中考复习之统计与概率.docx
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中考复习之统计与概率
概率统计
知识要点
一、统计
1．总体与样本：
所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分各题叫做总体的一个样本，样本中各题数目叫做样本的容量。
例如：
全班同学的身高数据构成一个总体，其中每一个同学的身高叫做个体，现取出10个同学的身高进行研究，这10个同学的身高数据就是全班同学身高数据这个总体的一个样本，10就是这个样本的样本容量。
2．众数，中位数
众数：
一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数。
例如：
10，11，15，11，13，12，15，10，11，11，15这一组数据中，11出现了4次，次数最多，所以11就是这组数据的众数。
中位数：
将一组数据按从大到小的顺序依次排列，处在最中间位置的数据叫做中位数；需要注意的是，如果数据的个数是偶数个，则中位数是中间两个数字的算术平均值。
例如：
18，17，15，13，13，10这一组数据中，因为数据的个数是偶数个，所以中位数是中间两个数的算术平均值，就是15和13的平均数14。
3．求平均数的两个公式
（1）个数、……的平均数为：
；
（2）如果在个数中，出现了次，出现了次……出现了次，则这组数据的平均数为：
。
4．极差与方差
（1）一组数据中，用这组数据的最大值减去最小值所得的差就是极差，极差是用来反映这组数据的变化范围的统计量，即：
极差=最大值-最小值；
（2）一组数据的方差为：
方差是用来表示一组数据的集中程度的统计量。
5．常用统计图
（1）扇形统计图：
扇形统计图中的圆心角等于这部分所占总体的比例乘以360°；
（2）条形统计图
（3）折线统计图
６．频数和频率
⑴频数：
每个对象出现的次数
⑵频率：
每个对象出现的次数与总次数的比值
⑶频数、频率均能反映每个对象出现的频繁程度．
二、概率
1．概率的定义
表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事物的概率，可记作“P”．
2．可能还是确定
⑴“不可能”发生：
指每次都完全没有机会发生，即发生的机会是０．
⑵“必然”发生：
指每次一定发生，即发生的机会是１００％．
⑶可能发生：
指有时会发生，有时不会发生，即发生的机会介于０和１００％之间，但不包括０和１００％．
⑷“不太可能”：
指发生的机会很小，可以小到很小，但仍然会发生，即它的可能性不是０．
3．估计随机事件发生的概率的方法
⑴通过多次重复试验的方法；
⑵通过逻辑分析用列举法（包括列表、画树状图）计算的方法．
4．频率与概率的关系
频率与概率在实验可以非常接近，但不一定相等．
5．实例
⑴投针实验
投针实验力图使学生通过亲身的实验、统计过程获得用实验方法估计复杂事件发生的概率的体验，使扎实的认识到当实验次数较大时实验频率稳定于理论概率，但在投针实验中须注意要从一定高度随意抛针，保证投针的随机性．
⑵游戏公平吗
看一个游戏是否公平，只要看游戏的双方是否各有５０％赢的机会，如果不是，那么这个游戏就是不公平的，要想使它变成公平，就要修改游戏规则．
一个公平的游戏，出现双方可能性的机率是相等的．
有的游戏可以通过试验，也可以用列表的形式进行穷举．
典例解析
1.（2011广东广州市，22，12分）某中学九年级（3）班50名学生参加平均每周上网时间的调查，由调查结果绘制了频数分布直方图（图6），根据图中信息回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）用列举法求以下事件的概率：
从上网时间在6~10小时的5名学生中随机选取2人，其中至少1人的上网时间在8~10小时．
解：
（1）a=50－6－25－3－2=14
（2）设上网时间为6~8小时的三个学生为A1，A2，A3，上网时间为8~10个小时的2名学生为B1，B2，则共有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，
A2A3，A2B1，A2B2
A3B1，A3B2
B1B2
10种可能，其中至少1人上网时间在8~10小时的共有7种可能，故
P（至少1人的上网时间在8~10小时）=0.7
2.（2011四川南充市，16，6分）在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4.随机地摸取出一张纸牌然后放回，在随机摸取出一张纸牌.
（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；
（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜。
这是个公平的游戏吗？
请说明理由.
解：
用树状图法
第一次：
1234
1234123412341234
和2345345645675678
解法二：
列表法
列表如下：
甲乙
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
.3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等.
（1）两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P（A）==
（2）这个游戏公平，理由如下：
两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P（B）==
两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有8个，P（C）==
两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平.
3.（2011宁波市，20，6分）在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球1个，摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，请用列表或树形图法求两次都摸到红球的概率．
【答案】解：
树形图如下：
列表如下：
白
黄
红
白
白白
白黄
白红
黄
黄白
黄黄
黄红
红
红白
红黄
红红
则P（两次都摸到红球）＝．
4.（2011浙江衢州，20,6分）
研究问题：
一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球于黄球.这样估算不同颜色球的数量？
操作方法：
先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，在进行摸球实验.摸球实验的要求：
先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中再继续.
活动结果：
摸球实验活动一共做了50次，同级结果如下表：
球的颜色
无记号
有记号
红色
黄色
红色
黄色
摸到的次数
18
28
2
2
推测计算：
有上述的摸球实验可推算：
盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
盒中有红球多少个？
解：
（1）由题意可知；50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球30次，
所以红球所占百分比为
黄球所占百分比为
答：
红球占黄球占
（2）由题意可知，50次摸球实验活动中，出现有记号的球4次，所以总球数为。
所以红球数为。
答：
盒中红球有40个。
跟踪训练
1.（2011广东东莞，4，3分）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（）
A．B．C．D．
2.（2011福建福州，8，4分）从1,2,-3三个数中,随机抽取两个数相乘,积是正数的概率是（）
A．0B．C．D．1
3.（2011山东滨州，4，3分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（）
A.B.C.D.1
4.（2011山东日照，8，3分）两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为（）
（A） （B） （C）（D）
5.（2011山东泰安，16，3分）袋中装有编号为1，2，3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号后，放入袋中搅匀，再从袋中随机取出一球，两次所取球的编号相同的概率为
A.B.C.D.
6（2011浙江金华，14，4分）从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是.
7.（2011浙江省舟山，12，4分）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是 ．
8.（2011福建福州，12，4分）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为:
.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上,则落在陆地上的概率是.
9.（2011山东德州15,4分）在4张卡片上分别写有1~4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是
10.（2011山东菏泽，13，3分）从－2、－1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是．
11.（2011山东济宁，14，3分）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是.
12.（2011山东泰安，24，3分）甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表，其中乙的第5次成绩的个位数字被污损
则乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是。
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
90
88
87
93
92
乙
84
87
85
98
9
13.（2011山东烟台，15,4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是.
14（2011浙江温州，21，10分）一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个球是白球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；
（3）现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值．
15.（2011四川重庆，23，10分）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？
并将该条形统计图补充完整；
（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．
16．（2011江西，18，6分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，
⑴请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
⑵若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率。
17.（2011福建泉州，22，9分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y.
（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数的图象上的概率；
（3）求小明、小华各取一次小球所确定的数x、y满足的概率.
高效培优
1.（2011浙江绍兴，7，4分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为（
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