秋部编版七年级上册数学 第3章 一元一次方程 教案Word文件下载.docx
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A.含有两个未知数,不是一元一次方程,错误;
B.化简后含有未知数项可以消去,不是方程,错误;
C.分母中含有字母,不是一元一次方程,错误;
D.符合一元一次方程的定义,正确.故选D.
判断一元一次方程需满足三个条件:
(1)只含有一个未知数;
(2)未知数的次数是1;
(3)是整式方程.
【类型二】利用一元一次方程的概念求字母次数的值
方程(m+1)x|m|+1=0是关于x的一元一次方程,则( )
A.m=±
1 B.m=1
C.m=-1D.m≠-1
由一元一次方程的概念,一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0,所以
,
解得m=1.故选B.
解决此类问题要明确:
若一个整式方程经过化简变形后,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1且系数不为0,则这个方程是一元一次方程.据此可求方程中相关字母的值.
探究点三:
方程的解
下列方程中,解为x=2的方程是( )
A.3x-2=3 B.-x+6=2x
C.4-2(x-1)=1 D.
x+1=0
A.当x=2时,左边=3×
2-2=4≠右边,错误;
B.当x=2时,左边=-2+6=4,右边=2×
2=4,左边=右边,即x=2是该方程的解,正确;
C.当x=2时,左边=4-2×
(2-1)=2≠右边,错误;
D.当x=2时,左边=
×
2+1=2≠右边,错误.故选B.
检验一个数是否是方程的解,就是要看它能不能使方程的左、右两边相等.
探究点四:
列方程
某文具店一支铅笔的售价为1.2元,一支圆珠笔的售价为2元.该店在“6·
1”儿童节举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元.若设铅笔卖出x支,则依题意可列得的一元一次方程为( )
A.1.2×
0.8x+2×
0.9(60+x)=87
B.1.2×
0.9(60-x)=87
C.2×
0.9x+1.2×
0.8(60+x)=87
D.2×
0.8(60-x)=87
设铅笔卖出x支,根据“铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元”,得出等量关系:
x支铅笔的售价+(60-x)支圆珠笔的售价=87,据此列出方程为1.2×
0.9(60-x)=87.故选B.
解题的关键是正确理解题意,设出未知数,找到题目当中的等量关系,列方程.
三、板书设计
1.方程的定义
2.一元一次方程:
只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程.
3.列方程解决实际问题的步骤:
①设未知数(用字母)
②找等量关系(表示出相关的量)
③列出方程
本课首先用实际问题引入课题,然后运用算术的方法给出解答.在各环节的安排上都设计成一个个的问题,使学生能围绕问题展开思考、讨论.通过本节的教学让学生体会到从算式到方程是数学的进步,渗透化未知为已知的重要数学思想.使学生体会到数学与日常生活密切相关,认识到许多实际问题可以用数学方法解决;
从而激发学生学习数学的热情.
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
教学目标:
1.通过处理实际问题,让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步.
2.初步学会如何寻找问题中的相等关系,列出方程,了解方程的概念.
3.理解一元一次方程、方程的解等概念.
4.掌握检验某个值是不是方程的解的方法.
教学重难点:
寻找相等关系,列出方程.
教学过程:
一、情境引入
提出课本P78的问题,可用多媒体演示题目描述的行驶情境.
1.理解题意:
客车比卡车早1小时经过B地,从这句话中可知客车、卡车行驶的路程和时间分别有什么关系?
2.能否列算式求出A、B两地之间的路程,要求能够解释列出的算式表示的实际意义.
3.提出问题,如果用字母x表示A、B两地的路程,根据题意会得到一个什么样的式子?
二、学习新知
1.引导学生把题中的数量用表格形式反映题意:
路程(km)
速度(km/h)
时间(h)
卡车
x
60
客车
70
2.学生回顾方程的概念,探讨、列出方程,并说出列得方程的依据.
3.讨论列出方程表示的意义,并对比算术方法,体会列方程解决问题与列算式解决问题的优越性.
4.反思:
这个问题中除了A、B两地的路程是一个未知量,还有没有其它的量是未知的?
如果还有其它的量是未知的,能否用字母(或未知数y)表示这个未知量,列出与前面不同的方程呢?
学生分组讨论.
5.将题中的已知量和未知量用表格列出:
y
y-1
6.探讨:
①列出关于y的方程;
②解释这个方程表示的实际意义(或列出这个方程的依据);
③如何求题目问题:
A、B之间的路程.
7.总结以上列出两个含不同未知数x、y的方程的方法:
①以路程为未知数,则根据两车行驶时间的关系列方程.②以行驶时间为未知数,则从两车行驶路程的关系列方程.
8.比较列算式和列方程两种方法的特点:
阅读课本P79.
9.举一反三:
分别列算式和设未知数列方程解决下列问题:
(1)某数与它的的和是8,求这个数;
(2)班上有女生32人,比男生多,求男生人数;
(3)公园购回一批风景树,其中桂花树占总数的,樟树比桂花树的棵数多,杉树比前两种树木的棵数和还多12棵,求这批树木总共多少棵?
三、初步应用
1.例1:
课本P79例1.
例2(补充):
根据下列条件,列出关于x的方程:
(1)x与18的和等于54;
(2)27与x的差的一半等于x的4倍.
列出方程后教师说明:
“4x”表示4与x的积,当乘数中有字母时,通常省略乘号“×
”,并把数字乘数写在字母乘数的前面.
2.练习(补充)
(1)列式表示:
①比a小9的数;
②x的2倍与3的和;
③5与y的差的一半;
④a与b的7倍的和.
(2)根据下列条件,列出关于x的方程:
①12与x的差等于x的2倍;
②x的三分之一与5的和等于6.
二、自主尝试
1.尝试:
让学生尝试解答课本P79的例1.
2.交流:
在学生基本完成解答的基础上,请几名学生汇报所列的方程,并解释方程等号左右两边式子的含义.
3.教师在学生回答的基础上作补充讲解,并强调:
(1)方程等号两边表示的是同一个量;
(2)左右两边表示的方法不同.
4.讨论:
问题1:
在第
(1)题中,你还能用两种不同的方法来表示另一个量,再列出方程吗?
问题2:
在第(3)题中,你还能设其它的未知数为x吗?
5.建立概念
(1)概念的建立:
在学生观察上述方程的基础上,教师进行归纳:
各方程都只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.
“一元”:
一个未知数;
“一次”:
未知数的指数是一次.
判断下列方程是不是一元一次方程:
①23-x=-7;
②2a-b=3;
③y+3=6y-9;
④0.32m-(3+0.02m)=0.7.
(2)引导学生归纳:
从上面的分析过程我们可以发现,用方程的方法来解决实际问题,一般要经历哪几个步骤?
在学生回答的基础上,教师用方框表示:
实际问题
一元一次方程
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.
三、课时小结
对于本节课的学习,你有什么收获?
四、课堂作业
1.x=3是下列哪个方程的解( )
A.3x-1-9=0 B.x=10-4x
C.x(x-2)=3D.2x-7=12
2.方程=6的解是( )
A.-3B-
C.12D.-12
3.已知x-5与2x-4的值互为相反数,列出关于x的方程.
4.某班开展为贫困山区学校捐书活动,捐的书比平均每人捐3本多21本,比平均每人捐4本少27本,求这个班共有多少名学生?
如果设这个班有x名学生,请列出关于x的方程.
第三章一元一次方程
3.1从算式到方程
3.1.2等式的性质
1.利用等式的基本性质对等式进行变形.
2.会用等式的性质解简单的一元一次方程;
同学们,你们玩过跷跷板吗?
它有什么特征?
翘翘板的两边增加的量之间到底满足什么关系时,翘翘板才能保持平衡?
探究点一:
应用等式的性质对等式进行变形.
例1:
用适当的数或整式填空,使所得结果仍是等式.
(1)如果2x+7=10,那么2x=10-_______;
(2)如果-3x=8,那么x=________;
(3)如果x−
=y−
,那么x=_____;
(4)如果
=2,那么a=_______.
解析:
(1)根据等式的基本性质
(1),在等式两边同时减去7可得2x=10-7;
(2)根据等式的基本性质
(2),在等式两边同时除以-3可得x=
(3)根据等式的基本性质
(1),在等式两边同时加上
可得x=y;
(4)根据等式的基本性质
(2),在等式两边同时乘以4可得a=8.
故答案为:
7,-83,y,8.
方法总结:
运用等式的性质,可以将等式进行变形,变形时等式两边必须同时进行完全相同的四则运算,否则就会破坏原来的相等关系。
例2:
已知mx=my,下列结论错误的是( )
A.x=yB.a+mx=a+my
C.mx-y=my-yD.amx=amy
A、等式的两边都除以m,根据等式性质2,m≠0,而A选项没有说明,故A错误;
B、符合等式的性质1,正确.C、符合等式的性质1,正确.D、符合等式的性质1,正确.故选A.
本题主要考查等式的基本性质.在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母,等式仍成立,这里的数或字母没有条件限制,但是在等式的两边同时乘以或除以同一个数或字母时,这里的数或字母必须不为0.
探究点二:
利用等式的性质解方程
例3:
用等式的性质解下列方程:
(1)4x+7=3;
(2)
x-
x=4.
(1)在等式的两边都加或都减7,再在等式的两边都除以4,可得答案;
(2)在等式的两边都乘以6,在合并同类项,可得答案.
解:
(1)方程两边都减7,得4x=-4.
方程两边都除以4,得x=-1.
(2)方程两边都乘以6,得3x-2x=24,
x=24.
解方程时,一般先将方程变形为ax=b的形式,然后再变形为x=c的形式。
1.等式的性质1:
等式的两边同时加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式.
即如果a=b,那么a±
c=b±
c.
2.等式的性质2:
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍是等式.
即如果a=b,那么ac=bc;
如果a=b(c≠0),那么
.
3.利用等式的基本性质解一元一次方程
本节课采用从生活中的跷跷板入手,激发学生学习兴趣,采用类比等式性质创设问题情景的方法,引导学生的自主探究活动,教给学生类比、猜想、验证等研究问题的方法,培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。
利用学生的好奇心设疑、解疑,组织活泼互动、有效的教学活动,学生积极参与,大胆猜想,使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。
力求在整个探究学习的过程充满师生之间、生生之间的交流和互动,体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者,学生才是学习的主体。
1.了解等式的两条性质.
2.会用等式的性质解简单的(用等式的一条性质)一元一次方程.
3.渗透“化归”的思想.
教学重点:
理解和应用等式的性质.
教学难点:
应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”.
一、提出问题
用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗?
(1)3x-5=22;
(2)0.28-0.13y=0.27y+1.
第
(1)题要求学生给出解答,第
(2)题较复杂,估算比较困难,此时教师提出:
我们必须学习解一元一次方程的其他方法.
二、探究新知
1.实验演示:
教师先提出实验的要求,请同学们仔细观察实验的过程,思考能否从中发现的规律,再用自己的语言叙述你发现的规律,然后按课本P81图3.1-1的方法演示.教师可以进行两次不同的实验.
2.归纳:
请几名学生回答前面的问题.
3.表示:
问题1:
你能用文字来叙述等式的这个性质吗?
在学生回答的基础上,教师必须说明:
等式两边加上的可以是同一个数,也可以是同一个式子.
等式一般可以用a=b来表示.等式的性质1怎样用式子的形式来表示?
如果a=b,那么a±
c=b±
c.
字母a、b、c可以表示具体的数,也可以表示一个式子.
4.拓展:
观察课本P81图3.1-2,你又能发现什么规律?
你能用实验加以验证吗?
然后让学生用两种语言表示等式的性质2.
如果a=b,那么ac=bc;
如果a=b(c≠0),那么=.
问题3:
你能再举几个运用等式性质的例子吗?
5.应用举例:
方程是含有未知数的等式,我们可以运用等式的性质来解方程.
例1:
课本P82例2
分析:
所谓“解方程”,就是要求出方程的解“x=?
”,因此我们需要把方程转化为“x=a(a为常数)”的形式.
问题1:
怎样才能把方程x+7=26转化为“x=a”的形式?
式子“-5x”表示什么?
我们把其中的-5叫做这个式子的系数.你能运用等式的性质把方程-5x=20转化为“x=a”的形式吗?
小涵的妈妈从商店买回一条裤子,小涵问妈妈:
“这条裤子需要多少钱?
”妈妈说:
“按标价的八折是36元.”你知道标价是多少元吗?
要求学生尝试用列方程的方法进行解答.在学生基本完成的情况下,教师给出示范.
三、课堂练习
1.分别说出下列各式的系数:
3x,-7m,,a,-x,.
2.利用等式的性质解下列方程.
(1)x-5=6;
(2)0.3x=45;
(3)-y=0.6;
(4)y=-2.
3.七年级3班有18名男生,占全班人数的45%,求七年级3班的学生人数.
四、课时小结
谈谈对“化归”思想的认识.
3.2 解一元一次方程
(一)——合并同类项与移项
第1课时 用合并同类项的方法解一元一次方程
1.会利用合并同类项的方法解一元一次方程;
2.通过对实例的分析、体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用.(难点)
1.等式的基本性质有哪些?
2.解方程:
(1)x-9=8;
(2)3x+1=4.
3.下列各题中的两个项是不是同类项?
(1)3xy与-3xy;
(2)0.2ab与0.2ab;
(3)2abc与9bc;
(4)3mn与-nm;
(5)4xyz与4xyz;
(6)6与x.
4.能把上题中的同类项合并成一项吗?
如何合并?
5.合并同类项的法则是什么?
依据是什么?
利用合并同类项解简单的一元一次方程
解下列方程:
(1)9x-5x=8;
(2)4x-6x-x=15.
先将方程左边的同类项合并,再把未知数的系数化为1.
(1)合并同类项,得4x=8.
系数化为1,得x=2.
(2)合并同类项,得-3x=15.
系数化为1,得x=-5.
解方程的实质就是利用等式的性质把方程变形为x=a的形式.
根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题
足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的,黑、白皮块数目的比为3∶5,一个足球表面一共有32个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少个?
遇到比例问题时可设其中的每一份为x,本题中已知黑、白皮块数目比为3∶5,可设黑色皮块有3x个,则白色皮块有5x个,然后利用相等关系“黑色皮块数+白色皮块数=32”列方程.
设黑色皮块有3x个,则白色皮块有5x个,
根据题意列方程3x+5x=32,
解得x=4,
则黑色皮块有3x=12(个),
白色皮块有5x=20(个).
答:
黑色皮块有12个,白色皮块有20个.
解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的数量关系,列出方程,再求解.此题的关键是要知道相等关系为:
黑色皮块数+白色皮块数=32,并能用x和比例关系把黑皮与白皮的数量表示出来.
1.用合并同类项的方法解简单的一元一次方程.
解方程的步骤:
(1)合并同类项;
(2)系数化为1(等式的基本性质2).
2.找等量关系列一元一次方程.
列方程解应用题的步骤:
(1)设未知数;
(2)分析题意找出等量关系;
(3)根据等量关系列方程;
(4)解方程并作答.
本节从复习入手,帮助学生回顾合并同类项的相关知识,为学习用合并同类项解方程做好铺垫.教学中采用引导发现的方法,课堂训练中鼓励自己动手,体现学生在课堂上的主体地位;
整个教学过程中充分调动学生学习积极性,培养学生合作学习,主动探究的习惯.
3.2 解一元一次方程
(一)——合并同类项与移项
第1课时用合并同类项的方法解一元一次方程
1.经历运用方程解决实际问题的过程,体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
2.学会合并同类项,会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程.
3.能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程.
建立方程解决实际问题,会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程.
分析实际问题中的已知量和未知量,找出相等关系,列出方程.
一、设置情境,提出问题
(出示背景资料)约公元820年,中亚细亚的数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书,重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢?
通过下面几节课的学习讨论,相信同学们一定能回答这个问题.
出示课本P86问题1:
某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍.前年这个学校购买了多少台计算机?
二、探索分析,解决问题
引导学生回忆:
设问1:
如何列方程?
分哪些步骤?
师生讨论分析:
(1)设未知数:
前年这个学校购买计算机x台;
(2)找相等关系:
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台.
(3)列方程:
x+2x+4x=140.
设问2:
怎样解这个方程?
如何将这个方程转化为“x=a”的形式?
学生观察、思考:
根据分配律,可以把含x的项合并,即
x+2x+4x=(1+2+4)x=7x
老师板演解方程过程:
略.
为帮助有困难的学生理解,可以在上述过程中标上箭头和框图.
设问3:
在以上解方程的过程中“合并”起了什么作用?
每一步的根据是什么?
学生讨论回答,师生共同整理:
“合并”是一种恒等变形,它使方程变得简单,更接近“x=a”的形式.
三、拓广探索,比较分析
学生思考回答:
若设去年购买计算机x台,得方程
+x+2x=140.
若设今年购买计算机x台,得方程
++x=140.
课本P87例2.
问题:
①每相邻两个数之间有什么关系?
②用x表示其中任意一个数,那么与x相邻的两个数怎样表示?
③根据题意列方程解答.
四、综合应用,巩固提高
1.课本P88练习第1,2题.
2.一个黑白足球的表面一共有32个皮块,其中有若干块黑色五边形和白色六边形,黑、白皮块的数目之比为3:
5,问黑色皮块有多少?
(学生思考、讨论出多种解法,师生共同讲评.)
3.有一列数按一定规律排成-1,2,-4,8,-16,32,……,其中某三个相邻数的和是-960.求这三个数.
五、课时小结
1.你今天学习的解方程有哪些步骤,每一步的依据是什么?
2.今天讨论的问题中的相等关系有何共同特点?
学生思考后回答、整理:
解方程的步骤及依据分别是:
合并和系数化为1;
总量=各部分量的和.
第2课时 用移项的方法解一元一次方程
1.掌握移项变号的基本原则;
2.会利用移项解一元一次方程;
3.会抓住实际问题中的数量关系列一元一次方程解决实际问题.(难点)
上节课学习了一元一次方程,它们都有这样的特点:
一边是含有未知数的项,一边是常数项.这样的方程我们可以用合并同类项的方法解答.那么像3x+7=32-2x这样的方程怎么解呢?
移项法则
通过移项将下列方程变形,正确的是( )
A.由5x-7=2,得5x=2-7
B.由6x-3=x+4,得3-6x=4+x
C.由8-x=x-5,得-x-x=-5-8
D.由x+9=3x-1,得3x-x=-1+9
A.由5x-7=2,得5x=2+7,故选项错误;
B.由6x-3=x+4,得6x-x=3+4,故选项错误;
C.由8-x=x-5,得-x-x=-5-8,故选项正确;
D.由x+9=3x-1,得3x-x=9+1,故选项错误.故选C.
①所移动的是方程中的项,并且是从方程的一边移到另一边,而不是在这个方程的一边变换两项的位置.②移项时要变号,不变号不能移项.
用移项解一元一次方程
(1)-x-4=3x;
(2)5x-1=9;
(3)-4x-8=4;
(4)0.5x-0.7=6.5-1.3x.
通过移项、合并、系数化为1的方法解答即可.
(1)移项得-x-3x=4,
合并同类项得-4x=4,
系数化成1得x=-1;
(2)移项得5x=9+1,
合并同类项得5x=10,
系数化成1得x=2;
(3)移项得-4x