届步步高大一轮复习讲义.docx

1、届步步高大一轮复习讲义12.3模拟方法概率的应用2018高考会这样考1.以小题形式考查与长度或面积有关的几何概型；2.和平面几何、函数、向量相结合考查几何概型，题组以中低档为主复习备考要这样做1.准确理解几何概型的意义，会构造度量区域；2.把握与古典概型的联系和区别，加强与数学其他知识的综合训练b5E2RGbCAP1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型p1EanqFDPw2几何概型中，事件A的概率计算公式P(A.DXDiTa9E3d3要切实理解并掌握几何概型实验的两个基本特点(1无限性：在一次实验中，可能出现

2、的结果有无限多个；(2等可能性：每个结果的发生具有等可能性难点正本疑点清源1几何概型的实验中，事件A的概率P(A只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积成正比，而与A的位置和形状无关RTCrpUDGiT2求实验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解3几何概型的两种类型(1线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时(2面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决5PCzVD7HxA1在区间1,2上随机取一个数x，则x0，1的概率为_答案解

3、读如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P.jLBHrnAILg2点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为_xHAQX74J0X答案解读如图可设l1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.3已知直线yxb，b2,3，则直线在y轴上的截距大于1的概率是_答案解读区域D为区间2,3，d为区间(1,3，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率P.4一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是(LDAYtRyKfEA.B.C.D.Zzz6ZB2Ltk答案B解读以时间的长短

4、进行度量，故P.5(2018湖北如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(dvzfvkwMI1A1B.C.D.rqyn14ZNXI答案A解读方法一设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OAOB2，则ODDADC1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1111，EmxvxOtOco所以整体图形中空白部分面积S22.又因为S扇形OAB22，所以阴影部分面积为S32.所以P1.方法二连接AB，由S弓形ACS弓形BCS弓形OC可求出空白部分面积设分别以OA，OB为直径的两

5、个半圆交于点C，令OA2.由题意知CAB且S弓形ACS弓形BCS弓形OC，所以S空白SOAB222.又因为S扇形OAB22，所以S阴影2.所以P1.SixE2yXPq5题型一与长度有关的几何概型例1在集合Am|关于x的方程x2mxm10无实根中随机地取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为_6ewMyirQFL思维启迪：通过转化集合A和lgm有意义将问题转化成几何概型答案解读由m240得1m4.kavU42VRUs即Am|1m0，即使lgm有意义的范围是(0,4，故所求概率为P.探究提高解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长

6、度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长之比y6v3ALoS89在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是_M2ub6vSTnP答案解读记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：0YujCfmUCwP(A.题型二与面积有关的几何概

7、型例2设有关于x的一元二次方程x22axb20.(1若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；eUts8ZQVRd(2若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率思维启迪：(1为古典概型，利用列举法求概率(2建立ab平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型解设事件A为“方程x22axb20有实根”当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.(1基本事件共有12个：(0,0，(0,1，(0,2，(1,0，(1,1，(1,2，(2,0，(2,1，(2,2，(3,0，(3,

8、1，(3,2其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A.sQsAEJkW5T(2实验的全部结果所构成的区域为(a，b|0a3,0b2，构成事件A的区域为(a，b|0a3,0b2，ab，所以所求的概率为P(A.GMsIasNXkA探究提高数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出实验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：TIrRGchYzgP(A.(2018湖南函数f(xsin(x的导函数yf(x的部分图像如图所示，其中，P为图像与y轴的

9、交点，A，C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点7EqZcWLZNX(1若，点P的坐标为，则_；lzq7IGf02E(2若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为_zvpgeqJ1hk答案(13(2解读(1f(xsin(x，f(xcos(x当时，f(xcos.NrpoJac3v1又该函数过点P，故cos.1nowfTG4KI3.(2设A(x0,0，则x0，x0.fjnFLDa5Zo又ycos(x的周期为，|AC|，C.tfnNhnE6e5依题意曲线段与x轴围成的面积为Scos(xdx2.HbmVN777sL|AC|，|yB|，SABC.满足条件的概率为.题型三与角度

10、、体积有关的几何概型例3如图所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率V7l4jRB8Hs思维启迪：根据“在BAC内作射线AM”可知，本题的测度是角度解因为B60，C45，所以BAC75，在RtABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得BAM.探究提高几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在线段BC上找一点M”，则相应的测度变成线段的长度83lcPA59W9一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于1

11、0，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为mZkklkzaaP(A.B.C.D.AVktR43bpw答案C解读由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为.ORjBnOwcEd转化与化归思想在概率中的应用典例：(12分已知向量a(2,1，b(x，y(1若x1,0,1,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2若x1,2，y1,1，求向量a，b的夹角是钝角的概率审题视角(1向量ab转化为x2y，而x、y的值均为有限个，可以直接列出，转化为古典概型问题；(2和(1中条件

12、类似，但x、y的值有无穷多个，应转化为几何概型问题2MiJTy0dTT规范解答解(1设“ab”为事件A，由ab，得x2y.基本事件空间为(1，1，(1,0，(1,1，(0，1，(0,0，(0,1，(1，1，(1,0，(1,1，(2，1，(2,0，(2,1，共包含12个基本事件；3分gIiSpiue7A其中A(0,0，(2,1，包含2个基本事件则P(A，即向量ab的概率为.5分uEh0U1Yfmh(2设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2xy，ooeyYZTjj1即向量a，b的夹角是钝角的概率是.12分温馨提醒(1对含两个变量控制的概率问题，若两个变量取值有限个

13、，可转化为古典概型；若取值无穷多个，则可转化为几何概型问题BkeGuInkxI(2本题错误的主要原因是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用.PgdO0sRlMo方法与技巧1区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个2转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将实验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式失误与防范1准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分一、选择题(每小题5分，共20分1(2018辽宁在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为(3cdXwckm15A.B.C.D.h8c52WOngM答案C解读设ACx，CB12x，所以x(12x32，解得x8.所以P.2(2018北京设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一