项。
整式加减的步骤:
(1)列出代数式;
(2)去括号;
(3)合并同类项。
十二、一元一次方程
一元一次方程的概念:
只含有一个未知数(元)且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程。
一般形式:
ax+b=0(a≠0)
未知数在分母中时,它的次数不能看成是1次。
如1/x+3=x,它不是一元一次方程。
解一元一次方程
方程的解:
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程:
求方程的解的过程叫做解方程。
等式的性质:
(1)等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;
(2)等式两边都乘或除以同一个不等于0的数,所得结果仍是等式。
移项:
方程中的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项。
移项的依据:
(1)移项实际上就是对方程两边进行同时加减,根据是等式的性质1;
(2)系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除,根据是等式的性质2。
移项的作用:
移项时一般把含未知数的项向左移,常数项往右移,使左边对含未知数的项合并,右边对常数项合并。
移项时要跨越“=”号,移过的项一定要变号。
解一元一次方程的一般步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
去分母时不可漏乘不含分母的项。
分数线有括号的作用,去掉分母后,若分子是多项式,要加括号。
用方程解决问题
列一元一次方程解应用题的基本步骤:
审清题意、设未知数(元)、列出方程、解方程、写出答案。
关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系,列出方程。
解决问题的策略:
利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系。