439上海交通大学生物医学工程基础数字信号处理及医用传感器Word文档格式.docx

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xtxi

ii

对平稳随机过程

（τXXR=]（（[τ+txtxE=]（（[txtxEτ−=∞→Tlim

T

∫+T

dttxtx0

（（τ

实际应用常取T足够大时的估计值（ˆτXX

R

（ˆτXXR

=T

互相关

（11τ+ttRfX=∞→Nlim

xtfi

同样,对平稳随机过程有

（τfXR=]（（[τ+txtfE或（τXfR=]（（[τ+tftxE

估计值为（ˆτfXR

1∫+T

dttxtf0

（（τ（T足够大

⑶滤波与卷积

实测信号都是有效信号与噪声干扰的叠加。

为了抑制噪声,以一已知频率函数H（f与信号频谱X（f相乘,得到Y（f=H（fX（f,称为滤波。

即令原始信号通过一个频率响应为H（f的滤波器,改变信号频率成分,以消弱干扰。

设原始信号x（t↔X（f,滤波函数h（t↔H（f,则滤波后信号y（t↔Y（f=H（fX（f

y（t=

τττdtxh∫∞

∞

−−（（=x（t*h（t

滤波后信号y（t是原始信号x（t与滤波函数h（t的时域卷积。

频域分析是先用傅里叶变换求信号频谱,再从频谱中提取信息。

傅里叶变换定义如下∶

f（t=

π

21∫

∞−ωωωdeFt

j（F（ω=

∫∞

−−dte

tft

jω（

其中ω是连续频率,为独立变量,F（ω称为频谱。

对随机信号采用功率谱分析。

功率谱定义为相关函数的傅里叶变换。

如果信号是平稳的,其自功率谱（ωXXS和互功率谱（ωfXS分别定义如下∶

（ωXXS=∫∞

∞−−ττωτdeRjXX（

（ωfXS=∫∞

−−ττωτdeRjfX（

Ⅱ复变函数基础

2.1复数与复变函数

复数z=x+jy,其中x、y为任意实数,可记为x=Re[z],y=Im[z],j=1−,虚单位。

复数的代数运算

1z±

2z=（21xx±

+j（21yy±

1z2z=（11jyx+（22jyx+=（2121yyxx−+j（2112yxyx+若2zz=1z,且2z≠0,则

z=

21zz=22222121yxyyxx+++j22

222

112yxyxyx+−

复数运算满足交换律、结合律及分配律。

共轭复数*

z

*z=x-jy,（1z±

2z*=*1z±

*2z,（1z2z*=*1z*

2z

（1z/2z*=*1z/*2z,（*z*=z,z*z=22yx+=2

||z

z+*z=2Re[z],z-*

z=2jIm[z]

复数z可用复平面上的点表示,也可用由原点指向点z的向量表示。

z=rθ

je

r称为z的模,记为|z|=22yx+,幅角θ=arctg（y/x

若1z=1

1θje

r,2z=2

2θje

r,则1z2z=

（2121θθ+jerr,1z/2z=（1r/2r

（21θθ−je

nz=nrθjne,/1（nz=/1（nrnje/θ

复变函数w=f（z,其定义域为复数z的集合,一般是一个平面区域。

若以z平面上的点表示自变量z的值,而用另一个复平面w平面上的点表示函数w的值,在几何上可将函数w=f（z看作z平面上点集G变到w平面上点集G'

的映射（或变换。

对定义在G上的函数w=f（z,在G'

上存在某一函数z=φ（ω,称为w=f（z的反函数,也称为逆映射。

2.2解析函数

若函数f（z在0z及0z邻域内处处可导,则称f（z在0z点解析。

如果f（z在区域D内每一点解析,则称f（z在D内解析。

若f（z在0z不解析,0z称为f（z的奇点。

初等函数

⑴指数函数expz=z

e=jy

xe+,为周期函数,周期为2kπj。

⑵对数函数lnz=ln|z|+jθ,是指数函数的反函数。

⑶幂函数n

z,

/1（nz,互为反函数。

⑷三角函数与双曲函数cosz=（jzjzee

−+/2,sinz=（jz

jzee−−/2jchz=（zzee−+/2,sh

z=（z

zee−−/2

2.3复变函数的积分定义

∫C

dzzf（=∞

→nlim∑=∆n

kkk

zf1

（ξ

其中C为f（z定义域内的一条有向曲线,若C为闭曲线,沿此闭曲线的积分记为

C

dzzf（。

柯西积分公式:

若f（z在域D内处处解析,C为D内任意一条正向简单闭曲线,其内部

完全属于D,0z为包含在C内的任一点,则（0zf=

j

π21zzzfC

−0

（2.4级数

设{nα}={nnjba+}（n=1,2,3,…为一复数列,

表达式∑∞

=1nn

α

=1α+2α+…+nα+…称为无穷级数。

幂级数

∑∞

=0

nn

n

C=0C+zC1+22zC+…+n

nzC+…

其和函数在收敛圆内是解析函数。

任何解析函数可以展成泰勒级数,f（z=∑∞

=−0

0（nnn

zzC

nC=

!

1n（0

（zfn,n=0,1,2,…若f（z在环域1R<

|0zz−|<

2R内处处解析,则f（z=∑∞

−∞

=−nn

（0,nC=

π21

ξξξzfC

n+−10（

（（n=0,±

1,±

2,…C为环域内绕0z的任意正向简单闭曲线。

这个展开式称为罗伦级数,对一个函数来说是唯一的。

系数nC的计算可以采用代数运算、代换、求导、积分等方法。

2.5留数

若f（z在0z不解析,但在0z的某一邻域0<

δ内处处解析,则0z称为f（z的孤立奇点,可在邻域0<

δ内将f（z展成罗伦级数。

如果罗伦级数中只有有限多个0zz−的负幂项,其中关于10（−−zz的最高幂为m

zz−−

（0,则孤立奇点0z叫作f（z

的m级极点。

如果0z是f（z的极点,则0

limzz→f（z=∞。

如果f（z可表示成f（z=m

zz（0−φ（z,其中φ（z在0z解析且φ（0z≠0,m为正整数,0z叫作的m级零点。

f（z在0z的留数Res[f（z,0z]=

π21C

dzzf（

其中0z为f（z的孤立奇点,C为在0z的足够小邻域内且包含0z的任意一条正向简单闭曲线。

留数定理:

设函数f（z在区域D内除有限个奇点1z、2z、…、nz外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则

dzzf（=jπ2∑

=n

k1

Res[f（z,kz]

留数的计算规则

（1若0z为f（z的1级极点,则Res[f（z,0z]=0

limzz→（z-0zf（z

（2若0z为f（z的m级极点

Res[f（z,0z]=

1（1−m0limzz→11

−−mmdz

d{（z-0zmf（z}（3设f（z=P（z/Q（z,P（z和Q（z在0z都解析,若P（0z≠0,Q（0z=0,（0zQ′≠0,则0z为f（z的1级极点,而Res[f（z,0z]=P（0z/（0zQ′

（4Res[f（z,∞]=-Res[2

//1（zzf,0]定理:

如果函数f（z在扩充复平面内只有有限个奇点,则f（z所有各奇点（包括∞点的留数总和必为零。

即

Res[f（z,∞]+

∑

Res[f（z,kz]=0

应用这个定理,可以简化计算,避免求高阶极点留数的繁琐运算。

2.6保角映射

分式线性映射w=（az+b/（cz+d（ad-bc≠0

a、b、c、d均为常数。

给定3个条件即可决定一个分式线性映射。

定理:

在z平面上任意给定3个相异的点1z、2z、3z,在w平面上也任意给定3个相异的点

1w、2w、3w,则存在唯一的分式线性映射,将kz（k=1,2,3依次映射成kw（k=1,2,3。

这个分式线性映射是

21wwww−−:

2313wwww−−=21zzzz−−:

2

31

3zzzz−−

Ⅲ模拟滤波器设计

滤波器是对信号有频率选择性的一种网络。

滤波器能使信号通过的频带称为通带,抑制信号的频带称为阻带。

理想滤波器通带内传输函数的幅度是常数,相移特性是线性的,通过的信号波形不会失真;

阻带内传输函数幅度为零,对相位特性无特殊要求。

理想滤波器是不可实现的。

实际滤波器通带内可能有起伏或衰减,阻带内可能有微弱信号通过,通带和阻带之间有一定宽度的过渡带,只要满足给定技术指标就可以采用。

模拟滤波器按频带分类,可以分成低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。

低通滤波器的传输函数经过频率变换可以转换成高通、带通和带阻滤波器,因此设计滤波器一般是先设计低通滤波器（原型,再通过频率变换将低通转换为所需的形式。

模拟低通滤波器的技术指标一般有如下几项:

⑴通带截止频率PΩ,通带（0≤Ω≤PΩ内允许的最大波动Pα;

⑵阻带下限（起始频率SΩ,及阻带内允许的最小衰减Sα。

Pα和Sα一般以dB（分贝表示,用下式计算:

Pα=-20lg|（PajHΩ|,Sα=-20lg|（SajHΩ|

滤波器的技术指标给定以后,设计模拟滤波器的任务就是设计一个传输函数（sHa,使其满足技术指标。

可以根据幅度平方函数|（ΩjHa|2

确定（sHa,使|（sHa|逼近希望的幅度特性|（ΩjHd|。

下面介绍两种常用的模拟滤波器设计方法。

数字信号处理预备知识3.1巴特沃斯（Butterworth滤波器巴特沃斯滤波器在Ω=0处有最平响应,其幅度平方函数为|Ha（j|=1/[1+（/C22N]式中N称为滤波器阶数,|Ha（j0|=1,|Ha（jC|=1/2,C称为3dB截止频率.将|Ha（j|写成s的函数,得2Ha（sHa（s=1/[1+（s/jC2N]上式有2N个极点,sP=（-11/2N（jC=Cejπ[（1/2+（2P+1/2N]2N个极点分布在s平面半径为C的圆上.任何实际滤波器都应是稳定的,左半平面的极点属于Ha（s.巴特沃斯滤波器的传输函数为NHa（s=C/∏（ssPP=0N1只要确定C和阶数N,Ha（s就确定了.通常根据给定的技术指标P,S,αP和αS确定这两个参数,计算公式如下:

100.1αP1lgk,N≥0.1αSlgλ101若技术指标中未给出3dB截止频率C,可用下式求出λ=S/P,k=1+（P/C2N=100.1αP或1+（S/C2N=100.1αS为简化设计,常将频率对3dB截止频率归一化,即令Ha（s=1/∏（P=0N1ssPCCHa（s表达式的分母可写成多项式或因式分解形式,系数可以从表中查到,再将s换成s/C,即得实际的Ha（s.3.2切比雪夫（Chebyshev滤波器切比雪夫滤波器通带内具有等纹波特性,可以用阶数较低的系统满足要求.其幅度2平方函数为|Ha（j|=1/[1+εCN（/C]220<

ε<

1,通带内纹波系数,/C为归一化频率,C为截止频率.CN（x是N阶切比雪夫多项式,定义为cos（Ncos1xCN（x=1ch（Nchx|x|≤1|x|≥1可展成如下的多项式:

C0（x=1,C1（x=x,…,CN+1（x=2xCN（x-CN1（x当给定技术指标C,αP,S,αS时,参数N及ε可按下式求出:

6

数字信号处理预备知识λ=S/C,k=归一化的传输函数为100.1αS1ch1k0.1α,N≥1,ε=10P10.1αPchλ101Ha（s=1/[ε2极点式中N1∏（ss]ii=1Nsi=-shξsin（2i12i1π+jchξcos（π2N2N11sh1（Nε将Ha（s中s用s/C代替即得实际传输函数.ξ=3.3频率变换通过频率变换可将低通原型的传输函数转换为所需滤波器的传输函数.设低通传输函数为G（jλ,所需滤波器传输函数为H（jη,满足H（η=G（λ|λ=f（η的关系式λ=f（η称为滤波器的频率变换.根据λ,η的变化对应关系,低通到高通的变换式是H（η=G（λ|λ=1/ηλ与η均为对3dB截止频率C的归一化频率.先按给定的高通技术指标求出归一化的低通参数,设计原型G（λ,变换为H（η,将η=s/C代入得到实际的H（s.设计模拟带通滤波器时,通常给定通带下限频率l,上限频率u,阻带截止频率2S1,S2,并定义中心频率0=lu,以C=u-l作为归一化参考频率,将上述边界频率对C归一化得ηl,η0,ηu,ηS1,ηS2,令λ=（ηη0/η,设计低通原22型G（jλ.归一化低通转换到带通滤波器的变换公式是H（s=G（p|p=2s2+0s（ul其中p=jλ22同理,设计模拟带阻滤波器的频率变换关系为λ=η/（ηη0,设计出低通原型G（p,p=jλ,相应的转换公式为|H（s|=|G（p|p=sC2s+027