数学单元检测八.docx

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数学单元检测八

单元检测（八）

解析几何

（时间：

120分钟满分：

150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2013·嘉兴质检）函数y＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝，则直线l：

ax－by＋c＝0的倾斜角为（　　）．

A．45°　　B．60°　　

C．120°　　D．135°

解析　由函数y＝f（x）＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝知，f（0）＝f，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为135°.

答案　D

2．存在两条直线x＝±m与双曲线－＝1（a>0，b>0）相交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）．

A．（1，）　　B．（1，）　　

C．（，＋∞）　　D．（，＋∞）

解析　依题意，不妨设直线AC的倾斜角为锐角，则直线AC的倾斜角为45°，该直线与双曲线有两个不同的交点，因此有>tan45°＝1，双曲线的离心率e＝＝>＝，即该双曲线的离心率的取值范围是（，＋∞），选C.

答案　C

3．若椭圆＋＝1（m>n>0）和双曲线－＝1（s，t>0）有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（　　）．

A．m－s　　B．（m－s）　　　

C．m2－s2　　D．－

解析　由题意，知||PF1|－|PF2||＝2，|PF1|＋|PF2|＝2，两式平方相减得：

|PF1|·|PF2|＝m－s.

答案　A

4．已知直线l1：

y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为（　　）．

A．－2　　B．－　　

C．　　D．2

解析　依题意得，直线l2的方程是－x＝2（－y）＋3，即y＝x＋，其斜率是，由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.

答案　A

5．已知抛物线y2＝2px（p>0），过点E（m,0）（m≠0）的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若＝λ，＝μ，则λ＋μ＝（　　）．

A．1　　B．－　　

C．－1　　D．－2

解析　由各选项知，λ＋μ为定值，因此可以取E，此时将直线MN特殊化为直线y＝x－，此时点P，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），则由得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p，x1x2＝.由＝λ，＝μ，得x1＝λ，x2＝μ，则λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝＋＝＝＝－1，因此选C.

答案　C

6．若P是双曲线C1：

－＝1（a>0，b>0）和圆C2：

x2＋y2＝a2＋b2的一个交点且∠PF2F1＝2∠PF1F2，其中F1、F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为（　　）．

A．－1　　B．＋1　　

C．2　　D．3

解析　依题意得，∠F1PF2＝90°，又∠PF2F1＝2∠PF1F2，因此∠PF1F2＝30°，|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|＝c，双曲线C1的离心率等于＝＝＋1，选B.

答案　B

7．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（　　）．

A．－＝1　　B．－＝1　　　

C．－＝1　　D．－＝1

解析　在方程x2＋y2－4x－9＝0中，令x＝0，得y＝±3，不妨设A（0，－3），B（0,3）．设题中双曲线的标准方程为

－＝1（a>0，b>0），∵点A在双曲线，∴＝1.

∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，

∴双曲线的焦点为（0，－9），（0,9）．

∴a2＋b2＝81.∴a2＝9，b2＝72.

∴此双曲线的标准方程为－＝1.

答案　B

8．若AB是过椭圆＋＝1（a>b>0）中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM＝（　　）．

A．－　　B．－　　

C．－　　D．－

解析　法一　（直接法）设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（－x1，－y1），则kAM·kBM＝·＝＝＝－.

法二　（特殊值法）因为四个选项为确定值，取A（a,0），B（－a,0），M（0，b），可得kAM·kBM＝－.

答案　B

9．设抛物线y2＝x的焦点为F，点M在抛物线上，延长线段MF与直线x＝－交于点N（F在线段MN上），则＋的值为（　　）．

A．　　B．　　

C．2　　D．4

解析　易见直线x＝－是抛物线的准线，抛物线的焦点为F.据题意，不妨设点M的坐标为（m，），其中m>，如图．则据抛物线的定义有：

|MF|＝m＋＝.

∵直线MF的方程为y＝，

∴把x＝－代入得点N的坐标为，

∴|NF|＝＝.

∴＋＝＋＝＝2.

答案　C

10．已知两点A（－2,0），B（0,2），点C是圆x2＋y2－2x＝0上的任一点，则△ABC面积的最小值是（　　）．

A．3－　　B．3＋　　

C．　　D．

解析　依据题意作出草图如图，圆x2＋y2－2x＝0的标准方程为（x－1）2＋y2＝1，将AB视为三角形的底边，顶点C在圆上移动，三角形的高h可看作C到直线AB的距离，将AB向圆方向平移，知当AB与圆第一次相切时，h最小，第二次相切时h最大．第一次相切时的直线方程为x－y＋－1＝0，由平行直线间距离公式知d＝hmin＝⇒hmin＝d＝，∴S＝×2×＝3－.

答案　A

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．将答案填在题中的横线上）

11．直线x－y＋5＝0与圆C：

x2＋y2－2x－4y－4＝0相交所截得的弦长等于________．

解析　圆C：

x2＋y2－2x－4y－4＝0，即（x－1）2＋（y－2）2＝9，其圆心C（1,2）到直线x－y＋5＝0的距离d＝2，所以截得的弦长l＝2＝2.

答案　2

12．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点．若△AOF的面积为b2，则双曲线的离心率等于________．

解析　由OA⊥AF，AF＝b，OA＝a得ab＝b2，故a＝2b，即a2＝4b2＝4（c2－a2），则5a2＝4c2，＝.

答案　

13．若动点A、B分别在直线l1：

x＋y－7＝0和l2：

x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．

解析　依题意，知AB的中点M的集合为与直线l1：

x＋y－7＝0和l2：

x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：

x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：

x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.

答案　3　

14．（2013·大连模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________.

解析　作NP垂直准线于P点，由抛物线的定义，得NF＝NP，∵|NF|＝|MN|，则∠MNP＝，即∠NMF＝.

答案　

15．若点P到直线x＝－1的距离比它到点（2,0）的距离小1，则点P的轨迹方程为________．

解析　由题意知，点P到点（2,0）的距离与P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义得点P的轨迹是以（2,0）为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.

答案　y2＝8x

16．设中心在原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________．

解析　椭圆的焦点为（±1,0），∴双曲线的焦点为（±1,0），椭圆的离心率e＝，∴双曲线的离心率e′＝.∴1＝2a2.又c2－a2＝b2，∴a2＝b2＝，故所求双曲线方程为2x2－2y2＝1.

答案　2x2－2y2＝1

17．设集合S＝，Q＝{（x，y）||x|＋|y|≤5}，则满足“S⊆Q”的常数k的个数为________．

解析　因为椭圆＋＝1和平面区域|x|＋|y|≤5均关于原点成中心对称，故S⊆Q⇔直线x＋y＝5不与椭圆＋＝1相交，联立方程，由判别式不大于0，化简得k2＋（k＋1）2≤52，解得－4≤k≤3，又k∈N*，故满足S⊆Q的常数k的个数为3.

答案　3

三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分14分）已知圆x2＋y2－4x＋2y－3＝0和圆外一点M（4，－8）．

（1）过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|＝4，求直线AB的方程；

（2）过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．

解　

（1）圆即（x－2）2＋（y＋1）2＝8，圆心为P（2，－1），半径r＝2.

①若割线斜率存在，设AB：

y＋8＝k（x－4），即kx－y－4k－8＝0，设AB的中点为N，则|PN|＝＝，由|PN|2＋2＝r2，得k＝－，

所以直线AB的方程为45x＋28y＋44＝0，

②若割线斜率不存在，AB：

x＝4，代入圆方程得y2＋2y－3＝0，y1＝1，y2＝－3符合题意，

综上，直线AB的方程为45x＋28y＋44＝0或x＝4.

（2）切线长为＝＝3.以PM为直径的圆的方程为（x－2）（x－4）＋（y＋1）（y＋8）＝0，即x2＋y2－6x＋9y＋16＝0.

又已知圆的方程为x2＋y2－4x＋2y－3＝0，

两式相减，得2x－7y－19＝0，

所以直线CD的方程为2x－7y－19＝0.

19．（本小题满分14分）已知O为坐标原点，点E，F的坐标分别为（－1,0），（1,0），动点A，M，N满足||＝m||（m>1），·＝0，＝（＋），∥.

（1）求点M的轨迹W的方程；

（2）点P在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且＝λ，若1≤λ≤2，求实数m的取值范围．

解　

（1）∵·＝0，＝（＋），

∴MN垂直平分AF.又∥，

∴点M在AE上，∴||＋||＝||＝m||＝2m，

又||＝||，∴||＋||＝2m>||，

∴点M的轨迹W是以E，F为焦点的椭圆，且长半轴a＝m，半焦距c＝1，∴b2＝a2－c2＝m2－1.

∴点M的轨迹W的方程为＋＝1（m>1），

（2）设Q（x1，y1）．∵P，＝λ，

∴∴

由点P，Q均在椭圆W上，

∴

消去y0并整理，得λ＝，

由1≤≤2及m>1，解得1

20．（本小题满分14分）已知F为抛物线C：

y2＝4x的焦点，其准线交x轴于点M，点N是抛物线C上一点．

（1）如图①，若MN的中垂线恰好过焦点F，求点N到y轴的距离；

（2）如图②，已知直线l交抛物线C于点P，Q，若在抛物线C上存在点R，使FPRQ为平行四边形，试探究直线l是否过定点？

并说明理由．

解　

（1）∵MN的中垂线恰好过焦点F，∴|NF|＝|MF|＝2，

∴xN＋1＝2，∴xN＝1，即N到y轴的距离为1.

（2）由题知F（1,0），

设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：

x＝my＋b，

∵FPRQ为平行四边形，x1＋x2＝xR＋1，y1＋y2＝yR.

又点R在抛物线上，∴（y1＋y2）2＝4（x1＋x2－1），

即y＋y＋2y1y2＝4x1＋4x2－4.

又点P，Q在抛物线上，∴y1y2＝－2.

由得y2－4my－4b＝0，

∴y1y2＝－4b，可得b＝.∴直线l过定点.

21．（本小题满分15分）已知点M是圆C：

（x＋1）2＋y2＝8上的动点，定点D（1,0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满足＝2，·＝0，动点N的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

解　

（1）