439上海交通大学生物医学工程基础数字信号处理及医用传感器Word文档格式.docx

1、x t x ii i对平稳随机过程（XX R =（ （+t x t x E =（ （t x t x E =T limT+Tdt t x t x 0（ （实际应用常取 T 足够大时的估计值 （XXR（XX R=T互相关, （11+t t R fX =N limx t f i同样,对平稳随机过程有（fX R =（ （+t x t f E 或 （Xf R =（ （+t f t x E估计值为 （fX R1+Tdt t x t f 0（ （ （T 足够大滤波与卷积实测信号都是有效信号与噪声干扰的叠加。为了抑制噪声,以一已知频率函数 H （f 与信号频谱 X （f 相乘,得到 Y （f =H （f X

2、（f ,称为滤波。即令原始信号通过一个频率响应 为 H （f 的滤波器, 改变信号频率成分, 以消弱干扰。 设原始信号 x （t X （f , 滤波函数 h （t H （f ,则滤波后信号 y （t Y （f = H （f X （f y （t =d t x h （ （= x （t *h （t 滤波后信号 y （t 是原始信号 x （t 与滤波函数 h （t 的时域卷积。频域分析是先用傅里叶变换求信号频谱,再从频谱中提取信息。傅里叶变换定义如 下f （t =21d e F tj （ F （ =dt et f tj （其中 是连续频率,为独立变量, F （ 称为频谱。对随机信号采用功率谱分析。功率

3、谱定义为相关函数的傅里叶变换。如果信号是平 稳的,其自功率谱 （XX S 和互功率谱 （fX S 分别定义如下（XX S =d e R j XX （fX S =d e R j fX （ 复变函数基础2.1 复数与复变函数复数 z=x+jy,其中 x 、 y 为任意实数,可记为 x=Rez ,y=Imz , j=1,虚单位。 复数的代数运算1z 2z = （21x x +j （21y y 1z 2z = （11jy x + （22jy x += （2121y y x x +j （2112y x y x + 若 2z z =1z ,且 2z 0,则z=21z z =22222121y x y y

4、x x +j 22222112y x y x y x +复数运算满足交换律、结合律及分配律。共轭复数 *z*z =x-jy , （1z 2z *=*1z *2z , （1z 2z *=*1z *2z（1z /2z *=*1z /*2z , （*z *= z , z *z =22y x +=2|zz +*z =2Re z , z -*z =2jIm z 复数 z 可用复平面上的点表示,也可用由原点指向点 z 的向量表示。 z = r j er 称为 z 的模,记为 |z |=22y x +, 幅角 = arctg（y /x 若 1z =11j er , 2z =22j er ,则 1z 2z =

5、（2121+j e r r , 1z /2z =（1r /2r （21j en z =n r jn e , /1（n z = /1（n r n j e /复变函数 w=f （z ,其定义域为复数 z 的集合,一般是一个平面区域。若以 z 平面上的点 表示自变量 z 的值,而用另一个复平面 w 平面上的点表示函数 w 的值,在几何上可将函数 w=f （z 看作 z 平面上点集 G 变到 w 平面上点集 G 的映射（或变换。对定义在 G 上的函数 w=f （z ,在 G 上存在某一函数 z=（ , 称为 w=f （z 的反函数,也称为逆映射。2.2 解析函数若函数 f （z 在 0z 及 0z 邻

6、域内处处可导,则称 f （z 在 0z 点解析。如果 f （z 在区域 D 内每 一点解析,则称 f （z 在 D 内解析。若 f （z 在 0z 不解析, 0z 称为 f （z 的奇点。 初等函数指数函数 exp z =ze =jyx e +,为周期函数,周期为 2k j 。 对数函数 ln z = ln |z| +j,是指数函数的反函数。 幂函数 nz , /1（n z ,互为反函数。 三角函数与双曲函数 cos z = （jz jz e e+/2, sin z = （jzjz e e /2j ch z = （z z e e +/2, shz = （zz e e /22.3 复变函数的积分

7、 定义Cdz z f （=n lim =nk k kz f 1（其中 C 为 f （z 定义域内的一条有向曲线, 若 C 为闭曲线, 沿此闭曲线的积分记为Cdz z f （。柯西积分公式:若 f （z 在域 D 内处处解析, C 为 D 内任意一条正向简单闭曲线, 其内部完全属于 D , 0z 为包含在 C 内的任一点,则 （0z f =j21z z z f C0（ 2.4 级数设 n =n n jb a + （n =1,2,3, 为一复数列,表达式 =1n n=1+2+n + 称为无穷级数。幂级数=0n nnC =0C +z C 1+22z C +nn z C +其和函数在收敛圆内是解析函数

8、。 任何解析函数可以展成泰勒级数, f （z =00 （n n nz z C,n C =!1n （0（z f n , n =0,1,2, 若 f （z 在环域 1R |0z z |2R 内处处解析,则 f （z =n n（0, n C =21z f Cn +10 （ （n = 0,1, 2, C 为环域内绕 0z 的任意正向简单闭曲线。这个展开式称为罗伦级数,对一个函数来说是唯一的。系数 n C 的计算可以采用代数 运算、代换、求导、积分等方法。2.5 留数若 f （z 在 0z 不解析,但在 0z 的某一邻域0内处处解析,则 0z 称为 f （z 的 孤立奇点,可在邻域 0内将 f （z 展

9、成罗伦级数。如果罗伦级数中只有有限多 个 0z z 的负幂项,其中关于 10 （z z 的最高幂为 mz z （0,则孤立奇点 0z 叫作 f （z 的 m 级极点。如果 0z 是 f （z 的极点,则 0lim z z f （z =。如果 f （z 可表示成 f （z =mz z （0（z ,其中 （z 在 0z 解析且 （0z 0, m 为正整数, 0z 叫作的 m 级零点。f（z在 0z 的留数 Res f （z , 0z =21Cdz z f （其中 0z 为 f （z 的孤立奇点, C 为在 0z 的足够小邻域内且包含 0z 的任意一条正向简单闭曲 线。留数定理:设函数 f （z 在

10、区域 D 内除有限个奇点 1z 、 2z 、 n z 外处处解析, C 是 D 内 包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则dz z f （=j 2=nk 1Res f （z , k z 留数的计算规则（1若 0z 为 f （z 的1级极点,则 Res f （z , 0z =0lim z z （z-0z f （z （2若 0z 为 f （z 的 m 级极点Res f （z , 0z = 1（1m 0lim z z 11m m dzd （z-0z m f （z （3设 f （z =P （z /Q （z , P （z 和 Q （z 在 0z 都解析,若 P （0z 0,Q （0z =0, （0z Q 0

11、,则 0z 为 f （z 的1级极点,而 Res f （z , 0z =P （0z / （0z Q （4 Res f （z , = - Res 2/ /1（z z f ,0 定理:如果函数 f （z 在扩充复平面内只有有限个奇点, 则 f （z 所有各奇点 （包括点 的留数总和必为零。即Res f （z , +Res f （z , k z = 0应用这个定理,可以简化计算,避免求高阶极点留数的繁琐运算。2.6 保角映射分式线性映射 w=（az+b/（cz+d （ad-bc 0a 、 b 、 c 、 d 均为常数。给定3个条件即可决定一个分式线性映射。定理:在 z 平面上任意给定3个相异的点 1

12、z 、 2z 、 3z ,在 w 平面上也任意给定3个相异的点1w 、 2w 、 3w ,则存在唯一的分式线性映射,将 k z （k =1,2,3依次映射成 k w （k =1,2,3。这个分式线性映射是21w w w w :2313w w w w = 21z z z z :2313z z z z 模拟滤波器设计滤波器是对信号有频率选择性的一种网络。滤波器能使信号通过的频带称为通带, 抑制信号的频带称为阻带。理想滤波器通带内传输函数的幅度是常数,相移特性是线性 的,通过的信号波形不会失真;阻带内传输函数幅度为零,对相位特性无特殊要求。理 想滤波器是不可实现的。实际滤波器通带内可能有起伏或衰减,

13、阻带内可能有微弱信号 通过,通带和阻带之间有一定宽度的过渡带,只要满足给定技术指标就可以采用。 模拟滤波器按频带分类,可以分成低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤 波器。低通滤波器的传输函数经过频率变换可以转换成高通、带通和带阻滤波器,因此 设计滤波器一般是先设计低通滤波器 （原型 ,再通过频率变换将低通转换为所需的形式。 模拟低通滤波器的技术指标一般有如下几项:通带截止频率 P ,通带 （0 P 内允许的最大波动 P ; 阻带下限 （起始 频率 S ,及阻带内允许的最小衰减 S 。P 和 S 一般以 dB（分贝 表示,用下式计算:P = -20lg| （P a j H |, S = -

14、20lg | （S a j H |滤波器的技术指标给定以后, 设计模拟滤波器的任务就是设计一个传输函数 （s H a , 使其满足技术指标。可以根据幅度平方函数 | （j H a |2确定 （s H a ,使 | （s H a |逼近希 望的幅度特性 | （j H d |。下面介绍两种常用的模拟滤波器设计方法。数字信号处理预备知识 3.1 巴特沃斯（Butterworth滤波器 巴特沃斯滤波器在=0处有最平响应,其幅度平方函数为 | H a （ j | =1/1+（ / C 2 2N 式中N称为滤波器阶数,| H a （ j 0 |=1, | H a （ j C |=1/ 2 , C 称为3d

15、B截止频率.将 | H a （ j | 写成s的函数,得 2 H a （ s H a （ s =1/1+（ s / j C 2 N 上式有2N个极点, s P =（-1 1/ 2 N （ j C = C e j （1 / 2 + （ 2 P +1 / 2 N 2N个极点分布在s平面半径为 C 的圆上. 任何实际滤波器都应是稳定的,左半平面的极点属于 H a （ s .巴特沃斯滤波器的传输函 数为 N H a （ s = C / （ s sP P =0 N 1 只要确定 C 和阶数N, H a （s 就确定了.通常根据给定的技术指标 P , S , P 和 S 确定这两个参数,计算公式如下: 1

16、0 0.1 P 1 lg k , N0.1 S lg 10 1 若技术指标中未给出3dB截止频率 C ,可用下式求出 = S / P , k= 1+（ P / C 2N = 10 0.1 P 或 1+（ S / C 2N = 10 0.1 S 为简化设计,常将频率对3dB截止频率归一化,即令 H a （s = 1/ （ P =0 N 1 s s P C C H a （s 表达式的分母可写成多项式或因式分解形式,系数可以从表中查到,再将s换 成s/ C ,即得实际的 H a （s . 3.2 切比雪夫（Chebyshev滤波器 切比雪夫滤波器通带内具有等纹波特性,可以用阶数较低的系统满足要求.其

17、幅度 2 平方函数为 | H a （ j | =1/1+ C N （ / C 2 2 0 1,通带内纹波系数, / C 为归一化频率, C 为截止频率. C N （x 是N阶切比雪 夫多项式,定义为 cos（ N cos 1 x C N （x = 1 ch （ Nch x | x | 1 | x | 1 可展成如下的多项式: C0 （ x =1, C1 （ x = x, C N +1 （ x = 2 xC N （ x - C N 1 （ x 当给定技术指标 C , P , S , S 时,参数N及 可按下式求出: 6 数字信号处理预备知识 = S / C , k = 归一化的传输函数为 10

18、0.1 S 1 ch 1k 0.1 , N 1 , = 10 P 1 0.1 P ch 10 1 H a （s =1/ 2 极点 式中 N 1 （s s i i =1 N si = - sh sin（ 2i 1 2i 1 +j ch cos（ 2N 2N 1 1 sh 1 （ N 将 H a （s 中s用s/ C 代替即得实际传输函数. = 3.3 频率变换 通过频率变换可将低通原型的传输函数转换为所需滤波器的传输函数.设低通传输 函数为 G （ j ,所需滤波器传输函数为 H （ j ,满足H（ =G（| = f （ 的关系式=f （ 称为滤波器的频率变换. 根据, 的变化对应关系,低通到高

19、通的变换式是 H（ =G（| =1 / 与 均为对3dB截止频率 C 的归一化频率.先按给定的高通技术指标求出归一化的低 通参数,设计原型G（,变换为H（ ,将 =s/ C 代入得到实际的H（s. 设计模拟带通滤波器时,通常给定通带下限频率 l ,上限频率 u ,阻带截止频率 2 S 1 , S 2 ,并定义中心频率 0 = l u ,以 C = u - l 作为归一化参考频率,将上 述边界频率对 C 归一化得 l ,0 ,u , S 1 , S 2 ,令= （ 0 / ,设计低通原 2 2 型 G （ j .归一化低通转换到带通滤波器的变换公式是 H（s=G（p| p = 2 s 2 + 0 s （ u l 其中 p=j 2 2 同理,设计模拟带阻滤波器的频率变换关系为= /（ 0 ,设计出低通原型 G（p,p=j,相应的转换公式为 |H（s|= |G（p| p = s C 2 s + 0 2 7