由lgm有意义知m>0，即使lgm有意义的范围是（0,4>，
故所求概率为P＝＝.
探究提高解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长（曲线长>之比．y6v3ALoS89
在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．M2ub6vSTnP
答案
解读记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长（此时F为OE中点>，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：
0YujCfmUCw
P（A>＝＝.
题型二与面积有关的几何概型
例2设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
（1>若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；eUts8ZQVRd
（2>若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
思维启迪：
（1>为古典概型，利用列举法求概率．
（2>建立a－b平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型．
解设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
（1>基本事件共有12个：
（0,0>，（0,1>，（0,2>，（1,0>，（1,1>，（1,2>，（2,0>，（2,1>，（2,2>，（3,0>，（3,1>，（3,2>．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P（A>＝＝.sQsAEJkW5T
（2>实验的全部结果所构成的区域为{（a，b>|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{（a，b>|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为P（A>＝＝.GMsIasNXkA
探究提高数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：
用图形准确表示出实验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：
TIrRGchYzg
P（A>＝.
（2018·湖南>函数f（x>＝sin（ωx＋φ>的导函数y＝f′（x>的部分图像如图所示，其中，P为图像与y轴的交点，A，C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点．7EqZcWLZNX
（1>若φ＝，点P的坐标为，则ω＝________；lzq7IGf02E
（2>若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．zvpgeqJ1hk
答案（1>3 （2>
解读（1>∵f（x>＝sin（ωx＋φ>，∴f′（x>＝ωcos（ωx＋φ>．
当φ＝时，f′（x>＝ωcos.NrpoJac3v1
又该函数过点P，故＝ωcos.1nowfTG4KI
∴ω＝3.
（2>设A（x0,0>，则ωx0＋φ＝，∴x0＝－.fjnFLDa5Zo
又y＝ωcos（ωx＋φ>的周期为，
∴|AC|＝，C.tfnNhnE6e5
依题意曲线段与x轴围成的面积为
S＝－ʃ－＋－ωcos（ωx＋φ>dx＝2.HbmVN777sL
∵|AC|＝，|yB|＝ω，∴S△ABC＝.
∴满足条件的概率为.
题型三与角度、体积有关的几何概型
例3如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．V7l4jRB8Hs
思维启迪：
根据“在∠BAC内作射线AM”可知，本题的测度是角度．
解因为∠B＝60°，∠C＝45°，
所以∠BAC＝75°，
在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，
所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．
由几何概型的概率公式，得P（N>＝＝.
探究提高几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在线段BC上找一点M”，则相应的测度变成线段的长度．83lcPA59W9
一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为mZkklkzaaP
（ >
A.B.C.D.AVktR43bpw
答案C
解读由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为＝.ORjBnOwcEd
转化与化归思想在概率中的应用
典例：
（12分>已知向量a＝（2,1>，b＝（x，y>．
（1>若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；
（2>若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
审题视角（1>向量a∥b转化为x＝2y，而x、y的值均为有限个，可以直接列出，转化为古典概型问题；（2>和（1>中条件类似，但x、y的值有无穷多个，应转化为几何概型问题．2MiJTy0dTT
规范解答
解（1>设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.
基本事件空间为Ω＝{（－1，－1>，（－1,0>，（－1,1>，（0，－1>，（0,0>，（0,1>，（1，－1>，（1,0>，（1,1>，（2，－1>，（2,0>，（2,1>}，共包含12个基本事件；[3分]gIiSpiue7A
其中A＝{（0,0>，（2,1>}，包含2个基本事件．
则P（A>＝＝，即向量a∥b的概率为.[5分]uEh0U1Yfmh
（2>设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.[7分]IAg9qLsgBX
基本事件空间为
Ω＝，WwghWvVhPE
B＝，asfpsfpi4k
[10分]
则P（B>＝＝＝，ooeyYZTjj1
即向量a，b的夹角是钝角的概率是.[12分]
温馨提醒（1>对含两个变量控制的概率问题，若两个变量取值有限个，可转化为古典概型；若取值无穷多个，则可转化为几何概型问题．BkeGuInkxI
（2>本题错误的主要原因是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点．所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用.PgdO0sRlMo
方法与技巧
1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．
2．转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将实验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
失误与防范
1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
A组专项基础训练
（时间：
35分钟，满分：
57分>
一、选择题（每小题5分，共20分>
1．（2018·辽宁>在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（ >3cdXwckm15
A.B.C.D.h8c52WOngM
答案C
解读设AC＝x，CB＝12－x，
所以x（12－x><32，解得x<4或x>8.
所以P＝＝.
2．（2018·北京>设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一
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