与圆有关的最值取值范围问题附详细答案.docx

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与圆有关的最值取值范围问题附详细答案

与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案

1.在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．

2.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．

（1）求证：

AE=b+a；

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是关于x的方程：

x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．

3.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，

P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（）.A．3B．6C．D．

4.如图，A点的坐标为（﹣2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P（m，n）为⊙A上的一个动点，请探索n+m的最大值．

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.

6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=．其运动过程是：

点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．

（1）当PC=　　时，CQ与⊙O相切；此时CQ=　　．

（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；

（3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长．

（4）在点P的运动过程中，线段CQ长度的取值范围为。

7.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为．

8.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是　．

9．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则当x=时，PD•CD的值最大，且最大值是为.

10．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）.

A.4B.C.D.2

11．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B，线段AB长度的最小值是.

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是.

13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是.

14．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（　　）A．B．C．3D．2

15.（2015•）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），交y轴于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；

（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

16.如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．

（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）求线段CD长的最小值；

（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为　　．

17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（）.

（A）4（B）（C）（D）

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）.

A．B．C．5D．

19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．

20．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为（）.A.B.C.3D.4

21．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是.

参考答案

引例1.解：

C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：

OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，

∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC==，

随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，

∴tan∠BOC≥，故答案为：

m≥．

引例1图引例2图

引例2.；

原题：

（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．

（1）求证：

AE=b+a；

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是关于x的方程：

x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．

【考点】圆的综合题．

【分析】

（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；

（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2=

a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；

（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围．

【解答】解：

（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，

∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；

（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，

∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，

故a+b的最大值为，

（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，

∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），

当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，

当m=﹣（b+a）时，由

（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，

∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．

【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．

引例3.解：

连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，

∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．

∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，

∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：

D。

【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE与AP之间的关系，再解决切线的性质来解决问题．本题属于中等难度题，难点在于找到DE与半径AP之间的关系，只有找到DE与AP之间的关系，才能说明当A、O、P三点共线时DE最大．

引例3图

例一、斜率运用

【考点】切线的性质；坐标与图形性质．【专题】探究型．

【分析】设m+n=k，则点P（m，n）在直线x+y=k上，易得直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为（0，k），于是可判断当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时，k的值最大；直线y=﹣x+k与x轴交于点C，切⊙A于P，作PD⊥x轴于D，AE⊥PD于E，连接AB，如图，则C（k，0），利用直线y=﹣x+k的性质易得∠PCD=45°，则△PCD为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，所以四边形ABDE为矩形，∠APE=45°，则DE=AB=1，PE=AP=，所以PD=PE+DE=+1，然后在Rt△PCD中，利用PC=PD得到2+k=（+1），解得k=﹣1，从而得到n+m的最大值为﹣1．

【解答】解：

设m+n=k，则点P（m，n）在直线x+y=k上，当x=0时，y=k，即直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为（0，k），所以当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时，k的值最大，

直线y=﹣x+k与x轴交于点C，切⊙A于P，作PD⊥x轴于D，AE⊥PD于E，连接AB，如图，

当y=0时，﹣x+k=0，解得x=k，则C（k，0），∵直线y=﹣x+k为直线y=﹣x向上平移k个单位得到，∴∠PCD=45°，∴△PCD为等腰直角三角形，∵CP和OB为⊙A的切线，∴AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，∴四边形ABDE为矩形，∠APE=45°，∴DE=AB=1，

∵△APE为等腰直角三角形，∴PE=AP=，∴PD=PE+DE=+1，在Rt△PCD中，∵PC=PD，∴2+k=（+1），解得k=﹣1，∴n+m的最大值为﹣1．

【点评】本题考查了切线的性质：

圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定直线y=﹣x+k与⊙A相切时n+m的最大值．

例二、圆外一点与圆的最近点、最远点

1.解：

作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB===5，

∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE=AB=．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME=AD=1．∴在△CEM中，﹣1≤CM≤+1，即≤CM≤．故答案是：

≤CM≤．

2.

（1）；

（2）；

变式题：

（2011•邯郸一模）如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，t