届高考理科数学知识点题Word格式.docx
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4.(2018·
沧州七校联考)给定方程(
)x+sinx-1=0,有下列四个命题:
p1:
该方程没有小于0的实数解;
p2:
该方程有有限个实数解;
p3:
该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解;
p4:
若x0是该方程的实数解,则x0>
-1.
其中的真命题是( )
A.p1,p3B.p2,p3
C.p1,p4D.p3,p4
解析 由(
)x+sinx-1=0,得sinx=1-(
)x,令f(x)=sinx,g(x)=1-(
)x,在同一坐标系中画出两函数的图像如图,由图像知:
p1错,p3,p4对,而由于g(x)=1-(
)x递增,小于1,且以直线y=1为渐近线,f(x)=sinx在-1到1之间振荡,故在区间(0,+∞)上,两者的图像有无穷多个交点,所以p2错,故选D.
5.函数f(x)=
的零点个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
解析 依题意,在考虑x>
0时可以画出y=lnx与y=x2-2x的图像,可知两个函数的图像有两个交点,当x≤0时,函数f(x)=2x+1与x轴只有一个交点,所以函数f(x)有3个零点.故选D.
6.函数f(x)=
-cosx在[0,+∞)内( )
A.没有零点B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点
解析 原函数f(x)=
-cosx可理解为幂函数x
与余弦函数的差,其中幂函数在区间[0,+∞)上单调递增、余弦函数的最大值为1,在同一坐标系内构建两个函数的图像,注意到余弦从左到右的第2个最高点是x=2π,且
>
1=cos2π,不难发现交点仅有一个.正确选项为B.
7.(2018·
东城区期末)已知x0是函数f(x)=2x+
的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )
A.f(x1)<
0,f(x2)<
0B.f(x1)<
0,f(x2)>
C.f(x1)>
0D.f(x1)>
解析 设g(x)=
,由于函数g(x)=
=-
在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有唯一的零点x0,且在(1,x0)上f(x1)<
0,在(x0,+∞)上f(x2)>
0,故选B.
8.(2018·
湖北襄阳一中期中)已知a是函数f(x)=2x-log
x的零点.若0<
x0<
a,则f(x0)的值满足( )
A.f(x0)<
0B.f(x0)=0
C.f(x0)>
0D.f(x0)的符号不确定
答案 A
解析 因为函数f(x)=2x-log
x在(0,+∞)上是增函数,a是函数f(x)=2x-log
x的零点,即f(a)=0,所以当0<
a时,f(x0)<
f(a)=0.故选A.
9.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=lnx+x,h(x)=lnx-1的零点依次为a,b,c,则( )
A.a<
b<
cB.c<
a
C.c<
a<
bD.b<
c
解析 ∵ea=-a,∴a<
0.∵lnb=-b,且b>
0,∴0<
1.∵lnc=1,∴c=e>
1,故选A.
10.(2018·
郑州质检)函数f(x)=lnx-
的零点的个数是( )
解析 y=
与y=lnx的图像有两个交点.
11.若函数f(x)=xlnx-a有两个零点,则实数a的取值范围为( )
A.[0,
)B.(0,
)
C.(0,
]D.(-
,0)
解析 令g(x)=xlnx,h(x)=a,则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点.g′(x)=lnx+1,令g′(x)<
0,即lnx<
-1,可解得0<
x<
;
令g′(x)>
0,即lnx>
-1,可解得x>
,所以,当0<
时,函数g(x)单调递减;
当x>
时,函数g(x)单调递增,由此可知当x=
时,g(x)min=-
.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示,据图可得-
<
0.
12.若函数f(x)=2x-
-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3)B.(1,2)
C.(0,3)D.(0,2)
解析 由条件可知f
(1)f
(2)<
0,即(2-2-a)(4-1-a)<
0,即a(a-3)<
0,解之得0<
3.
13.函数f(x)=log2x+x-4的零点所在的区间是( )
A.(
,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
解析 因为f
(2)=log22+2-4=-1<
0,f(3)=log23-1>
0,所以f
(2)·
f(3)<
0,故函数f(x)的零点所在的一个区间为(2,3),选C.
14.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)且x∈
[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=
则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为( )
A.7B.8
C.9D.10
解析 当x∈[-1,1]时,y=f(x)的图像是一段开口向下的抛物线,y=f(x)的最大值为1.∵f(x+2)=f(x),∴f(x)是以2为周期的周期函数.f(x)和g(x)在[-5,5]内的图像如图所示,有8个交点,所以函数h(x)有8个零点.
15.(2018·
郑州质检)设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=lnx+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则( )
A.g(a)<
0<
f(b)B.f(b)<
g(a)
C.0<
g(a)<
f(b)D.f(b)<
解析 依题意,f(0)=-3<
0,f
(1)=e-2>
0,且函数f(x)是增函数,因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内,即0<
1.g
(1)=-3<
0,g
(2)=ln2+3>
0,函数g(x)的零点在区间(1,2)内,即1<
2,于是有f(b)>
f
(1)>
0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数,因此有g(a)<
g
(1)<
0,g(a)<
f(b),选A.
16.函数y=
的图像与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于
A.2B.4
C.6D.8
解析 如图,两个函数图像都关于点(1,0)成中心对称,两个图像在[-2,4]上共8个公共点,每两个对应交点横坐标之和为2,故所有交点的横坐标之和为8.
17.(2018·
东营模拟)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.2]=-2.x0是函数f(x)=lnx-
的零点,则[x0]等于________.
答案 2
1.(2018·
衡水调研卷)方程|x2-2x|=a2+1(a>
0)的解的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析 (数形结合法)
∵a>
0,∴a2+1>
1.
而y=|x2-2x|的图像如图,
∴y=|x2-2x|的图像与y=a2+1的图像总有两个交点.
成都新都区测试)函数f(x)=10x+x-7与g(x)=lgx+x-7的零点分别为x1和x2,则x1+x2=________.
答案 7
解析 x1和x2分别对应方程10x=7-x和方程lgx=7-x的根,令f(x)=10x,g(x)=lgx,y=7-x,画图如下:
其中x1是函数f(x)=10x与y=7-x图像的交点的横坐标,x2是函数g(x)=lgx与y=7-x的图像的交点的横坐标,由于函数f(x)=10x与g(x)=lgx的图像关于y=x对称,直线y=7-x也关于y=x对称,且直线y=7-x与它们都只有一个交点,故这两个交点关于y=x对称.又因为两个交点的中点是y=7-x与y=x的交点,即(
,
),所以x1+x2=7.
3.设函数f(x)=
函数y=f[f(x)]-1的零点个数为________.
解析 当x≤0时,y=f[f(x)]-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1,令x-1=0,则x=1,表明此时y=f[f(x)]-1无零点.当x>
0时,分两种情况:
①当x>
1时,log2x>
0,y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1,令log2(log2x)-1=0,即log2(log2x)=1,log2x=2,解得x=4;
②当0<
x≤1时,log2x≤0,y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=2log2x-1=x-1,令x-1=0,解得x=1,因此函数y=f[f(x)]-1的零点个数为2.
4.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<
2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为________.
解析 当0≤x<
2时,令f(x)=x3-x=0,
得x=0或x=1,∵f(x+2)=f(x),
∴y=f(x)在[0,6)上有6个零点.
又f(6)=f(3×
2)=f(0)=0,
∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.
5.判断函数f(x)=4x+x2-
x3在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由.
答案 有一个零点
解析 ∵f(-1)=-4+1+
0,
f
(1)=4+1-
=
∴f(x)在区间[-1,1]上有零点.
又f′(x)=4+2x-2x2=
-2(x-
)2,
当-1≤x≤1时,0≤f′(x)≤
∴f(x)在[-1,1]上是单调递增函数.
∴f(x)在[-1,1]上有且只有一个零点.