电力系统专业课程设计牛顿拉夫逊法潮流计算文档格式.docx
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电力系统分析潮流计算
一、潮流计算基本原理
电力系统是由发电机、变压器、输电线路及负荷等构成，苴中发电机及负荷是非线性元件，但在进行潮流计算时，普通可以用接在相应节点上一种电流注入量来代表。
因而潮流计算所用电力网络系由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所构成，并用集中参数表达串联或并联等值支路来模仿。
结合电力系统特点，对这样线性网络进行分析，普通采用是节点法，巧点电压与节点电流之间关系
（1-1）
j=YV
其展开式为
将式（1-3）代入式（1-2）得到
交流电力系统中复数电压变量可以用两种极坐标来表达
Yn’j
将式（1-6）.式（1-7）代入以导纳矩阵为基本式（1一4）,并将实部与虚某些开，可以得到如下两种形式潮流方程。
潮流方程直角坐标形式为
P,=勺工9“勺_◎/；
）+£
工（G/+竝勺）（Z=1,2,3,…屮）（1-8）
Q=f,工（G泸j-3』）f为（G/+坊勺）a=1,2,3,…（1-9）
潮流方程极坐标形式为
R=匕》匕（G»
cos©
+B.sin0）（/=1,2,3,••（1一10）
Qi=匕》V；
（G,sin0.-B3cosq）（/=1,2,3,…,”）（1-11）
以上各式中，j门表达工号后标号门丫点必要直接和肖点r相联，并涉及）=,状况。
这两种形式潮流方程普通称为节点功率方程，实牛顿一拉夫逊等潮流算法所采用重要数学模型。
1.2潮流方程讨论和节点类型划分
对于电力系统中每个节点，要拟立其运营状态，需要由四个变量：
有功注入注入有功P、无功注入0、电压幅值U及电压相角6L对于有”个独立节点网络，其潮流方程有2〃个，变量数为4〃个。
依照电力系统实际运营状况，普通每个盯点4个变疑中总有两个是已知，两个是未知。
按各个节点所已经变量不同，可把节点提成三种类型。
（1）PQ节点。
此类节点已知节点注入有功功率R、无功功率0,待求未知量是节点电压值"
及相位角q,因此称此类节点为P0节点。
普通电力系统中没有发电设备变电所母线、发固左功率发电厂母线可作为PQYj点，此类节点在电力系统中占大某些。
（2）PV节点。
此类节点已经节点注入有功功率P,和电压值-,待求未知量是廿点注入无功功率0及相位角仇，因此称此类节点为PV节点。
此类节点普通为有一左无功功率储备发电厂母线和有一定无功功率电源变电所母线，此类节点在电力系统中位数不多，甚至可有可无。
（3）平衡肖点。
潮流计算时，普通只设一种平衡节点，全网功率由平衡节点作为平衡机来平衡。
平衡节点电压幅值〃.，及相位角◎是已知，如果给立t/’=l・0、q=1.0,待求则是注入功率P、、Qs»
1.3潮流计算意义
早在20世纪50年代中期，就已开始使用数字计算机进行电力系统潮流计算。
时至今日，潮流计算曾采用过各种不同办法，这些办法形成和发展都环绕着潮流计算某些基本规左进行。
这些规定基本上可以归纳为如下几种方面：
算法可靠性和收敛性、成果可信性；
满足讣算速度和内存占用量规龙：
汁算以便灵活、适应性好。
电力系统潮流计算和分析是电力系统运营和规划工作基本。
运营中电力系统，通过潮流计算可以预知，随着各种电源和负荷变化以及网络构造变化，网络所有母线电压与否能保持在容许范畴内，各种元件与否会浮现过负荷而危及系统安全，从而进一步研究和制左相应安全办法。
规划中电力系统，通过潮流计算，可以检査所提出网络规划方案能否满足各种运营方式规立，以便制立岀既满足将来供电负荷增长需求，又保证安全稳泄运营网络规划方案。
二、牛顿一拉夫逊法
2.1牛顿-拉夫逊法基本原理
设有单变疑非线性方程/（a）=0（4-1）求解此方程时。
先给出解近似值％⑼它与真解误差为
Ax<
0>
则x=X<
O）+AX（O）将满足方程,即
将（3-8）式左边函数在兀"
”附近展成泰勒级数，于是便得
（4-3）式中，/（/0））,……分别为函数/（羽在处一阶导数，…・，n阶导数。
如果差值⑼很小，（3-9）式右端△兀⑼二次及以上阶次各项均可略去。
于是，（3-9）便简化为
r/<
0）人<
°
>
x（Okr\（0>
xA（0）A"
八
（4-5）
/（X+△%）=f（x）+J（X）△%=0（4-4）
这是对于变量修正现行方程式，亦称修正方程式。
解此方程可得修正量=
用所求⑹去修正近似解，变得
由于（3-10）是略去高次项简化式，因而所解出修正也只是近似值。
修正后近似解兀山同真解依然有误差。
但是，这样迭代计算可以重复进行下去，迭代讣算通式是
（4-7）
7（n
迭代过程收敛判据为
（4-8）
（4-9）
式中为预先给泄小正数。
这种解法几何意义可以从图3—1得到阐明。
函数y=f（x）为图中曲线。
f（x）=0解相称于曲线与X轴交点。
如果第k次迭代中得到无山，则过x，k\ya'
=f（^k]）点作一切线，此切线同X轴交点便拟泄了下一种近似值无"
初。
由此可见，牛顿一拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐渐线性化办法。
应用牛顿法求解多变量非线性方程组（3-1）时，假泄已给出各变量初值兀（°
）「兀（°
）「・
令Ar（0\*2\x（0）„分别为各变量修正量，使其满足方程（3-1）K卩
/2°
）严…
f（Y（O）+W）+“（O）,..
J2A1A1A2A2
・.r（°
）+Ar（°
））=0
”丫（°
）+△J。
f（Y（O）+“（O）（0）+△（（））,..
[JfiA1A|A2A2
..r（°
）+Ar（0））=0
（4-10）
将上式中n个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数，并略去具有△x（°
）r△x（°
）,,……，
△y（°
）二次及以上阶次各项，便得
Aft
人宀少严已）+凱3°
）广警如°
）广••怕卅）严f2（x®
rx®
2…"
x®
”）+£
殴巴+2+-+£
似（0）”=0九（宀理严兀叫）+養¥
外警I卅）广••任I卅L
（4-11）
方程式（3-17）也可以写成矩阵形式
（4-12）
方程式（3-18）是对于修正MAr（°
），△丫（°
）,……,Ar（°
）线性方程组，称为牛顿法修正方程式•运儿1儿2儿n
用髙斯消去法或三角分解法可以解出修正量△丫（°
）,Ar（°
）,……，△斤（°
）o然后对初始近似值进A1A2儿"
行修正
（4-14）
（4-15）
伙+1）=伙）+△$伙）（i二1,2,…,n）
儿/儿i人f
式（3-20）和（3-21）也可以缩写为
式中X和AX分别是由n个变量和修正量构成n维列向豊F（X）是由n个多元函数构成n维列项量：
J是n阶方阵，称为雅可比矩阵，它第i、j个元素J产％是第n个函数/,（X1，X2，...，X?
）对第j
OXi
个变量X,偏导数：
上角标（k）表达丿阵每一种元素都在点f.（x（k\x伙）2…'
兀伙打）处取值。
迭代过程始终到满足收敛判据
为止。
和£
2为预先给定小正数。
电力系统负荷习惯用功率表达，对于有n个节点电力系统，系统中各肖点注入电流与注入功率以标
幺值表达关系为
/=S%・=（匕+丿0%.i=i,2,……,n（3-20）
式中*表达其共辘复数。
将此关系式代入肖点电压方程通式，可得到以肖点注入功率表达节点电压方程:
（3-21）
上述方程式，普通称为功率方程匚依照方程中节点电压向量表达不同，可以得到不同形式功率方程。
（3-22）
（3-23）
（3-24）
无功功率分
（3-25）
（3-26）
（3-27）
若节点电压向虽:
以直角坐标表达，即以复数平而上实轴与虚轴上投影表达可写成
UH：
其共轨值为
导纳表达为
n=Gy+jB’j
把这两关系式代回式（3-21）功率方程中，展开后再将功率方程实部和虚某些别写成有功、
离节点方功率方程：
P,"
龙（G/・"
/）+£
丈（G』+B旳）
1>
=1
►
Q"
乞（G泸j-BjJJ-s土（G“fj+B泸j）鬥；
=|.
式中：
i=l,2,……,n为各节点编号。
若节点电压以极坐标表达，则5=U严
或写成
Ui=UicosJr+jUisinQ
将其同导纳复数表达式一起代入式（3-21）功率方程，进整顿可以得到
Pj=5土Uj（G”cos6j+Btjsin5”）
./=!
Qi=U±
Uj9订sin込）一Blfcos务）
J=l
%一一匚与了节点电压相角差。
由式（3-25）和（3-27）给岀功率方程表达办法避免了复数运算，因而，在潮流讣算中普遍采用。
23修正方程
采用牛顿法计算潮流时，需要对功率方程进行修改。
下而将依照在不同坐标内修改进行讨论：
（1）在直角坐标系内时，由PQiT点功率方程（3-25）可知：
节点i注入功率是各点电压函数，设节点电压已知，代入式（3-25）,可以求出节点i有功及无功功率它们与给左PQ节点注入功率化,0“差值应满足如下方程
工話厂P严巴7土（G泸）一f土qfj+B泸,=0
=•
△Q=Qu~Q,=Qis~朮g-吋）+s乞（GJ+B.e.）=0
（3-28）
对于PV巧点，已知节点注入有功功率及节点电压大小，记作匕小『其节点有功功率应满方程:
工=P‘-P严人7土9旳-f乞（G汀」+B冲=0J-1
期=比_（分+£
2）=0
（i=in+\jn+2.it一1）
（3-29）
对于平衡节点，由于其电压给立，故不需要迭代求解“
通过以上分析可见,式（3-28）和式（3-29）共2（n-1）个方程，待求量即兀勺,局共
2（n-1）个。
将上述2（n-1）个方程按泰勒级数展开，并略去修正量髙次方项后得到修正方程如下：
△W=-JMJ
（3-30）
△W=［纠△©
…阻乂心沁…AP^
0△片
沁P\
6、P\
6△片
沁P\oSP{
6△人
銚\
对\
%”，
號
氐,”+|劳”小
den-X
沁Q、
沁Q\
沁Q\处仑
筋
de.n
如”+l劳Z
Sen-\
纸7
0△巴
8△化
6△化
0△巴6△化
沁、
心
沁Q“
...矽厶
处©
d^Qm
64
沁加
6△化+i
沁Pg
.於Pg\沁Pg
沁Pz
祝\
如“
丸I
6入
沁U；
沁
6叽1沁叽沁Uh
沁几、
聊
de.„
呢心Mt
^p„,
沁Pz3些
0△化T沁P“_\
沁\
沁P”\
眈\
沐
込_\
沁U：
.\
7
6沁\\6△昭8△昭
6皿'
0△昭
&
f\
其中雅克比矩阵各元素可以对式（3-28）和式（3-29）求偏导数获得。
对于非对角元素（iHj）有
对于对角元素（Z=J）有
o/\p11
—=-工9泸j-Bi』"
一Ga©
-Buff
CCi7=1
Q\Pn
=一工Gjfj-Bijgj）+Gafi-Ba©
0r；
（3-32）
~~~=X9ij力+巧勺）+Bae；
-GtifiCei/=!
「（-=一YGjej-Bi』,+G„©
+B„fj0r尸I
oAi/r
由上述表达式可以看到，雅克比矩阵具备如下特点：
（1）各元素是各肖点电压函数，迭代过程中每迭代一次各节点电压都要变化，因而各元素每次也变化;
（2）雅克比矩阵不具备对称性：
（3）互导纳K=0,与之相应非对角元素亦为零，此外因非对角元素空化=仝化=0,故雅克比
禺%
矩阵是稀疏矩。
当在极坐标系内时，由功率方程（3-27）可知节点i注入功率是各巧点电压幅值和相角函数。
代入式（3-27）可以求岀节点i有功功率和无功功率，它们与给定PQ节点注入功率人,0“差值满足下而方程：
n
（3-33）
AP=P）—U匚工Uj（Gycos%+B»
sinJ.）=0>
1
△Q=Qi-U’Uj（G&
sin①一BycosJ.）=0;
=i
务=®
-5j一一1与了节点电压相角差。
在有n个节点系统中,假定第1~加号节点为PQ节点,第m+rn-1号节点为PV节点,第n号节点
为平衡节点。
匕和戈是给定,PV节点电压幅值匕匕“也是给定,因而,只剩余n-1个节点电压
相角和m个节点电压幅值岭巴，…匕是未知量。
由（3-33）可知一共包括了n-L+m方程式，正好同未知量数目相等，而直角坐标形式方程少了n-1-m个。
由方程（3-33）可以写岀修正方程
AP
△Q
HN
KL\V^AV
J■■
式中
△0
AP,
；
A2=
△02
;
AJ=
△久
■
A0„,_
V
△匕
•
f=
v2
\P=
AV=
其中:
H是（n-l）x（n-l）阶方阵,
其元素为H..=^—^-:
N是（77-1）Xm阶矩阵,do:
叽=一善;
人是〃以（”一1）阶矩阵，其元素为K”・=¥
^：
L是mxm阶矩阵,
（3-34）
（3-35）
其元素为
英元素为
对式（3-33）求偏导数，可得雅克比矩阵元素表达式如下:
非对角元素
H»
=-VV.（G.sin吊-Bi}cosJ.）2=-VjVj（G.cosJ.+B»
sin巧）K&
=V.V}（G..cos勺+B..sin6..）5=-ViVj5sin第-B»
cos%）
（3-36）
对角元素（i=j）
gm-Pj
Kii=Vi2Gii-Pi
Lii=V?
B“—Qi（3-37）
（1）形成节点导纳矩阵：
（2）给各节点电压设初值：
（3）将节点电压初值代入（3-28）（3-29）,求出修正方程式常数项向量；
（4）将节点电压初值代入（3-31）,（3-32）,求出雅可比矩阵元素；
（5）求解修正方程式（3-30）,求出变量修正向量；
（6）求岀节点电压新值：
（7）如有PV节点，则检查该类节点无功功率与否越限；
（8）检查与否收敛，由式（3-19）可知，若电压趋近于頁•解时，功率偏移量将趋于零。
如不收敛，则
以各节点电圧新值作为初值自第3步重新开始下一次迭代，否则转入下一步。
（9）计算支路功率分布，PV节点无功功率和平衡节点注入功率，最后输出成果，并结束。
牛顿-拉夫逊潮流计算程序框图如图3-2所示
三、收敛性分析
小阻抗支路两端都是PQ盯点时，其功率不平衡方程为:
（2-jyi-qJA^+）匚勺A勺
rvXKX
（4.11）
+©
-j舟＞M+j舟他+£
（4.12）
（Z）y-jiey）Aey+j—eyAe,.+国-甘网沖#阶Fj=j2©
勺十j2一*勺勺一£
Z力+Qj。
小阻抗支路电抗X非常小，它电纳（l/x）非常大。
且1/X数值远不不大于上述方程组中岀当代数量，为了以便阐明，不妨称这些代数虽为小代数量。
（1）第一次迭代
忽视式（4.9）中小代数量。
设立初始电压，可得：
—了转-纵+注％"
（4-13）
kxkx
整顿式（4.13）可得
M严k/（4.14）
这样可得第一次迭代后节点电压虚部关系：
/叫穷（4.⑸
式（4.9）乘以k后，加上式（4.10），设立初始电压为，可得：
j舟务'
_*）Q_△勺）（4.16）
整顿式（4.16）可得第一次迭代后节点电压实部关系：
毕）戈網）（4.17）
焰+BjMj+kq+C;
=kPiQ+P;
Q（4.18）
式（4.11）乘以k后，加上式（4.12），设立初始电压为，可得：
kDM斗口冋+炬皿+E/M丰好;
+马二kQiQ+Qjq（4」9）
综合式（4.15）、（4.17）可得，节点电压通过第一次迭代后满足收敛电压关系（3.14）。
且可
得新功率不平衡方程组（4.14）、（4.17）、（4.18）和（4.19）。
这些方程中并不存在小阻抗问题，潮流
计算可正常收敛。
（2）第二次迭代
忽视式（4.9）中小代数量，并将第一次迭代成果式（4・15）、（4.17）代入，可得:
将式（4.15）代入式（4.20）,可得
忽视式（4.11）中小代数量，并将第一次迭代成果式（4.15）、（4.17）代入，可得:
j占弓（弓-4弓）一j£
弓（勺-△勺）
（4.22）
KXKX
御一咕a
或者
由式（4.21）、（4.23）,可得
四.算例分析
采用3.4*|75右点系统算例来论证以上结论，收敛精度为。
3种情形下迭代成果分别如各表所示,表格中表达各个肖点初给立值与il•算值之间最大差值。
表4.1情形1的迭代结果
Tab4.】theTesultsofcase1
迭代次数
02（pu）
勺（pu）
（pu）
用（pu）
△0（pu）
1.00000
0.00000
-475463.33
1.01349
0.96940
-0.14389
-0.13763
-0.980788
2
0.98438
0.94156
-0.13607
-0.13015
-0.058214
3
0.98208
0.93936
-0.13606
-0.13014
-0.000443
■4
0.98206
0.93934
-0.000005
表4.2情形2的迭代结果
Tab4.2theresultsofcase2
（pu）
/s（pu）
尸\W（pu）
0.99144
0.00000
.-564956.3
0.94831
-0.14626
-0.13989
-1.084967
0.98065
0.93779
-0.13989
0.509182
0.98209
0.93937
-0.13622
-0.93937
0.008147
4
-0.13606
-0.13014
-0.000030
表4.3情形3的迭代结果
Tab4.3theresultsofcase3
S（pu）
血（PE
7S（pu）
△0（pu）
-85625.57
-1.226217
-0.021806
o.ooooo
-0.000007
讣算成果表白：
采用改进算法后，3种情形下，仔点5和节点2电压值在各次迭代中保持关系:
情形1相应是小阻抗支路两端都为PQ盯点状况，采用常规直角坐标牛顿法计算该情形潮流时，发散。
采用改进办法，通过4次迭代后，收敛。
情形2相应是小阻抗支路处在PQ石点和PY巧点间状况，常规算法和改进算法都可收敛，切所需迭代次数相似。
情形3相应是小阻抗支路处在PQ节点和平衡右点间状况，常规算法和改进算法都可收敛，且所需迭代次数相似。
电力系统潮流计算分布计算，是指电力系统在某一稳左状态正常运营方式下，电力网络各节点电压和功率分布il•算。
它重要目：
（1）依照功率分布，可以选折电力系统电气设备和导线截而积，可觉得电力系统继电保护整泄计算提供必要数据等。
（2）检査电力系统各节点电压与否满足电压质量规左。
（3）依照对各种运营方式潮流分布计算，可以协助咱们对的地选取系统接线方式，合理调节负荷，以保证电力系统安全、可靠地运营，向顾客供应高质量电能。
（4）检査电力系统各元件与否过负荷。
（5）为电力系统规划和扩建提供根据。
（6）为调节讣算、经济运营计算、短路讣算和稳左计算提供必要数据。
潮流计算是电力系统分析中一种最基本il•算，它任务是对给定运营条件拟左系统运营状态，如各母线上电压、网络中功率分布以及功率损耗等。
潮流汁算数学模型是以节点方程为基本，推导出相应功率方程。
当电力系统中必须已知条件给泄后潮流分布，取决于网络构造，而网络构造在功率方程中反映是右点导纳矩阵或节点阻抗矩阵。
在复杂电力网中，在务个节点中没有直接相连节点诸多，从而使矩阵中
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