26阅读新知运用Word文档格式.docx

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称作二阶行列式，规定他的运算法则为

=ad﹣bc．如

=2×

5﹣3×

4=﹣2．

如果有

＞0，求x的解集．

3.先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．

mx+nx+my+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；

也可以mx+nx+my+ny=（mx+my）+（nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．以上分解因式的方法称为分组分解法，请用分组分解法分解因式：

a3﹣b3+a2b﹣ab2．

4.对x，y定义一种新运算T，规定：

T（x，y）=

（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：

T（0，1）=

=b．

（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．

①求a，b的值；

②若关于m的不等式组

恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；

（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？

5.类比梯形的定义，我们定义：

有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：

如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°

，∠B=80°

．求∠C，∠D的度数．

（2）在探究“等对角四边形”性质时：

①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；

②由此小红猜想：

“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？

若正确，请证明；

若不正确，请举出反例．

（3）已知：

在“等对角四边形“ABCD中，∠DAB=60°

，∠ABC=90°

，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．

6.给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；

（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°

得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°

．

①求证：

△BCE是等边三角形；

②求证：

DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

7.先阅读下列材料，然后解答问题：

材料1：

从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32＝3×

2＝6.

一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列数记作Anm，Anm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）（m≤n）．

例：

从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：

A53＝5×

4×

3＝60.

材料2：

从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C32＝

＝3.

一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作Cnm，Cnm＝

（m≤n）．

从6个不同元素中选3个元素的组合数为：

C63＝

＝20.

问：

（1）从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？

（2）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？

8.我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．

一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N.小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：

（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；

（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？

若相等，说明理由；

若不相等，求出

的值（用含α的三角函数表示）．

9.如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°

，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；

小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°

，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．

小慧还发现：

三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．

小慧进行类比研究：

如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°

，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；

小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°

，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：

问题①：

若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；

若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；

问题②：

正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是

π？

请你解答上述两个问题．

10.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图1，易证EG＝CG且EG⊥CG.

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°

，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？

请直接写出你的猜想；

（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°

，如图3，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？

请写出你的猜想，并加以证明．

11.【阅读】

在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（

，

）．

【运用】

（1）如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4,3），则点M的坐标为__________；

（2）在直角坐标系中，有A（－1,2），B（3,1），C（1,4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

12.实验与探究：

三角点阵前n行的点数计算

如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…

容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？

如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系

前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．

2×

[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]

=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]

把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到

1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=

n（n+1）

这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是

下列用一元二次方程解决上述问题

设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有

整理这个方程，得：

n2+n﹣600=0

解方程得：

n1=24，n2=25

根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．

请你根据上述材料回答下列问题：

（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？

如果能，求出n；

如果不能，试用一元二次方程说明道理．

（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？

这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？

13.数学问题：

计算

（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．

探究问题：

为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．

探究一：

第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为

；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；

…

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为

，最后空白部分的面积是

根据第n次分割图可得等式：

探究二：

第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为

两边同除以2，得

探究三：

（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：

.只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）

__________，

所以，

=___________．

拓广应用：

计算