江西省赣州市博雅文化学校学年高三周考2数学理试题 Word版含答案.docx

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江西省赣州市博雅文化学校学年高三周考2数学理试题Word版含答案

江西省赣州市博雅文化学校2017-2018学年高三下学期周考

（2）

理科数学

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.如果复数，则（）

A．B．的实部为1C．的虚部为-1D．的共轭复数为

2.若集合，，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要

3.某商场在今年元宵节的促销活动中，对该天9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时到10时的销售额为5万元，则11时到13时的销售额为（）

A．20万元B．32.5万元C．35万元D．40万元

4.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前项和为286，则项数为（）

A．24B．26C．27D．28

5.下边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为495,135，则输出的（）

A．45B．5C．0D．90

6.有关一下：

①用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好；

②已知随机变量服从正态分布，，则；

③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的通项均被选出，则该班学生人数可能为60；

其中正确的的个数为（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

7.已知为坐标原点，两点的坐标均满足不等式组，则的最大值等于（）

A．B．C．D．

8.已知直线与抛物线交于两点，点，若，则（）

A．B．C．D．0

9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：

设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的不足近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（）

A．B．C．D．

10.已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）

A．4B．3C．D．1

11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）

A．48B．32C．16D．

12.已知函数，，当时，方程的根的个数是（）

A．8B．6C．4D．2

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.的展开式中含项的系数为.

14.已知直角梯形，，，，是腰上的动点，则的最小值为.

15.正四面体的棱长为4，为棱的中点，过作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.

16.设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

在中，角所对的边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若为边上的中线，，求的面积.

18.（本小题满分12分）

在四棱柱中，底面是菱形，且，.

（1）求证：

平面平面；

（2）若，求平面与平面所成角的大小.

19.（本小题满分12分）

小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计，小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下.

（1）求小王这8天“健步走”步数的平均数；

（2）从步数为16千步、17千步、18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为，求的分布列.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值.

21.（本小题满分12分）

已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：

对一切，都有成立.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：

几何证明选讲

如图，的两条中线和相交于，且四点共圆.

（1）求证：

；

（2）若，求.

23.（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和直线的倾斜角；

（2）设点和交于两点，求.

24.（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设，证明：

.

参考答案

一、选择题

CABBADABAADB

二、填空题

13.14.15.16.

三、解答题

17.

（1），由正弦定理，得，

∵，∴，

，，

因为，所以，所以，

因为，所以.

（2）法一：

在三角形中，由余弦定理得：

，

所以，

（1）

在三角形中，由正弦定理得：

，由已知得，

所以，

所以，

（2）

由

（1）

（2）解得，

所以.

法二：

延长到，，连接，中，，

，因为，

（1）

由已知得，，所以，

分，

（2）

由

（1）

（2）解得，.

18.解：

（1）因为，，

所以和均为正三角形，

于是.

设与的交点为，则，

又是菱形，所以，

而，所以平面，

而平面，故平面平面.

（2）由及知，

又由，，得≌，故，

于是，从而，结合，

得底面，

如图，建立空间直角坐标系，

则，

，，

设平面的一个法向量为，

由，得，

令，得，

平面的一个法向量为，

设平面与平面所成角为，

则，

故.

19.解：

（1）小王这8天“健步走”步数的平均数为

（千步）

（2）的各种取值可能为，

，，

，，

的分布列为：

20.解：

（1），，

由，得，

∴的递增区间是，递减区间是.

（2）对一切，恒成立，可化为对一切恒成立，

令，

，

当时，，即在递减，

当时，，即在递增，

∴，∴，即实数的取值范围是.

（3）证明：

，等价于，即证，

由

（1）知，（当时取等号）

令，则，

易知在递减，在递增，

∴（当时取等号）

∴对一切都成立，

则对一切，都有成立.

21.解法一：

（1）连结，因为四点共圆，则.

又因为为的两条中线，

所以点分别是的中点，故.

所以，

从而.

（2）因为为与的交点，

故为的重心，延长交于，

则为的中点，且.

在与中，因为，，

所以∽，

所以，即.

因为，，，

所以，即，

又，所以.

解法二：

（1）同解法一.

（2）由

（1）知，，

因为四点共圆，则.

所以∽，所以，

由割线定理，，

又因为是的中线，所以是的重心，

所以，又，

所以，所以，

所以，因为，所以.

22.解法一：

（1）连结，因为四点共圆，则.

又因为为的两条中线，

所以点分别是的中点，故.

所以，

从而.

（2）因为为与的交点，

故为的重心，延长交于，

则为的中点，且.

在与中，因为，，

所以∽，

所以，即，

因为，，，

所以，即，

又，所以.

解法二：

（1）同解法一.

（2）由

（1）知，，

因为四点共圆，所以，

所以∽，所以，

由割线定理：

，

又因为是的中线，所以是的重心，

所以，又，

所以，所以，

所以，因为，所以.

23.解法一：

由，消去参数，得，

即的普通方程为.

由，得，（*）

将代入（*），化简得，

所以直线的倾斜角为.

（2）由

（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），

即（为参数），

代入并化简，得.

.

设两点对应的参数分别为，

则，，所以，

所以.

解法二：

（1）同解法一：

（2）直线的普通方程为.

由，消去得，

于是.

设，则，，所以，

故.

24.解法一：

（1）（ⅰ）当时，原不等式可化为，解得，

此时原不等式的解是；

（ⅱ）当时，原不等式可化为，解得，

此时原不等式无解；

（ⅲ）当时，原不等式可化为，解得，

此时原不等式的解是；

综上，.

（2）因为，

因为，所以，

所以，即.

解法二：

（1）同解法一.

（2）因为，

所以，要证，只需证，

即证，

即证，

即证，即证.

因为，所以，所以成立，

所以原不等式成立.