冀教版九年级数学下册精品教案全册Word格式.docx

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已知：

不在同一直线上的三个已知点A，B，C（如图），求作：

⊙O，使它经过点A，B，C.

解析：

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线相交于点O，以O为圆心，以OA为半径，作出圆即可．

（1）连接AB、BC；

（2）分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF，两垂直平分线相交于点O，则点O就是所求作的⊙O的圆心；

（3）以点O为圆心，OC长为半径作圆．则⊙O就是所求作的圆．

方法总结：

线段垂直平分线的作法，需熟练掌握．

探究点三：

三角形的外接圆

【类型一】与圆的内接三角形有关的角的计算

如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB＝20°

，则∠C的度数是________．

由OA＝OB，知∠OAB＝∠OBA＝20°

，所以∠AOB＝140°

，根据圆周角定理，得∠C＝

∠AOB＝70°

.

在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系．

【类型二】与圆的内接三角形有关线段的计算

如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．

连接OB，过点O作OD⊥BC，则OD＝5cm，BD＝

BC＝12cm.在Rt△OBD中，OB＝

＝

＝13cm.即△ABC的外接圆的半径为13cm.

由外心的定义可知外接圆的半径等于OB，过点O作OD⊥BC，易得BD＝12cm.由此可求它的外接圆的半径．

三、板书设计

教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相离，它是三角形三边垂直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.

29.2直线与圆的位置关系

1．了解直线和圆的不同位置关系．

2．了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念．

3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．

你看过日出吗，如果把海平面看做一条直线，太阳看做一个圆，在日出过程中，二者会出现几种位置关系呢？

如图二者是什么关系呢？

直线与圆的位置关系

【类型一】根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系

已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP＝5，直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相切B．相交

C．相离D．相切或相交

我们考虑圆心到直线l的距离，如果距离大于半径，则直线l与⊙O的位置关系是相离；

若距离等于半径，则直线l与⊙O相切；

若距离小于半径，则直线l与⊙O相交．分两种情况讨论：

（1）OP⊥直线l，则圆心到直线l的距离为5，此时直线l与⊙O相切．

（2）若OP与直线l不垂直，则圆心到直线的距离小于5，此时直线l与⊙O相交．所以本题选D.

判断直线与圆的位置关系，主要看该圆心到直线的距离，所以要判断直线与圆的位置关系，我们先确定圆心到直线的距离．

△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，以点B为圆心、6cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线与⊙B的位置关系是________．

根据圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断．本题根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，AC，BC是直角边，则圆心B到直线AC的距离是6cm，等于⊙B的半径，所以AC所在的直线与⊙B相切．

根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状同时求出圆心到直线的距离是解题的关键．

【类型二】坐标系内直线与圆的位置关系的应用

如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是（－4，－2），则点N的坐标为（　　）

A．（－1，－2）B．（1，2）

C．（－1.5，－2）D．（1.5，－2）

过点A作AQ⊥MN于Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为（－1，－2）．故选A.

在圆中如果有弦要求线段的长度，通常要将经过圆心的半径画出，利用垂径定理和勾股定理解决问题．

【类型三】由直线和圆的位置关系确定圆心到直线的距离

已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则

圆心到直线l的距离d的取值范围是________．

因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离，所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即d＞5.

【类型四】由直线和圆的位置关系确定圆的半径

直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为8，则r的取值范围是________．

因为直线l与半径为r的⊙O相交，所以d＜r，即8＜r，所以填r＞8.

教学过程中，强调学生从实际生活中感受，体会直线与圆的几种位置关系，并会用数学语言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程.

29.3切线的性质和判定

1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明（重点）；

2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明（重点，难点）；

约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？

切线的性质

【类型一】切线的性质的运用

如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝35°

，则∠BAC的度数为（　　）

A．20°

B．35°

C．55°

D．70°

连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°

.∵∠EPD＝35°

，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°

，∴∠BAC＝90°

－∠EOD＝20°

.故选A.

此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题时要注意运用切线的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想．

【类型二】利用切线的性质进行证明和计算

如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°

，连接AO、AB、AC.

（1）求证：

△ACB≌△APO；

（2）若AP＝

，求⊙O的半径．

（1）证明：

∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°

.又∵∠P＝30°

，∴∠AOB＝60°

，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°

.又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°

.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO；

（2）解：

在Rt△AOP中，∠P＝30°

，AP＝

，∴AO＝1，即⊙O的半径为1.

运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解．

【类型三】探究圆的切线的条件

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是

上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.

（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？

请说明理由；

（2）当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长．

（1）当点P是

的中点时，得

，得出PA是⊙O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；

（2）利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出AB的长，在Rt△ABP中再次利用勾股定理即可求出BP的长．

的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：

∵AB＝AC，∴

，又∵

，∴

，∴PA是⊙O的直径．∵

，∴∠1＝∠2，又∵AB＝AC，∴PA⊥BC.又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线．

（2）连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理，得BE＝

BC＝6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝

＝8.设⊙O的半径为r，则OE＝8－r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋（8－r）2，解得r＝

.在Rt△ABP中，AP＝2r＝

，AB＝10，∴BP＝

判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，合理转化已知条件，得出结论．

切线的判定

【类型一】判定圆的切线

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°

，求证：

CD是⊙O的切线．

证明：

连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°

，∴∠A＝∠D＝30°

.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°

，∴∠1＝60°

，∴∠OCD＝90°

，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．

切线的判定方法有三种：

①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；

③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【类型二】切线的性质与判定的综合应用

如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且

，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D.

CD是⊙O的切线；

（2）若CD＝2

分析：

（1）连接OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD＝∠B，再根据等量代换得到∠ACO＋∠ACD＝90°

，从而证明CD是⊙O的切线；

（2）由

推得∠DAC＝∠BAC＝30°

，再根据直角三角形中30°

角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，进而求得⊙O的半径．

连接OC，BC.∵

，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°

.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°

.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝90°

，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°

，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；

∵

，∴∠DAC＝∠BAC＝30°

.∵CD⊥AF，CD＝2

，∴AC＝4

.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°

，AC＝4

，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4.

若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长．

1．切线的性质

圆的切线垂直于经过切点的半径．

2．切线的判定

经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个逐层深入的过程．因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更全面的掌握知识.

29.4切线长定理

1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．

2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．

3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．

新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．、

切线长定理

【类型一】利用切线长定理求三角形的周长

如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在

上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．

因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB，因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝（PE＋EC）＋（CF＋PF）＝PA＋PB＝2＋2＝4.

【类型二】利用切线长定理求角的大小

如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°

，那么∠OPA的度数是________度．

如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°

.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°

，∴∠APB＝360°

－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°

－90°

－140°

＝40°

.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝

∠APB＝20°

.故答案为20.

由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.

【类型三】切线长定理的实际应用

为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：

将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°

的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？

说一说你是如何判断的．

过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°

，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°

，∴∠PAO＝∠QAO＝60°

.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°

，∴OP＝5

（cm），即铁环的半径为5

cm.

三角形的内切圆

【类型一】求三角形的内切圆的半径

如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．

如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD＝30°

，OD⊥BC，所以CD＝

BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以OD2＋12＝（2OD）2，所以OD＝

.即⊙O的半径为

等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．

【类型二】求三角形的周长

如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧

（不包括端点D、E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（　　）

A．rB.

rC．2rD.

r

连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r，故选C.

教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.

29.5正多边形和圆

1．了解正多边形与圆的有关概念；

2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形．（重点）

生日宴会上，佳乐等6位同学一起过生日，他想把如图所示蛋糕平均分成6份，你能帮他做到吗？

圆的内接正多边形的相关计算

如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2.T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切．

（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；

（2）求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值．

（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r∶a＝1∶1.连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O的半径为高的正三角形，所以r∶b＝

∶2；

（2）正六边形T1与T2的边长比是

∶2，所以S1∶S2＝3∶4.

解答此题的关键是根据题意画出图形，再由三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解．

与正多边形相关的计算

【类型一】求正多边形的中心角

已知一个正多边形的每个内角均为108°

，则它的中心角为________度．

每个内角为108°

，则每个外角为72°

.根据多边形的外角和等于360°

，∴正多边形的边数为5，则其中心角为360°

÷

5＝72°

.故填72.

本题考查了正多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．

【类型二】求正多边形的边长和面积

已知正六边形ABCDEF的外接圆半径是R，求正六边形的边长a和面积S.

连接OA、OB，过O作OH⊥AB，则∠AOH＝

＝30°

，∴AH＝

R，∴a＝2AH＝R.由勾股定理可得OH2＝R2－（

R）2，∴OH＝

R，∴S＝

·

a·

OH×

6＝

R·

R2.

本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．

教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.

第三十章二次函数

30.1二次函数

1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；

（重点）

2．会利用二次函数的概念解决问题；

3．列二次函数表达式解决实际问题．（难点）

已知长方形窗户的周长为6m，窗户面积为ym2，窗户宽为xm，你能写出y与x之间的函数关系式吗？

它是什么函数呢？

二次函数的概念

【类型一】二次函数的识别

下列函数中是二次函数的有（　　）

①y＝x＋

；

②y＝3（x－1）2＋2；

③y＝（x＋3）2－2x2；

④y＝

＋x.

A．4个B．3个C．2个D．1个

，④y＝

＋x的右边不是整式，故①④不是二次函数；

②y＝3（x－1）2＋2，符合二次函数的定义；

③y＝（x＋3）2－2x2＝－x2＋6x＋9，符合二次函数的定义．故选C.

判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：

①所表示的函数关系式为整式；

②所表示的函数关系式有唯一的自变量；

③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.

【类型二】利用二次函数的概念求字母的值

当k为何值时，函数y＝（k－1）xk2＋k＋1为二次函数？

根据二次函数的概念，可得k2＋k＝2且同时满足k－1≠0即可解答．

∵函数y＝（k－1）xk2＋k＋1为二次函数，∴

解得

∴k＝－2.

解答本题要考虑两方面：

一是x的指数等于2；

二是二次项系数不等于0.

【类型三】二次函数相关量的计算

已知二次函数y＝－x2＋bx＋3，当x＝2时，y＝3.则x＝1时，y＝________．

∵二次函数y＝－x2＋bx＋3，当x＝2时，y＝3，∴3＝－22＋2b＋3，解得b＝2.∴这个二次函数的表达式是y＝－x2＋2x＋3.将x＝1代入得y＝4.故答案为4.

解题的关键是先确定解析式，再代入求值．

【类型四】二次函数与一次函数的关系

已知函数y＝（m2－m）x2＋（m－1）x＋m＋1.

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

根据二次函数与一次函数的定义解答．

（1）根据一次函数的定义，得m2－m＝0，解得m＝0或m＝1.又∵m－1≠0，即m≠1，∴当m＝0时，这个函数是一次函数；

（2）根据二次函数的定义，得m2－m≠0，解得m≠0或m≠1，∴当m≠0或m≠1时，这个函数是二次函数．

熟记二次函数与一次函数的定义，另外要注意二次函数的二次项的系数不等于零．

从实际问题中抽象出二次函数解析式

【类型一】从几何图形中抽象出二次函数解析式

如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：

米2）与x（单位：

米）的函数关系式为多少？

根据已知由AB边长为x米可以推出BC＝

（30－x），然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．

∵AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，∴BC＝

（30－x），∴菜园的面积＝AB×

BC＝

（30－x）·

x，则菜园的面积y与x的函数关系式为y＝－

x2＋15x.

函数与几何知识的综合问题，关键是掌握数与形的转化．有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．

【类型二】从生活实际中抽象出二次函数解析式

某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．

（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；

（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．

（1）每件的利润为6＋2（x－1），生产件数为95－5（x－1），则y＝[6＋2（x－1）][95－5（x－1）]；

（2）由题意可令y＝1120，求出x的实际值即可．

（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，∴第x档次，提高的档次是（x－1）档，利润增加了2（x－1）元．∴y＝[6＋2（x－1）][95－5（x－1）]，即y＝－10x2＋180x＋400（其中x是正整数，