圆锥曲线高考题汇编理科Word格式文档下载.docx
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圆内的点都不是“C1—C2型点”.
【答案】:
（1）C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为;
（2）直线与C2有交点,则
若方程组有解,则必须;
直线与C2有交点,则
若方程组有解,则必须
故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.
（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在;
根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则
直线与圆内部有交点,故
化简得,............①
若直线与曲线C1有交点,则
化简得,.....②
由①②得,
但此时,因为,即①式不成立;
当时,①式也不成立
综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,
即圆内的点都不是“C1-C2型点”.
34．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为.分别将线段和十等分,分点分别记为和,连结,过做轴的垂线与交于点.
（1）求证:
点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;
（2）过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面积比为,求直线的方程.
（Ⅰ）依题意,过且与x轴垂直的直线方程为
直线的方程为
设坐标为,由得:
即,
都在同一条抛物线上,且抛物线方程为
（Ⅱ）依题意:
直线的斜率存在,设直线的方程为
由得
此时,直线与抛物线恒有两个不同的交点
设:
则
又,
分别带入,解得
直线的方程为,即或
35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点A,B,相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N（M,N为圆心）的公共弦所在的直线记为.
（I）若,证明;
;
（II）若点M到直线的距离的最小值为,求抛物线E的方程.
36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点
（1）求椭圆的方程;
（2）求面积取最大值时直线的方程.
（Ⅰ）由已知得到,且,所以椭圆的方程是;
（Ⅱ）因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦;
由,所以
所以
当时等号成立,此时直线
37．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题（21）图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,.
（1）求该椭圆的标准方程;
（2）取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程.
38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设椭圆的焦点在轴上
（Ⅰ）若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;
（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:
当变化时,点在某定直线上.
（Ⅰ）.
（Ⅱ）.
由.
所以动点P过定直线.
39．（2013年高考新课标1（理））已知圆:
圆:
动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求C的方程;
（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
【答案】由已知得圆的圆心为（-1,0）,半径=1,圆的圆心为（1,0）,半径=3.
设动圆的圆心为（,）,半径为R.
（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆（左顶点除外）,其方程为.
（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（,）,由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为（2,0）时,R=2.
∴当圆P的半径最长时,其方程为,
当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.
当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q（-4,0）,∴设:
由于圆M相切得,解得.
当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.
当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,
综上,|AB|=或|AB|=.
40．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
（Ⅱ）设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若,求k的值.
【答案】
41．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.
（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点）,设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:
是否存在常数,使得?
若存在求的值;
若不存在,说明理由.
（1）由在椭圆上得,①
依题设知,则②
②代入①解得.
故椭圆的方程为.
（2）方法一:
由题意可设的斜率为,
则直线的方程为③
代入椭圆方程并整理,得,
设,则有
④
在方程③中令得,的坐标为.
从而.
注意到共线,则有,即有.
所以
⑤
④代入⑤得,
又,所以.故存在常数符合题意.
方法二:
设,则直线的方程为:
令,求得,
从而直线的斜率为,
联立,得,
则直线的斜率为:
直线的斜率为:
所以,
故存在常数符合题意.
42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:
的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
（Ⅰ）求抛物线的方程;
（Ⅱ）当点为直线上的定点时,求直线的方程;
（Ⅲ）当点在直线上移动时,求的最小值.
（Ⅰ）依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.
所以抛物线的方程为.
（Ⅱ）抛物线的方程为,即,求导得
设,（其中）,则切线的斜率分别为,,
所以切线的方程为,即,即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点,所以,
所以为方程的两组解.
所以直线的方程为.
（Ⅲ）由抛物线定义可知,,
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得,
又点在直线上,所以,
所以当时,取得最小值,且最小值为.
43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为.
（Ⅰ）求的方程;
（Ⅱ）为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.
44．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,.记,和的面积分别为和.
（I）当直线与轴重合时,若,求的值;
（II）当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?
并说明理由.
（I）,
解得:
（舍去小于1的根）
（II）设椭圆,,直线:
同理可得,
又和的的高相等
如果存在非零实数使得,则有,
即:
解得
当时,,存在这样的直线;
当时,,不存在这样的直线.
45．（2013年高考北京卷（理））已知A、B、C是椭圆W:
上的三个点,O是坐标原点.
（I）当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
（II）当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
（I）椭圆W:
的右顶点B的坐标为（2,0）.因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A（1,）,代入椭圆方程得,即.所以菱形OABC的面积是.
（II）假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为.
由消去并整理得.
设A,C,则,.
所以AC的中点为M（,）.
因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为.
因为,所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.
46．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A（4,0）,且在y轴上截得的弦MN的长为8.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程;
（Ⅱ）已知点B（-1,0）,设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线过定点.
（Ⅰ）A（4,0）,设圆心C
（Ⅱ）点B（-1,0）,.
直线PQ方程为:
所以,直线PQ过定点（1,0）
47．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为（为原点时,重合于）,切线的斜率为.
（I）求的值;
（II）当在上运动时,求线段中点的轨迹方程.
48．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为直线与的两个交点间的距离为.
（I）求;
（II）设过的直线与的左、右两支分别相交于两点,且,证明:
成等比数列.
49．（2013年上海市春季高考数学试卷（含答案））本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
已知抛物线的焦点为.
（1）点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程;
（2）在轴上是否存在点,使得点关于直线的对称点在抛物线上?
如果存在,求所有满足条件的点的坐标;
如果不存在,请说明理由.
（1）设动点的坐标为,点的坐标为,则,
因为的坐标为,所以,
由得.
即解得
代入,得到动点的轨迹方程为.
（2）设点的坐标为.点关于直线的对称点为,
则解得
若在上,将的坐标代入,得,即或.
所以存在满足题意的点,其坐标为和.
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