北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案.docx

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北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案

北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案

1因式分解

【知识与技能】

使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力.

【过程与方法】

认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.

【情感态度】

培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.

【教学重点】

因式分解的概念.

【教学难点】

难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.

一.情景导入，初步认知

下题简便运算怎样进行？

问题1：

736×95+736×5

问题2：

-2.67×132+25×2.67+7×2.67

【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫.

二.思考探究，获取新知

问题：

（1）993-99能被99整除吗？

为了回答这个问题，你该怎样做？

把你的想法与同学交流。

993-99=99×992-99=99（992-1）

∴993-99能被99整除.

（2）993-99能被100整除吗？

为了回答这个问题，你该怎样做？

把你的想法与同学交流。

小明是这样做的：

993-99=99×992－99×1=99（992－1）=99（99+1）（99-1）=99×98×100

所以993-99能被100整除.

想一想：

（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？

（2）请你说明小明每一步的依据.

（3）993-99还能被哪些正整数整除？

为了回答这个问题，你该怎做？

【教学说明】

老师点拨：

回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？

【归纳结论】

以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.

可以了解:

993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.

将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?

学生探究发现：

用a表示任意一个大于1的整数，则：

a3-a=a×a2-a=a×（a2-1）=a×（a+1）（a-1）=（a-1）×a×（a+1）

1能理解吗?

你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？

2这样变形是为了达到什么样的目的？

【教学说明】

经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性.

【归纳结论】

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.

三.运用新知，深化理解

1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；

（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；

（3）a2－4=（a+2）（a－2）；

（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.

答案：

（2）（3）是因式分解.

2.试将下列各式化成几个整式的积的形式

（1）3x2-2x=______-

（2）m2-4n2=____

答案：

（1）x（3x-2）

（2）（m+2n）（m-2n）

3.分解因式.

4m2-4m=______2a3+2a=______y2+4y+4=______

答案：

4m（m-1）2a（a2+1）（y+2）2

4.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2的值为.

答案：

210.

5.如果a-3b=-3,那么5-a+3b的值是（）

A.0B.2C.5D.8

答案：

D.6.9993-999能被998整除吗？

能被1000整除吗？

解：

9993-999=999（9992-1）=999（999+1）（999-1）=999×1000×998所以9993-999能被998整除，能被1000整除。

【教学说明】

通过练习，使学生理解因式分解与整式乘法的区别.

四.师生互动，课堂小结

1.你能说说什么是分解因式吗？

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。

2.应该怎样认识“因式分解”？

（分解因式与整式乘法是互逆过程.）

3.分解因式要注意以下几点：

分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.

五.教学板书

布置作业:

教材“习题4.1”中第1、2题.

根据课下学生的反馈情况来看，本节课的教学设计基本上达到了预期的目的.学生对因式分解有了清晰的认识,理解了因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并基本掌握了这种关系寻求因式分解的方法．还有个别学生虽然会判断哪些是因式分解，但在寻求因式分解的方法上还存在一定的困难.在下一课时，我将针对本课时所反馈的情况，调整侧重点，争取让所有的学生能对因式分解有更进一步的学习.

2提公因式法

第1课时公因式为单项式的因式分解

【知识与技能】

理解公因式和提公因式法的概念，会用提公因式法进行公因式为单项式的因式分解.

【过程与方法】

通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想.

【情感态度】

通过对公因式是单项式的因式分解的教学，体会提公因式法.

【教学重点】

掌握提公因式法的一般步骤.

【教学难点】

用提公因式法分解公因式为单项式的多项式.

一.情景导入，初步认知

采用什么方法？

依据是什么？

【教学说明】

由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解，从提取的公因式是一个单项式，进一步发展学生的类比思想.

二.思考探究，获取新知

1.多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？

多项式3x2+x呢？

多项式mb2+nb-b呢？

【归纳结论】多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．

2.多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？

那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？

【归纳结论】

（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；

（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．

3.将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：

（1）ab+ac

（2）x2+4x

（3）mb2+nb-b

【归纳结论】

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

【教学说明】

由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力.

三.运用新知，深化理解

1.见教材P95例1.

2.因式分解：

3x（x－2）－（2－x）

解：

3x（x－2）－（2－x）=3x（x－2）+（x－2）=（x－2）（3x+1）

3.计算：

（－2）11+（－2）10的结果是（）

A.2100B.－210C.－2D.－1

答案：

B.

【教学说明】

四.师生互动，课堂小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

五.教学板书

布置作业:

教材“习题4.2”中第1、2题.

本课时运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提取公因式法时，由提公因数到找公因式，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解.

第2课时公因式为多项式的因式分解

【知识与技能】

让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解.

【过程与方法】

通过多项式因式分解，领悟把公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律.

【情感态度】

通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识.

【教学重点】

用提公因式法把多项式分解因式.

【教学难点】

准确找出公因式，并能找出公因式.

一.情景导入，初步认知

1.公因式的定义.

2.把下列各式分解因式.

（1）8mn2+2mn

（2）a2b-5ab+9b

（3）-3ma3+6ma2-12ma

（4）-2x3+4x2-8x

【教学说明】回顾上一课时提取单项式公因式的方法的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础，以板演的形式让学生回忆提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤.

二.思考探究，获取新知

探究：

因式分解：

（1）a（x-3）+2b（x-3）

（2）y（x+1）+y2（x+1）2

【教学说明】引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取多项式公因式.由于题中很明显地表明，多项式中的两项都存在着（x-3），通过观察，学生较容易找到第一题公因式是（x-3），而第二题公因式是y（x+1），并能顺利地进行因式分解.

三.运用新知，深化理解

1.见教材P97例2、例3.

2.因式分解：

3x（x－2）－（2－x）

解：

3x（x－2）－（2－x）=3x（x－2）+（x－2）=（x－2）（3x+1）

3.因式分解a（a－b）3+2a2（b－a）2－2ab（b－a）2

解：

原式=a（a－b）3+2a2（a－b）2－2ab（a－b）2

=a（a－b）2［（a－b）+2a－2b］

=a（a－b）2（3a－3b）

=3a（a－b）3

4.已知x、y都是正整数，且x（x－y）－y（y－x）=12，求x、y.

解：

∵x（x－y）－y（y－x）=12∴（x－y）（x+y）=12

∵x、y是正整数∴12分解成1×12，2×6，3×4

又∵x－y与x+y奇偶性相同，且x－y

【教学说明】这个问题的关键是把式子化成两个式子相乘的形式，而且要找出12的约数.

四.师生互动，课堂小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

五.教学板书

布置作业:

教材“习题4.3”中第1、2题.

学生们通过本节课的学习已经能准确的找出公因式，并用提公因式法分解因式，但是在学习的过程中，我发现学生们还存在以下几个不足之处：

1.因式分解结果的书写不符合代数式的书写规范.当结果是几个因式的积时，应把单项式写在前面，多项式写在后面.

2.因式分解最后的结果应该以最简的形式展现，有相同因式的，要写成幂的形式.提公因式后，还有同类项的，一定要合并.

3.提取公因式一定要一次性提取完整，不能只看相同的因式，也要注意系数，应该取各项系数的最大公约数.

4.遇到互为相反数的因式有的学生不能很好的处理.遇到互为相反数的项，先转化，再提公因式，转化原则：

变后不变前,变偶不变奇,变少不变多.

3公式法

第1课时用平方差公式进行因式分解

【知识与技能】会用平方差公式进行因式分解.

【过程与方法】经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性.

【情感态度】在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.

【教学重点】掌握公式法中的平方差公式进行分解因式.

【教学难点】灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式,正确判断因式分解的彻底性.

一.情景导入，初步认知

填空：

（1）（x+5）（x-5）=________；

（2）（3x+y）（3x-y）=________；

（3）（3m+2n）（3m-2n）=________________

它们的结果有什么共同特征？

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：

x